Số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn

$\begin{array}{l}0,(4) + 0,2(8) + 1\dfrac{1}{{15}}\\ = \dfrac{4}{9} + \dfrac{{28 - 2}}{{90}} + \dfrac{{16}}{{15}}\\ = \dfrac{4}{9} + \dfrac{{13}}{{45}} + \dfrac{{16}}{{15}}\\ = \dfrac{{20}}{{45}} + \dfrac{{13}}{{45}} + \dfrac{{48}}{{45}}\\ = \dfrac{{81}}{{45}} = \dfrac{9}{5}\end{array}$

Ta có $1,4\left( {51} \right) = 1 + 0,4\left( {51} \right) = 1 + \dfrac{{451 - 4}}{{990}}$$= 1 + \dfrac{{447}}{{990}} = 1 + \dfrac{{149}}{{330}} = \dfrac{{479}}{{330}}$

Và $3,1\left( {45} \right) = 3 + 0,1\left( {45} \right) = 3 + \dfrac{{145 - 1}}{{990}}$$= 3 + \dfrac{{144}}{{990}} = 3 + \dfrac{8}{{55}} = \dfrac{{173}}{{55}}$

Tổng các mẫu số của hai phân số $\dfrac{{479}}{{330}};\,\dfrac{{173}}{{55}}$ là $330 + 55 = 385.$

Ta có: $0,1\left( {24} \right) =  0,1\left( {24} \right) =\dfrac{{124 - 1}}{{990}}$ = $\dfrac{{123}}{{990}} =  \dfrac{{41}}{{330}}$ 

$4,0\left( {25} \right) = 4 + 0,0\left( {25} \right) = 4 + \dfrac{{25}}{{990}} = 4 + \dfrac{5}{{198}} = \dfrac{{792}}{{198}} + \dfrac{5}{{198}} = \dfrac{{797}}{{198}}$

Hai phân số lần lượt là $\dfrac{{41}}{{330}};\,\dfrac{{797}}{{198}}.$

=> Tổng các tử số của hai phân số vừa tìm được là: $371+797=1168$.

Ta có $1,4\left( {51} \right) = 1 + 0,4\left( {51} \right) = 1 + \dfrac{{451 - 4}}{{990}}$$= 1 + \dfrac{{447}}{{990}} = 1 + \dfrac{{149}}{{330}} = \dfrac{{479}}{{330}}$

Và $3,1\left( {45} \right) = 3 + 0,1\left( {45} \right) = 3 + \dfrac{{145 - 1}}{{990}}$$= 3 + \dfrac{{144}}{{990}} = 3 + \dfrac{8}{{55}} = \dfrac{{173}}{{55}}$

Hai phân số là: $\dfrac{{479}}{{330}}$ và $\dfrac{{173}}{{55}}$.

Ta có $0,\left( {15} \right) = \dfrac{{15}}{{99}} = \dfrac{5}{33}$

Hiệu tử số và mẫu số là $5 - 33 =  -28.$

Ta có $0,\left( {45} \right) = \dfrac{{45}}{{99}} = \dfrac{5}{11}$

Hiệu tử số và mẫu số là $5 - 11 =  -6.$

Ta có $0,\left( {27} \right) = \dfrac{{27}}{{99}} = \dfrac{3}{11}$

Hiệu tử số và mẫu số là $3 - 11 =  -8.$

Ta có: $\dfrac{{7}}{{30}} = 7:30 = 0,2(3).$

Ta có: $\dfrac{{7}}{{45}} = 7:45 = 0,1(5).$

Ta có: $\dfrac{{23}}{{90}}= 23:90 = 0,2(5).$

Ta có

+ $25 = {5^2}$ nên phân số $\dfrac{2}{{25}}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Do đó A đúng.

+ $\dfrac{{55}}{{ - 300}} = \dfrac{{ - 11}}{{60}}$ . Thấy $60 = {2^2}.3.5$ (chứa thừa số $3$ khác $2;5$) nên phân số $\dfrac{{ - 55}}{{300}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó B đúng.

+ Xét $\dfrac{{63}}{{77}}$ thấy $77 = 7.11$ (chứa các thừa số $7;11$ khác $2;5$) nên phân số $\dfrac{{63}}{{77}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó C sai.

+ Xét   $\dfrac{{93}}{{360}} = \dfrac{{31}}{{120}}$ có $120 = {2^3}.3.5$ (chứa thừa số $3$ khác $2;5$) nên phân số $\dfrac{{93}}{{360}}$viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó D đúng.

Ta thấy $45 = {3^2}.5;18 = {2.3^2}$  nên các phân số $\dfrac{2}{7};\dfrac{2}{{45}};\dfrac{{ - 7}}{{18}}$ đều viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Phân số $\dfrac{{ - 5}}{{ - 240}} = \dfrac{1}{{48}}$ có $48 = {2^4}.3$ nên phân số $\dfrac{{ - 5}}{{ - 240}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Như vậy cả bốn phân số $\dfrac{2}{7};\,\dfrac{2}{{45}};\dfrac{{ - 5}}{{ - 240}};\dfrac{{ - 7}}{{18}}$đều viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ta có $0,35 = \dfrac{{35}}{{100}} = \dfrac{7}{{20}}$

Tổng tử số và mẫu số là $7 + 20 = 27.$

Ta có $0,016 = \dfrac{{16}}{{1000}} = \dfrac{2}{{125}}$

Ta có $\dfrac{{11}}{{24}} = 11:24 = 0,458\left( 3 \right)$

Ta có $0,\left( {66} \right) = \dfrac{{66}}{{99}} = \dfrac{2}{3}$

Hiệu tử số và mẫu số là $2 - 3 =  - 1.$

Ta có $1,4\left( {51} \right) = 1 + 0,4\left( {51} \right) = 1 + \dfrac{{451 - 4}}{{990}}$$= 1 + \dfrac{{447}}{{990}} = 1 + \dfrac{{149}}{{330}} = \dfrac{{479}}{{330}}$

Và $3,1\left( {45} \right) = 3 + 0,1\left( {45} \right) = 3 + \dfrac{{145 - 1}}{{990}}$$= 3 + \dfrac{{144}}{{990}} = 3 + \dfrac{8}{{55}} = \dfrac{{173}}{{55}}$

Tổng các tử số của hai phân số $\dfrac{{479}}{{330}};\,\dfrac{{173}}{{55}}$ là $479 + 173 = 652.$

Ta có $0,\left( 3 \right) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ và $0,4\left( 2 \right) = \dfrac{{42 - 4}}{{90}} = \dfrac{{19}}{{45}}$

Do đó $0,(3) + 1\dfrac{1}{9} + 0,4(2)$$= \dfrac{1}{3} + \dfrac{{10}}{9} + \dfrac{{19}}{{45}}$$= \dfrac{{15}}{{45}} + \dfrac{{50}}{{45}} + \dfrac{{19}}{{45}} = \dfrac{{84}}{{45}} = \dfrac{{28}}{{15}}$

Ta có $1,2\left( {31} \right) = 1 + 0,2\left( {31} \right)$ $= 1 + \dfrac{{231 - 2}}{{990}} = \dfrac{{1219}}{{990}}$ và $0,\left( {13} \right) = \dfrac{{13}}{{99}}$ ;

Lại có $2,\left( 4 \right) = 2 + 0,\left( 4 \right) = 2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{{22}}{9}$

Nên $A = \dfrac{4}{9} + 1,2(31) + 0,(13)$$= \dfrac{4}{9} + \dfrac{{1219}}{{990}} + \dfrac{{13}}{{99}} = \dfrac{{440 + 1219 + 130}}{{990}} = \dfrac{{1789}}{{990}}$

Và $B = 3\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left[ {2,\left( 4 \right).2\dfrac{5}{{11}}} \right]:\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)$$= \dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left( {\dfrac{{22}}{9}.\dfrac{{27}}{{11}}} \right):\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)$$= \dfrac{1}{{14}} + 6.\dfrac{5}{{42}} = \dfrac{{11}}{{14}}$

Nhận thấy $A = \dfrac{{1789}}{{990}} > \dfrac{{990}}{{990}} = 1$ và $B = \dfrac{{11}}{{14}} < \dfrac{{11}}{{11}} = 1$ nên $A > B.$

Ta có $0,\left( {37} \right) = \dfrac{{37}}{{99}}$ nên $0,(37).x = 1$$\Rightarrow \dfrac{{37}}{{99}}x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{99}}{{37}}$

Vậy $x = \dfrac{{99}}{{37}}.$