Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

- Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện nên A đúng.

- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó nên B, C đúng.

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $BG = \dfrac{2}{3}BN$.

Số thích hợp điền vào chỗ trống là: $\dfrac{2}{3}.$

Theo câu trước ta có $G$ là trọng tâm của tam giác $MNP$.

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\dfrac{{NG}}{{NS}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{NG}}{{GS}} = 2 \Rightarrow NG = 2GS = 2.1,5 = 3(cm)$.

Vậy $NG = 3cm$.

Ta có: $MR;NS$ là hai đường trung tuyến của tam giác $MNP$  và chúng cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $MNP$.

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\dfrac{{MG}}{{MR}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MR = \dfrac{3}{2}MG = \dfrac{3}{2}.3 = 4,5(cm)$.

Vậy $MR = 4,5cm$.

Ta có: $MR;NS$ là hai đường trung tuyến của tam giác $MNP$  và chúng cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $MNP$.

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\dfrac{{MG}}{{MR}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MR = \dfrac{3}{2}MG = \dfrac{3}{2}.3 = 4,5(cm)$.

Vậy $MR = 4,5cm$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $AM$ là đường trung tuyến nên $AG = \dfrac{2}{3}AM$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).

Do đó $AG = \dfrac{2}{3}.15 = 10\,cm.$

Vì $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,AC,\,AB$ nên $BD = DC = \dfrac{1}{2}BC;$ $CE = EA = \dfrac{1}{2}AC;$ $AF = FB = \dfrac{1}{2}AB.$

Mặt khác: $BC = AC = AB$ (do tam giác $ABC$ là tam giác đều)

Do đó $BD = DC = CE = EA = AF = FB$.

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$ có: AB = AC; $\widehat A$ chung; AE = AF.

Vậy $\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)$ suy ra: $BE = CF\,$ (hai cạnh tương ứng) $\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có $\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)$ suy ra $BE = AD$ (hai cạnh tương ứng) $\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có: $AD = BE = CF\left( 3 \right)$

Theo đề bài $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có:

$GA = \dfrac{2}{3}AD;\,\,GB = \dfrac{2}{3}BE;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CF$$\Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}AD;\,\,GE = \dfrac{1}{3}BE;\,\,GF = \dfrac{1}{3}CF$

Kết hợp với (3) ta được: $GD = GE = GF$.

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến $BD$ và $CE$ là $G$ thì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có: $BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE$

Mà $BD = 4,5\,cm;\,CE = 6\,cm$ nên $BG = \dfrac{2}{3}.4,5 = 3\,cm;\,CG = \dfrac{2}{3}.6\, = 4\,cm.$

Xét tam giác $BGC$ vuông tại G (do $BD$ và $CE$ vuông góc với nhau tại G), theo định lý Py-ta-go ta có:

$B{C^2} = B{G^2} + C{G^2}$

$B{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25$ hay $BC = 5\,cm.$

Vậy $BC = 5\,cm.$

$\Delta ABC$ có $G$ là trọng tâm và các đường trung tuyến $AM,BN,CP$ nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$AG = \dfrac{2}{3}AM;BG = \dfrac{2}{3}BN;\,CG = \dfrac{2}{3}CP$.

Vì $G$ là trung điểm của $AD$ nên $GD = AG$ mà $AG = \dfrac{2}{3}AM\, (cmt)$, do đó $GD = \dfrac{2}{3}AM$

Ta có: $GD = AG = 2GM$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà $GD = GM + MD \Rightarrow 2GM = GM + MD$ $\Rightarrow GM = MD$

Xét $\Delta BMD$ và $\Delta CMG$ có:

$GM = MD$ (cmt)

$\widehat {BMD} = \widehat {CMG}$ (hai góc đối đỉnh)

$BM = MC$ (vì $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ )

Do đó $\Delta BMD = \Delta CMG (c.g.c)$

Suy ra $BD = CG$ (hai cạnh tương ứng) mà $CG = \dfrac{2}{3}CP$ (cmt) nên $BD = \dfrac{2}{3}CP$

Vậy $BG = \dfrac{2}{3}BN$; $GD = \dfrac{2}{3}AM$; $BD = \dfrac{2}{3}CP$.

Ta có: $DE = DB$ mà $BD + DE = BE$ nên $2BD = BE \Rightarrow BD = DE = \dfrac{1}{2}BE$.

Vì $AM;BD$ là hai đường trung tuyến của tam giác $ABC$ và chúng cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó $BI = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}BE = \dfrac{1}{3}BE$  $\left( 1 \right)$

Vì $AN;ED$ là hai đường trung tuyến của tam giác $ACE$ và chúng cắt nhau tại $K$  nên $K$ là trọng tâm tam giác $ACE$ nên $EK = \dfrac{2}{3}ED = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}BE = \dfrac{1}{3}BE\,\,\,\left( 2 \right)$

Mặt khác $BI + IK + KE = BE$  kết hợp với $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $\dfrac{1}{3}BE + IK + \dfrac{1}{3}BE = BE \Rightarrow IK = \dfrac{1}{3}BE$.

Do đó $BE = 3IK = 3.3 = 9cm$.

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên theo định lí Py-ta-go ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\,\,\, \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2}$

Mà $AC = 9cm,BC = 15cm$$\Rightarrow A{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Rightarrow AB = 12\,cm$

Ta có: $AM,BN,CE$ là các đường trung tuyến ứng với các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác vuông $ABC$

Suy ra $M,N,E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AC,AB.$

Do đó ${\rm{AE}} = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác $ACE$ vuông tại $A$  ta có: $A{C^2} + A{E^2} = C{E^2} \Rightarrow {9^2} + {6^2} = C{E^2} \Rightarrow C{E^2} = 117$$\Rightarrow CE = \sqrt {117} \,cm$.

Gọi $MH$ là đường cao kẻ từ $M$ xuống cạnh $NP;NK$ là đường cao kẻ từ $N$ xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $O$  nên $O$ là trọng tâm tam giác $MNP,$ do đó $MO = \dfrac{2}{3}ME$.

Có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$ nên $E$  là trung điểm của $NP,$ suy ra: $NP = 2.NE$

Ta có:

$\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {S_{MNE}} = \dfrac{3}{2}{S_{MNO}}$

$\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {S_{MNP}} = 2{S_{MNE}}$

Từ đó suy ra:

${S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 2.\dfrac{3}{2}.{S_{MNO}} = 3.{S_{MNO}} \Rightarrow {S_{MNP}} = 3.12 = 36\,c{m^2}$.

Theo câu trước ta có: $G$ là trọng tâm $\Delta AEF$ nên $EG = \dfrac{2}{3}EN$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà $GI = \dfrac{1}{2}EG$ (vì $I$ là trung điểm của $EG$)

Suy ra $GI = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}EN = \dfrac{1}{3}EN$

Mặt khác $GN = \dfrac{1}{3}EN$ (vì $G$ là trọng tâm $\Delta AEF$)

Do đó $GI = GN$.

Theo câu trước ta có: $AG = \dfrac{2}{3}AM$ mà $GH = \dfrac{1}{2}AG$ (vì $H$ là trung điểm của $AG$)

Suy ra $GH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}AM = \dfrac{1}{3}AM$

Mặt khác $GM = \dfrac{1}{3}AM$ (vì $G$ là trọng tâm $\Delta AEF$)

Do đó $GH = GM$.

Xét $\Delta GHI$ và $\Delta GMN$ có:

$GI = GN$ (cmt)

$\widehat {HGI} = \widehat {NGM}$ (hai góc đối đỉnh)

$GH = GM$ (cmt)

Vậy $\Delta GHI = \Delta GMN\,(c.g.c)$ $\Rightarrow HI = MN$ (hai cạnh tương ứng); $\widehat {IHG} = \widehat {NMG}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {IHG};\widehat {NMG}$ ở vị trí so le trong nên $HI//MN$.

Ta có: $MB = MC$ (vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của $\Delta ABC)$; $BE = CF$ (gt)

Mà $ME = MB + BE;MF = MC + CF$

Suy ra $ME = MF$.

Do đó $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $EF$ của $\Delta AEF$

Mặt khác $AG = \dfrac{2}{3}AM$ (do G là trọng tâm $\Delta ABC)$

Vậy G là trọng tâm $\Delta AEF$.

Ta có: $MB = MC$ (vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của $\Delta ABC)$; $BE = CF$ (gt)

Mà $ME = MB + BE;MF = MC + CF$

Suy ra $ME = MF$.

Do đó $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $EF$ của $\Delta AEF$

Mặt khác $AG = \dfrac{2}{3}AM$ (do G là trọng tâm $\Delta ABC)$

Vậy G là trọng tâm $\Delta AEF$.

Theo câu trước ta có $G$  là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có : $\dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{GD}} = 2 \Rightarrow AG = 2GD$.

Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là $2.$

Ta có $AD;BE$  và $CF$  là ba đường trung tuyến của tam giác $ABC$  và chúng cắt nhau tại $G$  nên $G$  là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có : $\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BE$.

Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là $\dfrac{2}{3}.$

Ta có $AD;BE$  và $CF$  là ba đường trung tuyến của tam giác $ABC$  và chúng cắt nhau tại $G$  nên $G$  là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có : $\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BE$.

Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là $\dfrac{2}{3}.$

Ta có $AD;BE$  và $CF$  là ba đường trung tuyến của tam giác $ABC$  và chúng cắt nhau tại $G$  nên $G$  là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có : $\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BE$.

Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là $\dfrac{2}{3}.$

+ Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai.