Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(BD\). Trên tia đối của tia \(DB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = DB.\) Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC;CE.\) Gọi \(I;K\) theo thứ tự là giao điểm của \(AM,AN\) với \(BE.\) Tính \(BE\) biết \(IK = 3cm.\)

Ta có: \(DE = DB\) mà \(BD + DE = BE\) nên \(2BD = BE \Rightarrow BD = DE = \dfrac{1}{2}BE\).

Vì \(AM;BD\) là hai đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) và chúng cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \(BI = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}BE = \dfrac{1}{3}BE\)  \(\left( 1 \right)\)

Vì \(AN;ED\) là hai đường trung tuyến của tam giác \(ACE\) và chúng cắt nhau tại \(K\)  nên \(K\) là trọng tâm tam giác \(ACE\) nên \(EK = \dfrac{2}{3}ED = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}BE = \dfrac{1}{3}BE\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt khác \(BI + IK + KE = BE\)  kết hợp với \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(\dfrac{1}{3}BE + IK + \dfrac{1}{3}BE = BE \Rightarrow IK = \dfrac{1}{3}BE\).

Do đó \(BE = 3IK = 3.3 = 9cm\).