Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Vì \(AB > AC \Rightarrow \widehat {ACB} > \widehat {ABC}\left( 1 \right)\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vì $BN$  là phân giác của \(\widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {NBC} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất phân giác)

Vì $CM$  là phân giác của \(\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {MCB} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\left( 3 \right)\) (tính chất phân giác)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\) \(\Rightarrow \widehat {MCB} > \widehat {NBC}\,\,hay\,\,\,\widehat {ICB} > \widehat {IBC}.\)

Xét \(\Delta BIC\) có \(\widehat {MCB} > \widehat {NBC}\left( {cmt} \right) \Rightarrow IB > IC\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Xét \(\Delta ABC\) có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {80^0} = {100^0}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat B + \widehat C = {100^0}\,\,\,\left( 1 \right)\\\widehat B - \widehat C = {20^0}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat C = \widehat B - {20^0}.\) Thế vào (1) ta được:

\(\widehat B + \widehat B - {20^0} = {100^0} \Rightarrow 2\widehat B = {120^0} \Rightarrow \widehat B = {60^0}\)

\( \Rightarrow \widehat C = {60^0} - {20^0} = {40^0}.\)

\( \Rightarrow \widehat C < \widehat B < \widehat A\)\( \Rightarrow AB < AC < BC.\)

Vì $M$  là trung điểm của $BC$  (gt) \( \Rightarrow MB = MC\) (tính chất trung điểm).

Ta có: \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) ($2$ góc đối đỉnh).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\)có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AM = MD\left( {gt} \right)\\\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\left( {cmt} \right)\\BM = MC\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow AB = DC\left( 1 \right)\)  (2 cạnh tương ứng)

Lại có, \(AB < AC\left( {gt} \right)\left( 2 \right)\) . Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow DC < AC\).

Xét \(\Delta ADC\) có: \(DC < AC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {CAD} < \widehat {CDA}\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Từ đề bài \(\widehat C > \widehat B \Rightarrow AB > AC.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AC = AE.\)

Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(AED\) có

+ \(AC = AE\)

+ \(\widehat {CAD} = \widehat {DAB}\) (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh \(AD\) chung

Suy ra \(\Delta ACD = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow DE = CD\,\,\left( 1 \right)\) và \(\widehat {AED} = \widehat {ACD}\)

Mà \(\widehat {ACD}\) là góc nhọn nên \(\widehat {AED}\) là góc nhọn, suy ra \(\widehat {BED} = 180^\circ  - \widehat {AED}\)  là góc tù, do đó \(\widehat {BED} > \widehat {EBD}\)

Xét tam giác \(BED\) có \(\widehat {BED} > \widehat {EBD}\) suy ra \(BD > DE\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(DC < BD.\)

Do \(\widehat A > 90^\circ  \Rightarrow \widehat {AEF} < 90^\circ  \) (vì $\widehat A +\widehat {AEF}+\widehat {AFE}=180^0$)

\(\Rightarrow \widehat {BEF} > 90^\circ \) \( \Rightarrow BF > EF\,\,\left( 1 \right)\) nên A đúng

Do \(\widehat A > 90^\circ  \Rightarrow \widehat {BFA} < 90^\circ \) (vì $\widehat A +\widehat {AEF}+\widehat {AFE}=180^0$)

\( \Rightarrow \widehat {BFC} > 90^\circ \) \( \Rightarrow BF < BC\,\left( 2 \right)\) nên C đúng

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(EF < BC\) nên B đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Do \(\widehat A > 90^\circ  \Rightarrow \widehat {AEF} < 90^\circ  \) (vì $\widehat A +\widehat {AEF}+\widehat {AFE}=180^0$)

\(\Rightarrow \widehat {BEF} > 90^\circ \) \( \Rightarrow BF > EF\,\,\left( 1 \right)\) nên A đúng

Do \(\widehat A > 90^\circ  \Rightarrow \widehat {BFA} < 90^\circ \) (vì $\widehat A +\widehat {AEF}+\widehat {AFE}=180^0$)

\( \Rightarrow \widehat {BFC} > 90^\circ \) \( \Rightarrow BF < BC\,\left( 2 \right)\) nên C đúng

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(EF < BC\) nên B đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Từ đề bài \(\widehat C > \widehat B \Rightarrow AB > AC.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AC = AE.\)

Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(AED\) có

+ \(AC = AE\)

+ \(\widehat {CAD} = \widehat {DAB}\) (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh \(AD\) chung

Suy ra \(\Delta ACD = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow DE = CD\,\,\left( 1 \right)\) và \(\widehat {AED} = \widehat {ACD}\)

Mà \(\widehat {ACD}\) là góc nhọn nên \(\widehat {AED}\) là góc nhọn, suy ra \(\widehat {BED} = 180^\circ  - \widehat {AED}\)  là góc tù, do đó \(\widehat {BED} > \widehat {EBD}\)

Xét tam giác \(BED\) có \(\widehat {BED} > \widehat {EBD}\) suy ra \(BD > DE\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(DC < BD.\)

Vì $M$  là trung điểm của $BC$  (gt) \( \Rightarrow MB = MC\) (tính chất trung điểm).

Ta có: \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) ($2$ góc đối đỉnh).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\)có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AM = MD\left( {gt} \right)\\\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\left( {cmt} \right)\\BM = MC\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow AB = DC\left( 1 \right)\)  (2 cạnh tương ứng)

Lại có, \(AB < AC\left( {gt} \right)\left( 2 \right)\) . Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow DC < AC\).

Xét \(\Delta ADC\) có: \(DC < AC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {CAD} < \widehat {CDA}\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Xét \(\Delta ABC\) có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {70^0} = {110^0}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat B + \widehat C = {110^0}\,\,\,\left( 1 \right)\\\widehat B - \widehat C = {30^0}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat C = \widehat B - {30^0}.\) Thế vào (1) ta được:

\(\widehat B + \widehat B - {30^0} = {110^0} \Rightarrow 2\widehat B = {140^0} \Rightarrow \widehat B = {70^0}\)

\( \Rightarrow \widehat C = {70^0} - {30^0} = {40^0}.\)

\( \Rightarrow \widehat C < \widehat B = \widehat A\)\( \Rightarrow AB < AC = BC.\) ( Định lí cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Vì \(AB > AC \Rightarrow \widehat {ACB} > \widehat {ABC}\left( 1 \right)\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vì $BN$  là phân giác của \(\widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {NBC} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất phân giác)

Vì $CM$  là phân giác của \(\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {MCB} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\left( 3 \right)\) (tính chất phân giác)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\) \(\Rightarrow \widehat {MCB} > \widehat {NBC}\,\,hay\,\,\,\widehat {ICB} > \widehat {IBC}.\)

Xét \(\Delta BIC\) có \(\widehat {MCB} > \widehat {NBC}\left( {cmt} \right) \Rightarrow IB > IC\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AC = 10cm\,\,\,\left( 1 \right)\\AC - AB = 4cm\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

$ \Rightarrow AC = 10 - AB$ . Thế vào (2) ta được: \(10 - AB - AB = 4 \Rightarrow 2AB = 6 \Rightarrow AB = 3\,cm.\)

\( \Rightarrow AC = 10 - 3 = 7\,cm.\)

\( \Rightarrow AC > AB \Rightarrow \widehat B > \widehat C.\)

Xét \(\Delta ABC\) có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {80^0} = {100^0}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\widehat B + \widehat C = {100^0}\,\,\,\left( 1 \right)\\\widehat B - \widehat C = {20^0}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat C = \widehat B - {20^0}.\) Thế vào (1) ta được:

\(\widehat B + \widehat B - {20^0} = {100^0} \Rightarrow 2\widehat B = {120^0} \Rightarrow \widehat B = {60^0}\)

\( \Rightarrow \widehat C = {60^0} - {20^0} = {40^0}.\)

\( \Rightarrow \widehat C < \widehat B < \widehat A\)\( \Rightarrow AB < AC < BC.\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

$AB = AC$ (gt)

\(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)

\(BD = EC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAE}\) (2 góc tương ứng) nên A đúng.

Trên tia đối của tia $DA$  lấy điểm $F$  sao cho \(AD = DF\).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta FDB\) có:

\(AD = DF\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {ADE} = \widehat {BDF}\) (đối đỉnh)

\(BD = DE\left( {gt} \right)\)

$ \Rightarrow \Delta ADE = \Delta FDB\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {DAE} = \widehat {BFD}\\AE = BF\end{array} \right.$

Ta có: \(\widehat {AEC} = \widehat B + \widehat {BAD}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {AEC} > \widehat B = \widehat C\) nên trong \(\Delta AEC\) suy ra \(AE < AC\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\left( {gt} \right)\\BF = AE\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BF < AB\)

Xét \(\Delta ABF\) có: \(BF < AB\left( {cmt} \right)\) suy ra \(\widehat {BFA} > \widehat {FAB}\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Vậy \(\widehat {BAD} = \widehat {CAE} < \widehat {DAE}\) nên B, C đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Vì trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn mà cạnh \(8\,cm\) là cạnh lớn nhất trong tam giác nên góc lớn nhất là góc đối diện với cạnh có độ dài \(8\,cm.\)

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\)

Chu vi tam giác $ABC$ là \(16\,cm\) nên ta có \(AB + AC + BC = 16 \Rightarrow 2AB = 16 - BC\)\( \Rightarrow 2.AB = 16 - 4\)

\( \Rightarrow 2.AB = 12\)\( \Rightarrow AB = 6\,cm\) nên \(AB = AC > BC\)

Vì \(AB = AC > BC\) nên \(\widehat C = \widehat B > \widehat A.\)

Xét  \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {180^0} - {35^0} - {90^0} = {55^0}\)

\( \Rightarrow \widehat A < \widehat C < \widehat B \Rightarrow BC < AB < AC\)

Từ đề bài ta có \(\widehat A:\widehat B:\widehat C = 3:5:7\) nên \(\dfrac{{\widehat A}}{3} = \dfrac{{\widehat B}}{5} = \dfrac{{\widehat C}}{7}\)\( \Rightarrow \widehat A < \widehat B < \widehat C\)

Vì \(\widehat A < \widehat B < \widehat C\) nên \(BC < AC < AB.\)

\(\Delta ABH\)  có \(\widehat A > \widehat B\,\,(gt)\) nên \(BH > AH\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat A + \widehat B = {90^o}\)               (1)

\(\Delta BCH\) vuông tại \(C\) nên \(\widehat {BHC} + \widehat B = {90^o}\)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat A = \widehat {BHC}\).

 Mặt khác \(\widehat A > \widehat B\,\,(gt)\) nên \(\widehat {BHC} > \widehat B\) suy ra \(CB > CH\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Vì \(\Delta ABC\) có \(AC > BC > AB\) nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có \(\widehat C < \widehat A < \widehat B\).