Số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn

\(\begin{array}{l}0,(4) + 0,2(8) + 1\dfrac{1}{{15}}\\ = \dfrac{4}{9} + \dfrac{{28 - 2}}{{90}} + \dfrac{{16}}{{15}}\\ = \dfrac{4}{9} + \dfrac{{13}}{{45}} + \dfrac{{16}}{{15}}\\ = \dfrac{{20}}{{45}} + \dfrac{{13}}{{45}} + \dfrac{{48}}{{45}}\\ = \dfrac{{81}}{{45}} = \dfrac{9}{5}\end{array}\)

Ta có \(1,4\left( {51} \right) = 1 + 0,4\left( {51} \right) = 1 + \dfrac{{451 - 4}}{{990}}\)\( = 1 + \dfrac{{447}}{{990}} = 1 + \dfrac{{149}}{{330}} = \dfrac{{479}}{{330}}\)

Và $3,1\left( {45} \right) = 3 + 0,1\left( {45} \right) = 3 + \dfrac{{145 - 1}}{{990}}$\( = 3 + \dfrac{{144}}{{990}} = 3 + \dfrac{8}{{55}} = \dfrac{{173}}{{55}}\)

Tổng các mẫu số của hai phân số \(\dfrac{{479}}{{330}};\,\dfrac{{173}}{{55}}\) là \(330 + 55 = 385.\)

Ta có: \(0,1\left( {24} \right) =  0,1\left( {24} \right) =\dfrac{{124 - 1}}{{990}}\) = \(\dfrac{{123}}{{990}} =  \dfrac{{41}}{{330}}\) 

\(4,0\left( {25} \right) = 4 + 0,0\left( {25} \right) = 4 + \dfrac{{25}}{{990}} = 4 + \dfrac{5}{{198}} = \dfrac{{792}}{{198}} + \dfrac{5}{{198}} = \dfrac{{797}}{{198}}\)

Hai phân số lần lượt là \(\dfrac{{41}}{{330}};\,\dfrac{{797}}{{198}}.\)

=> Tổng các tử số của hai phân số vừa tìm được là: \(371+797=1168\).

Ta có \(1,4\left( {51} \right) = 1 + 0,4\left( {51} \right) = 1 + \dfrac{{451 - 4}}{{990}}\)\( = 1 + \dfrac{{447}}{{990}} = 1 + \dfrac{{149}}{{330}} = \dfrac{{479}}{{330}}\)

Và $3,1\left( {45} \right) = 3 + 0,1\left( {45} \right) = 3 + \dfrac{{145 - 1}}{{990}}$\( = 3 + \dfrac{{144}}{{990}} = 3 + \dfrac{8}{{55}} = \dfrac{{173}}{{55}}\)

Hai phân số là: \(\dfrac{{479}}{{330}}\) và \(\dfrac{{173}}{{55}}\).

Ta có \(0,\left( {15} \right) = \dfrac{{15}}{{99}} = \dfrac{5}{33}\)

Hiệu tử số và mẫu số là \(5 - 33 =  -28.\)

Ta có \(0,\left( {45} \right) = \dfrac{{45}}{{99}} = \dfrac{5}{11}\)

Hiệu tử số và mẫu số là \(5 - 11 =  -6.\)

Ta có \(0,\left( {27} \right) = \dfrac{{27}}{{99}} = \dfrac{3}{11}\)

Hiệu tử số và mẫu số là \(3 - 11 =  -8.\)

Ta có: \(\dfrac{{7}}{{30}} = 7:30 = 0,2(3).\)

Ta có: \(\dfrac{{7}}{{45}} = 7:45 = 0,1(5).\)

Ta có: \(\dfrac{{23}}{{90}}= 23:90 = 0,2(5).\)

Ta có

+ \(25 = {5^2}\) nên phân số \(\dfrac{2}{{25}}\) viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Do đó A đúng.

+ \(\dfrac{{55}}{{ - 300}} = \dfrac{{ - 11}}{{60}}\) . Thấy \(60 = {2^2}.3.5\) (chứa thừa số $3$ khác $2;5$) nên phân số \(\dfrac{{ - 55}}{{300}}\) viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó B đúng.

+ Xét \(\dfrac{{63}}{{77}}\) thấy \(77 = 7.11\) (chứa các thừa số $7;11$ khác $2;5$) nên phân số \(\dfrac{{63}}{{77}}\) viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó C sai.

+ Xét   \(\dfrac{{93}}{{360}} = \dfrac{{31}}{{120}}\) có \(120 = {2^3}.3.5\) (chứa thừa số $3$ khác $2;5$) nên phân số \(\dfrac{{93}}{{360}}\)viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó D đúng.

Ta thấy \(45 = {3^2}.5;18 = {2.3^2}\)  nên các phân số \(\dfrac{2}{7};\dfrac{2}{{45}};\dfrac{{ - 7}}{{18}}\) đều viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Phân số \(\dfrac{{ - 5}}{{ - 240}} = \dfrac{1}{{48}}\) có \(48 = {2^4}.3\) nên phân số \(\dfrac{{ - 5}}{{ - 240}}\) viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Như vậy cả bốn phân số \(\dfrac{2}{7};\,\dfrac{2}{{45}};\dfrac{{ - 5}}{{ - 240}};\dfrac{{ - 7}}{{18}}\)đều viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ta có \(0,35 = \dfrac{{35}}{{100}} = \dfrac{7}{{20}}\)

Tổng tử số và mẫu số là \(7 + 20 = 27.\)

Ta có \(0,016 = \dfrac{{16}}{{1000}} = \dfrac{2}{{125}}\)

Ta có \(\dfrac{{11}}{{24}} = 11:24 = 0,458\left( 3 \right)\)

Ta có \(0,\left( {66} \right) = \dfrac{{66}}{{99}} = \dfrac{2}{3}\)

Hiệu tử số và mẫu số là \(2 - 3 =  - 1.\)

Ta có \(1,4\left( {51} \right) = 1 + 0,4\left( {51} \right) = 1 + \dfrac{{451 - 4}}{{990}}\)\( = 1 + \dfrac{{447}}{{990}} = 1 + \dfrac{{149}}{{330}} = \dfrac{{479}}{{330}}\)

Và $3,1\left( {45} \right) = 3 + 0,1\left( {45} \right) = 3 + \dfrac{{145 - 1}}{{990}}$\( = 3 + \dfrac{{144}}{{990}} = 3 + \dfrac{8}{{55}} = \dfrac{{173}}{{55}}\)

Tổng các tử số của hai phân số \(\dfrac{{479}}{{330}};\,\dfrac{{173}}{{55}}\) là \(479 + 173 = 652.\)

Ta có \(0,\left( 3 \right) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\) và \(0,4\left( 2 \right) = \dfrac{{42 - 4}}{{90}} = \dfrac{{19}}{{45}}\)

Do đó \(0,(3) + 1\dfrac{1}{9} + 0,4(2)\)\( = \dfrac{1}{3} + \dfrac{{10}}{9} + \dfrac{{19}}{{45}}\)\( = \dfrac{{15}}{{45}} + \dfrac{{50}}{{45}} + \dfrac{{19}}{{45}} = \dfrac{{84}}{{45}} = \dfrac{{28}}{{15}}\)

Ta có \(1,2\left( {31} \right) = 1 + 0,2\left( {31} \right)\) \( = 1 + \dfrac{{231 - 2}}{{990}} = \dfrac{{1219}}{{990}}\) và \(0,\left( {13} \right) = \dfrac{{13}}{{99}}\) ;

Lại có \(2,\left( 4 \right) = 2 + 0,\left( 4 \right) = 2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{{22}}{9}\)

Nên \(A = \dfrac{4}{9} + 1,2(31) + 0,(13)\)\( = \dfrac{4}{9} + \dfrac{{1219}}{{990}} + \dfrac{{13}}{{99}} = \dfrac{{440 + 1219 + 130}}{{990}} = \dfrac{{1789}}{{990}}\)

Và \(B = 3\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left[ {2,\left( 4 \right).2\dfrac{5}{{11}}} \right]:\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)\)\( = \dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left( {\dfrac{{22}}{9}.\dfrac{{27}}{{11}}} \right):\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)\)\( = \dfrac{1}{{14}} + 6.\dfrac{5}{{42}} = \dfrac{{11}}{{14}}\)

Nhận thấy \(A = \dfrac{{1789}}{{990}} > \dfrac{{990}}{{990}} = 1\) và \(B = \dfrac{{11}}{{14}} < \dfrac{{11}}{{11}} = 1\) nên \(A > B.\)

Ta có \(0,\left( {37} \right) = \dfrac{{37}}{{99}}\) nên \(0,(37).x = 1\)\( \Rightarrow \dfrac{{37}}{{99}}x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{99}}{{37}}\)

Vậy \(x = \dfrac{{99}}{{37}}.\)