Số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ta có: $0,032 = \dfrac{{32}}{{1000}} = \dfrac{4}{{125}}$

Ta có: $0,175 = \dfrac{{175}}{{1000}} = \dfrac{7}{{40}}$

Ta có:

+) $12 = {2^2}.3$ nên phân số $\dfrac{{11}}{{12}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó A sai.

+) $\dfrac{{74}}{{500}} = \dfrac{{37}}{{250}}$. Thấy $250 = {2.5^3}$ nên phân số $\dfrac{{74}}{{500}}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Do đó B sai.

+) $33 = 3.11$ nên phân số $\dfrac{2}{{33}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó C sai.

+) $45 = {3^2}.5$ nên phân số $\dfrac{{11}}{{45}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó D đúng.

Ta có:

$14 = 2.7$ nên phân số $\dfrac{5}{{14}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

$20 = {2^2}.5$ nên phân số $\dfrac{1}{{20}}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

$\dfrac{3}{{75}} = \dfrac{1}{{25}}$ có $25 = {5^2}$ nên phân số $\dfrac{3}{{75}}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

$\dfrac{{ - 11}}{{ - 100}} = \dfrac{{11}}{{100}}$ có $100 = {2^2}{.5^2}$ nên phân số $\dfrac{{ - 11}}{{ - 100}}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

$\dfrac{6}{{15}} = \dfrac{2}{5}$ có $5 = 5$ nên phân số $\dfrac{6}{{15}}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Như vậy, trong năm phân số $\dfrac{5}{{14}};\dfrac{1}{{20}};\dfrac{3}{{75}};\dfrac{{ - 11}}{{ - 100}};\dfrac{6}{{15}}$ có một phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ta có: $0,44 = \dfrac{{44}}{{100}} = \dfrac{{11}}{{25}}$

Hiệu của tử số trừ đi mẫu số là: $11 - 25 =  - 14.$

Ta có: $0,055 = \dfrac{{55}}{{1000}} = \dfrac{{11}}{{200}}$.

Ta có: $\dfrac{{16}}{{15}} = 16:15 = 1,0(6).$

Ta có: $1,(2) = 1 + 0,(2) = 1 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{9}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{{11}}{9}$.

Hiệu của tử số và mẫu số là $11 - 9 = 2.$

Ta có: $0,1\left( {24} \right) =  0,1\left( {24} \right) =\dfrac{{124 - 1}}{{990}}$ = $\dfrac{{123}}{{990}} =  \dfrac{{41}}{{330}}$ 

$4,0\left( {25} \right) = 4 + 0,0\left( {25} \right) = 4 + \dfrac{{25}}{{990}} = 4 + \dfrac{5}{{198}} = \dfrac{{792}}{{198}} + \dfrac{5}{{198}} = \dfrac{{797}}{{198}}$

Vậy hai phân số lần lượt là $\dfrac{{371}}{{330}};\,\dfrac{{797}}{{198}}.$

Ta có: $0,(5) = \dfrac{5}{9}$ và $1,1(4) = 1 + \dfrac{{14 - 1}}{{90}} = 1 + \dfrac{{13}}{{90}} = \dfrac{{103}}{{90}}$

Do đó $0,(5) - 1\dfrac{1}{3} + 1,1\left( 4 \right)$$= \dfrac{5}{9} - \dfrac{4}{3} + \dfrac{{103}}{{90}} = \dfrac{{50}}{{90}} - \dfrac{{120}}{{90}} + \dfrac{{103}}{{90}} = \dfrac{{33}}{{90}} = \dfrac{{11}}{{30}}$

Ta có: $0,\left( {54} \right) = \dfrac{{54}}{{99}} = \dfrac{6}{{11}};$ $7,(2) = 7 + 0,(2) = 7 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{{65}}{9};$  $2,(5) = 2 + 0,(5) = 2 + \dfrac{5}{9} = \dfrac{{23}}{9}$

$\begin{array}{l}A = \dfrac{2}{5} + 0,\left( {54} \right) - 7,\left( 2 \right)\\ = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{{11}} - \dfrac{{65}}{9}\\ = \dfrac{{198}}{{495}} + \dfrac{{270}}{{495}} - \dfrac{{3575}}{{495}}\\ = \dfrac{{ - 3107}}{{495}}\end{array}$

$\begin{array}{l}B = \dfrac{5}{{11}}.\dfrac{{44}}{{20}} - \left( { - \dfrac{7}{{10}}} \right).2,\left( 5 \right) + \dfrac{{11}}{9}\\ = \dfrac{5}{{11}}.\dfrac{{11}}{4} - \left( {\dfrac{{ - 7}}{{10}}} \right).\dfrac{{23}}{9} + \dfrac{{11}}{9}\\ = \dfrac{5}{4} - \left( {\dfrac{{ - 161}}{{90}}} \right) + \dfrac{{11}}{9}\\ = \dfrac{{225}}{{180}} + \dfrac{{322}}{{180}} + \dfrac{{220}}{{180}}\\ = \dfrac{{767}}{{180}}\end{array}$

Nhận thấy $A = \dfrac{{ - 3107}}{{495}} < 0$ và $B = \dfrac{{767}}{{180}} > 0$ nên $B > A.$

Ta có: $2,\left( {45} \right) = 2 + 0,\left( {45} \right) = 2 + \dfrac{{45}}{{99}} = \dfrac{{198}}{{99}} + \dfrac{{45}}{{99}} = \dfrac{{243}}{{99}} = \dfrac{{27}}{{11}}$

 $2,\left( {45} \right):x = 0,5$

$\dfrac{{27}}{{11}}:x = \dfrac{1}{2}$

$x = \dfrac{{27}}{{11}}:\dfrac{1}{2}$

$x = \dfrac{{54}}{{11}}$

Vậy $x = \dfrac{{54}}{{11}}$. 

$0,\left( {18} \right) = \dfrac{{18}}{{99}} = \dfrac{2}{{11}};$ $2,0\left( {15} \right) = 2 + 0,0\left( {15} \right) = 2 + \dfrac{{15}}{{990}} = 2 + \dfrac{1}{{66}} = \dfrac{{133}}{{66}}$

$0,\left( {18} \right).x = 2,0\left( {15} \right)$

$\dfrac{2}{{11}}.x = \dfrac{{133}}{{66}}$

$x = \dfrac{{133}}{{66}}:\dfrac{2}{{11}}$

$x = \dfrac{{133}}{{12}}$

Ta có: $0,5165165165... = 0,\left( {516} \right) = \dfrac{{516}}{{999}} = \dfrac{{172}}{{333}}$

Khi đó tử số nhỏ hơn mẫu số số đơn vị là $333 - 172 = 161$ đơn vị.

Ta có $0,4818181... = 0,4\left( {81} \right) = \dfrac{{481 - 4}}{{990}} = \dfrac{{477}}{{990}} = \dfrac{{53}}{{110}}$

Khi đó tổng của tử và mẫu là $53 + 110 = 163$ đơn vị.

Ta có: $0,5165165165... = 0,\left( {516} \right) = \dfrac{{516}}{{999}} = \dfrac{{172}}{{333}}$

Khi đó tổng của tử và mẫu là $172+333 = 505$.

$\begin{array}{l}0,(36).x = 0,0(42)\\\dfrac{{36}}{{99}}.x = \dfrac{{42}}{{990}}\\\dfrac{4}{{11}}.x = \dfrac{7}{{165}}\\x = \dfrac{7}{{165}}:\dfrac{4}{{11}}\\x = \dfrac{7}{{60}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{7}{{60}}$.

$\begin{array}{l}x.0,(60) = 0,1(75)\\x.\dfrac{{60}}{{99}} = \dfrac{{175 - 1}}{{990}}\\x.\dfrac{{20}}{{33}} = \dfrac{{29}}{{165}}\\x = \dfrac{{29}}{{165}}:\dfrac{{20}}{{33}}\\x = \dfrac{{29}}{{100}}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{{29}}{{100}}$.

Ta có $0,\left( {37} \right) = \dfrac{{37}}{{99}}$ nên $0,(37).x = 1$$\Rightarrow \dfrac{{37}}{{99}}x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{99}}{{37}}$

Ta có: $x = \dfrac{{99}}{{37}}>\dfrac{{74}}{{37}}=2.$

Vậy ${x_0} > 2$.

Ta có $1,2\left( {31} \right) = 1 + 0,2\left( {31} \right)$ $= 1 + \dfrac{{231 - 2}}{{990}} = \dfrac{{1219}}{{990}}$ và $0,\left( {13} \right) = \dfrac{{13}}{{99}}$ ;

Lại có $2,\left( 4 \right) = 2 + 0,\left( 4 \right) = 2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{{22}}{9}$

Nên $A = \dfrac{4}{9} + 1,2(31) + 0,(13)$

         $= \dfrac{4}{9} + \dfrac{{1219}}{{990}} + \dfrac{{13}}{{99}} = \dfrac{{440 + 1219 + 130}}{{990}} = \dfrac{{1789}}{{990}}$

Và $B = 3\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left[ {2,\left( 4 \right).2\dfrac{5}{{11}}} \right]:\left( { - \dfrac{{28}}{9}} \right)$

$= \dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left( {\dfrac{{22}}{9}.\dfrac{{27}}{{11}}} \right):\left( { - \dfrac{{28}}{9}} \right)$

$= \dfrac{1}{{14}} + 6.\dfrac{9}{{28}} = \dfrac{1}{{14}} + \dfrac{27}{14} = 2$

Nhận thấy $A = \dfrac{{1789}}{{990}} < \dfrac{{1980}}{{990}} = 2$ nên $A < B.$