Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Vì $\Delta MNP$ có $MN < MP < NP$ nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có $\widehat P < \widehat N < \widehat M$.

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $\Delta ABC$ ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^0} - \left( {{{50}^0} + {{70}^0}} \right) = {60^0}$

$\Rightarrow \widehat A < \widehat C < \widehat B \Rightarrow BC < AB < AC$.

Vì trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn mà cạnh $9\,cm$ là cạnh nhỏ nhất trong tam giác nên góc nhỏ nhất là góc đối diện với cạnh có độ dài $9\,cm.$

Xét $\Delta ABC$ có $AB + AC = 12cm\,\,\,\left( {\,1\,} \right);\,\,\,\,\,\,\,AB - AC = 3cm\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) suy ra $AC = 12 - AB$, thay vào (2) ta được: $AB - \left( {12 - AB} \right) = 3 \Rightarrow AB - 12 + AB = 3$

$\Rightarrow 2AB = 15 \Rightarrow AB = 15:2 = 7,5\,cm.$

$\Rightarrow AC = 12 - 7,5 = 4,5\,cm.$

$\Rightarrow AB > AC \Rightarrow \widehat C > \widehat B.$

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $\Delta DEF$ có:

$\widehat D + \widehat E + \widehat F = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat E + \widehat F = {180^0} - \widehat D$

$\Rightarrow \widehat E + \widehat F = {180^0} - {60^0}$

$\Rightarrow \widehat E + \widehat F = {120^0}$                                    (1)

Ta có $\widehat E - \widehat F = {30^o} \Rightarrow \widehat E = \widehat F + {30^o}$       (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $\widehat F + {30^o} + \widehat F = {120^o}$

$\Rightarrow 2\widehat F = {120^o} - {30^o}$

$\Rightarrow 2\widehat F = {90^o}$

$\Rightarrow \widehat F = {90^o}:2 = {45^o}$

$\Rightarrow \widehat E = \widehat F + {30^o} = {45^o} + {30^o} = {75^o}$

Do đó $\widehat F < \widehat D < \widehat E\,\,\left( {{{45}^o} < {{60}^o} < {{75}^o}} \right)$ suy ra $DE < EF < FD.$

Từ ${\rm{D}}$ kẻ đường vuông góc với $BC$ cắt $BC$ tại $H.$

Xét hai tam giác vuông $ABD$ và $HBD$ có:

$BD$ cạnh chung

$\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = {90^o}$

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (vì $BD$ là phân giác của $\widehat {ABC}$)

$\Delta ABD = \Delta HBD$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow AD = HD$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có $\widehat {{D_1}}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$ của $\Delta BDH$  nên ta có $\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}} + \widehat {DCH} \Rightarrow \widehat {{D_1}} > \widehat {{B_2}}$.

Mà $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (vì $BD$ là phân giác của $\widehat {ABC}$) nên $\widehat {{D_1}} > \widehat {{B_1}}$ suy ra $AB > AD.$

Xét $\Delta DHC$ có $\widehat {DHC} = {90^o}$ nên $DC > HD.$

Mặt khác $AD = HD\,\,(cmt)$ nên $DC > AD.$

Ta có $\widehat {ABC} + \widehat {ABH} = {180^o}$ (hai góc kề bù), mà $\widehat {ABC} < {135^o}\,(gt)$ suy ra $\widehat {ABH} > {180^o} - {135^o} = {45^o}$        (1)

$\Delta AHB$ có $\widehat {AHB} = {90^o}$ nên $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^o}$, mà $\widehat {ABH} > {45^o}\,(cmt)$ suy ra $\widehat {BAH} < {90^o} - {45^o} = {45^o}$    (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat {ABH} > \widehat {BAH}$ suy ra $AH > BH$        (3)

$\Delta AHC$ có $\widehat {AHC} = {90^o}$ nên $\widehat {CAH} + \widehat C = {90^o}$, mà $\widehat C < {45^o}\,(gt)$ nên $\widehat {CAH} > {90^o} - {45^o} = {45^o}$. Từ đó suy ra $\widehat C < \widehat {CAH}$ suy ra $AH < CH$        (4)

Từ (3) và (4) suy ra $BH < AH < CH.$

$\Delta AMN$ có $\widehat {MAN} = {90^o}$ nên  $\widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {90^o}$ suy ra $\widehat {AMN} < {90^o}$.

Ta có $\widehat {AMN} + \widehat {NMB} = {180^o}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {NMB} = {180^o} - \widehat {AMN} > {180^o} - {90^o}$

$\Rightarrow \widehat {NMB} > {90^o}$ hay $\widehat {NMB}$ là góc tù.

Xét $\Delta MNB$ có $\widehat {NMB}$ là góc tù nên $BN > MN$        (1)

$\Delta ABN$ có $\widehat {BAN} = {90^o}$ nên $\widehat {ABN} + \widehat {ANB} = {90^o}$ suy ra $\widehat {ANB} < {90^o}.$

Ta có $\widehat {ANB} + \widehat {CNB} = {180^o}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {CNB} = {180^o} - \widehat {ANB} > {180^o} - {90^o}$

$\Rightarrow \widehat {CNB} > {90^o}$ hay $\widehat {CNB}$ là góc tù.

Xét $\Delta BCN$ có $\widehat {CNB}$ là góc tù nên $BC > BN$           (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN < BN < BC$ hay $MN < BC.$

$\Delta ABC$ có $AB < AC$ (gt).

Mặt khác $BP = CN$ (gt) suy ra $AB - BP < AC - CN$ hay $AP < AN$.

$\Delta APN$ có $AP < AN$ suy ra $\widehat {ANP} < \widehat {APN}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

$\Delta ABC$ có $AB = AC$ nên $\Delta ABC$ cân tại $A$ suy ra $\widehat B = \widehat C$ (tính chất tam giác cân)     (1)

$BN$ là phân giác của $\widehat B$ nên $\widehat {IBC} = \dfrac{{\widehat B}}{2}$       (1)

$CM$ là phân giác của $\widehat C$ nên $\widehat {ICB} = \dfrac{{\widehat C}}{2}$       (2)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\widehat {IBC} = \widehat {ICB}$ do đó $\Delta IBC$ cân tại $I$ suy ra $IB = IC$ (tính chất tam giác cân).

Vì tam giác $ABC$ cân tại $B$ nên $AB = BC = 7,5\,cm$.

Chu vi tam giác $ABC$ là $20\,cm$ nên ta có $AB + AC + BC = 20 \Rightarrow AC = 20 - 2AB$

$\Rightarrow AC = 20 - 2.7,5$ $\Rightarrow AC = 5\,cm$

Suy ra $AB = BC > AC\,\,(7,5\,cm\, > 5\,cm).$

$\Delta ABC$ có $AB = BC > AC$ nên $\widehat C = \widehat A > \widehat B$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Từ đề bài ta có $\widehat A:\widehat B:\widehat C = 4:3:2$ nên $\dfrac{{\widehat A}}{4} = \dfrac{{\widehat B}}{3} = \dfrac{{\widehat C}}{2}$ $\Rightarrow \widehat A > \widehat B > \widehat C$.

Vì $\widehat A > \widehat B > \widehat C$ nên $BC > AC > AB.$

$\Delta ABH$  có $\widehat A > \widehat B\,\,(gt)$ nên $BH > AH$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

$\Delta ABH$ vuông tại $H$ nên $\widehat A + \widehat B = {90^o}$               (1)

$\Delta BCH$ vuông tại $C$ nên $\widehat {BHC} + \widehat B = {90^o}$          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat A = \widehat {BHC}$.

 Mặt khác $\widehat A > \widehat B\,\,(gt)$ nên $\widehat {BHC} > \widehat B$ suy ra $CB > CH$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Vì $\Delta ABC$ có $AC > BC > AB$ nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có $\widehat C < \widehat A < \widehat B$.

Từ đề bài ta có $\widehat A:\widehat B:\widehat C = 3:5:7$ nên $\dfrac{{\widehat A}}{3} = \dfrac{{\widehat B}}{5} = \dfrac{{\widehat C}}{7}$$\Rightarrow \widehat A < \widehat B < \widehat C$

Vì $\widehat A < \widehat B < \widehat C$ nên $BC < AC < AB.$

$\Delta ABH$  có $\widehat A > \widehat B\,\,(gt)$ nên $BH > AH$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

$\Delta ABH$ vuông tại $H$ nên $\widehat A + \widehat B = {90^o}$               (1)

$\Delta BCH$ vuông tại $C$ nên $\widehat {BHC} + \widehat B = {90^o}$          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat A = \widehat {BHC}$.

 Mặt khác $\widehat A > \widehat B\,\,(gt)$ nên $\widehat {BHC} > \widehat B$ suy ra $CB > CH$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

- Xét  $\Delta ABC$ có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$ (định lý tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {40^0} - {95^0} = {45^0}$

$\Rightarrow \widehat A < \widehat C < \widehat B \Rightarrow BC < AB < AC$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$

Chu vi tam giác $ABC$ là $16\,cm$ nên ta có $AB + AC + BC = 16 \Rightarrow 2AB = 16 - BC$$\Rightarrow 2.AB = 16 - 4$

$\Rightarrow 2.AB = 12$$\Rightarrow AB = 6\,cm$ nên $AB = AC > BC$

Vì $AB = AC > BC$ nên $\widehat C = \widehat B > \widehat A.$

$\Delta ABH$  có $\widehat A > \widehat B\,\,(gt)$ nên $BH > AH$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

$\Delta ABH$ vuông tại $H$ nên $\widehat A + \widehat B = {90^o}$               (1)

$\Delta BCH$ vuông tại $C$ nên $\widehat {BHC} + \widehat B = {90^o}$          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat A = \widehat {BHC}$.

 Mặt khác $\widehat A > \widehat B\,\,(gt)$ nên $\widehat {BHC} > \widehat B$ suy ra $CB > CH$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Vì trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn mà cạnh $8\,cm$ là cạnh lớn nhất trong tam giác nên góc lớn nhất là góc đối diện với cạnh có độ dài $8\,cm.$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$AB = AC$ (gt)

$\widehat B = \widehat C$ (tính chất tam giác cân)

$BD = EC\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAE}$ (2 góc tương ứng) nên A đúng.

Trên tia đối của tia $DA$  lấy điểm $F$  sao cho $AD = DF$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta FDB$ có:

$AD = DF\left( {gt} \right)$

$\widehat {ADE} = \widehat {BDF}$ (đối đỉnh)

$BD = DE\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ADE = \Delta FDB\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {DAE} = \widehat {BFD}\\AE = BF\end{array} \right.$

Ta có: $\widehat {AEC} = \widehat B + \widehat {BAD}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow \widehat {AEC} > \widehat B = \widehat C$ nên trong $\Delta AEC$ suy ra $AE < AC$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\left( {gt} \right)\\BF = AE\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BF < AB$

Xét $\Delta ABF$ có: $BF < AB\left( {cmt} \right)$ suy ra $\widehat {BFA} > \widehat {FAB}$ (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vậy $\widehat {BAD} = \widehat {CAE} < \widehat {DAE}$ nên B, C đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Xét $\Delta ABC$ có: $\left\{ \begin{array}{l}AB + AC = 10cm\,\,\,\left( 1 \right)\\AC - AB = 4cm\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow AC = 10 - AB$ . Thế vào (2) ta được: $10 - AB - AB = 4 \Rightarrow 2AB = 6 \Rightarrow AB = 3\,cm.$

$\Rightarrow AC = 10 - 3 = 7\,cm.$

$\Rightarrow AC > AB \Rightarrow \widehat B > \widehat C.$