Tính \(A + B + C.\)
Ta có \(A + B + C = 4{x^2} - 5xy + 3{y^2} + \left( {3{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( { - {x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right)\)
\( = 4{x^2} - 5xy + 3{y^2} + 3{x^2} + 2xy + {y^2} - {x^2} + 3xy + 2{y^2}\)
\( = \left( {4{x^2} + 3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 5xy + 2xy + 3xy} \right) + \left( {3{y^2} + {y^2} + 2{y^2}} \right)\)
\( = 6{x^2} + 6{y^2}\)
Thu gọn đa thức \(\left( { - 3{x^2}y - 2x{y^2} + 16} \right) + \left( { - 2{x^2}y + 5x{y^2} - 10} \right)\) ta được:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( { - 3{x^2}y - 2x{y^2} + 16} \right) + \left( { - 2{x^2}y + 5x{y^2} - 10} \right)\\ = - 3{x^2}y - 2x{y^2} + 16 - 2{x^2}y + 5x{y^2} - 10\\ = ( - 3{x^2}y - 2{x^2}y) + ( - 2x{y^2} + 5x{y^2}) + (16 - 10)\\ = - 5{x^2}y + 3x{y^2} + 6\end{array}\).
Đa thức \(\left( {1,6{x^2} + 1,7{y^2} + 2xy} \right) - \left( {0,5{x^2} - 0,3{y^2} - 2xy} \right)\) có bậc là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {1,6{x^2} + 1,7{y^2} + 2xy} \right) - \left( {0,5{x^2} - 0,3{y^2} - 2xy} \right) = 1,6{x^2} + 1,7{y^2} + 2xy - 0,5{x^2} + 0,3{y^2} + 2xy\\ = (1,6{x^2} - 0,5{x^2}) + (1,7{y^2} + 0,3{y^2}) + (2xy + 2xy) = 1,1{x^2} + 2{y^2} + 4xy\end{array}\).
Đa thức \(1,1{x^2} + 2{y^2} + 4xy\) có bậc là \(2\).
Đa thức nào dưới đây là kết quả của phép tính \({y^2} - x\left( {{x^2}y + 3xyz} \right) + 3{x^3}y + 3{x^2}yz - 2{y^2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{y^2} - x\left( {{x^2}y + 3xyz} \right) + 3{x^3}y + 3{x^2}yz - 2{y^2} \\= {y^2} - \left( {x.{x^2}y + x.3.xyz} \right) + 3{x^3}y + 3{x^2}yz - 2{y^2}\\ = {y^2} - \left( {{x^3}y + 3{x^2}yz} \right) + 3{x^3}y + 3{x^2}yz - 2{y^2} \\= {y^2} - {x^3}y - 3{x^2}yz + 3{x^3}y + 3{x^2}yz - 2{y^2}\\ = ({y^2} - 2{y^2}) + ( - {x^3}y + 3{x^3}y) + ( - 3{x^2}yz + 3{x^2}yz) \\= - {y^2} + 2{x^3}y\end{array}\).
Tính \(C - A - B.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}C - A - B = ( - {x^2}{y^3} + 3xy + 2{x^2}{y^2}) - ({x^2}{y^3} - 2xy + 6{x^2}{y^2}) - (3{x^2}{y^2} - 2{x^2}{y^3} + 2xy)\\ = - {x^2}{y^3} + 3xy + 2{x^2}{y^2} - {x^2}{y^3} + 2xy - 6{x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^3} - 2xy\\ = ( - {x^2}{y^3} - {x^2}{y^3} + 2{x^2}{y^3}) + (3xy + 2xy - 2xy) + (2{x^2}{y^2} - 6{x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2})\\ = 3xy - 7{x^2}{y^2}\end{array}\).
Tính \(A - B - C.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A - B - C = ({x^2}{y^3} - 2xy + 6{x^2}{y^2}) - (3{x^2}{y^2} - 2{x^2}{y^3} + 2xy) - ( - {x^2}{y^3} + 3xy + 2{x^2}{y^2})\\ = {x^2}{y^3} - 2xy + 6{x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^3} - 2xy + {x^2}{y^3} - 3xy - 2{x^2}{y^2}\\ = ({x^2}{y^3} + 2{x^2}{y^3} + {x^2}{y^3}) + ( - 2xy - 2xy - 3xy) + (6{x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2} - 2{x^2}{y^2})\\ = 4{x^2}{y^3} - 7xy + {x^2}{y^2}\end{array}\).
Tính \(A + B + C.\)
Ta có: \(A + B + C = ({x^2}{y^3} - 2xy + 6{x^2}{y^2}) + (3{x^2}{y^2} - 2{x^2}{y^3} + 2xy) + ( - {x^2}{y^3} + 3xy + 2{x^2}{y^2})\).
\(\begin{array}{l} = {x^2}{y^3} - 2xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} - 2{x^2}{y^3} + 2xy - {x^2}{y^3} + 3xy + 2{x^2}{y^2}\\ = ({x^2}{y^3} - 2{x^2}{y^3} - {x^2}{y^3}) + ( - 2xy + 2xy + 3xy) + (6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^2})\\ = - 2{x^2}{y^3} + 3xy + 11{x^2}{y^2}\end{array}\).
Tính \(A + B + C.\)
Ta có: \(A + B + C = ({x^2}{y^3} - 2xy + 6{x^2}{y^2}) + (3{x^2}{y^2} - 2{x^2}{y^3} + 2xy) + ( - {x^2}{y^3} + 3xy + 2{x^2}{y^2})\).
\(\begin{array}{l} = {x^2}{y^3} - 2xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} - 2{x^2}{y^3} + 2xy - {x^2}{y^3} + 3xy + 2{x^2}{y^2}\\ = ({x^2}{y^3} - 2{x^2}{y^3} - {x^2}{y^3}) + ( - 2xy + 2xy + 3xy) + (6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^2})\\ = - 2{x^2}{y^3} + 3xy + 11{x^2}{y^2}\end{array}\).
Tìm đa thức \(M\) biết \(\left( {6{x^2} - 9x{y^2}} \right) + M = {x^2} + {y^2} - 6x{y^2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {6{x^2} - 9x{y^2}} \right) + M = {x^2} + {y^2} - 6x{y^2} \Rightarrow M = ({x^2} + {y^2} - 6x{y^2}) - \left( {6{x^2} - 9x{y^2}} \right)\\ \Rightarrow M = {x^2} + {y^2} - 6x{y^2} - 6{x^2} + 9x{y^2}\\ \Rightarrow M = ({x^2} - 6{x^2}) + {y^2} + ( - 6x{y^2} + 9x{y^2})\\ \Rightarrow M = - 5{x^2} + {y^2} + 3x{y^2}\end{array}\)
Đa thức \(N\) nào dưới đấy thỏa mãn \(N - \left( {5xy - 9{y^2}} \right) = 4xy + {x^2} - 10{y^2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}N - \left( {5xy - 9{y^2}} \right) = 4xy + {x^2} - 10{y^2} \Rightarrow N = (4xy + {x^2} - 10{y^2}) + \left( {5xy - 9{y^2}} \right)\\ \Rightarrow N = 4xy + {x^2} - 10{y^2} + 5xy - 9{y^2}\\ \Rightarrow N = (4xy + 5xy) + {x^2} + ( - 10{y^2} - 9{y^2})\\ \Rightarrow N = 9xy + {x^2} - 19{y^2}\end{array}\).
Cho \(\left( {19xy - 7{x^3}y + 9{x^2}} \right) - A = 10xy - 2{x^3}y - 9{x^2}.\) Đa thức \(A\) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {19xy - 7{x^3}y + 9{x^2}} \right) - A = 10xy - 2{x^3}y - 9{x^2} \Rightarrow A = \left( {19xy - 7{x^3}y + 9{x^2}} \right) - (10xy - 2{x^3}y - 9{x^2})\\ \Rightarrow A = 19xy - 7{x^3}y + 9{x^2} - 10xy + 2{x^3}y + 9{x^2}\\ \Rightarrow A = (19xy - 10xy) + ( - 7{x^3}y + 2{x^3}y) + (9{x^2} + 9{x^2})\\ \Rightarrow A = 9xy - 5{x^3}y + 18{x^2}\end{array}\).
Tìm đa thức \(B\) sao cho tổng của \(B\) với đa thức \(2{x^4} - 3{x^2}y + {y^4} + 6xz - {z^2}\) là đa thức \(0.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}B + (2{x^4} - 3{x^2}y + {y^4} + 6xz - {z^2}) = 0 \Rightarrow B = - (2{x^4} - 3{x^2}y + {y^4} + 6xz - {z^2})\\ \Rightarrow B = - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2}\end{array}\).
Đa thức \(B\) nào dưới đây thỏa mãn tổng của \(B\) với đa thức \(2{x^4} - 3{x^2}y + {y^4} + 6xz - {z^2}\) là đa thức không chứa biến \(x.\)
Giả sử \(C\) là tổng của đa thức \(B\) với đa thức \(2{x^4} - 3{x^2}y + {y^4} + 6xz - {z^2}\) (\(C\) là một đa thức bất kì không chứa biến \(x\)).
Ta có: \(B + \left( {2{x^4} - 3{x^2}y + {y^4} + 6xz - {z^2}} \right) = C\)
\( \Rightarrow B = C - \left( {2{x^4} - 3{x^2}y + {y^4} + 6xz - {z^2}} \right)\)
\( \Rightarrow B = - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2} + C\)
Thử đáp án A: \( - 2{x^4} + 3{x^2}y + {y^2} - 6xz + 5{y^4} + 3{z^2} = - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2} + C\)
\( \Rightarrow C = \left( { - 2{x^4} + 3{x^2}y + {y^2} - 6xz + 5{y^4} + 3{z^2}} \right) - \left( { - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2}} \right)\)
\( \Rightarrow C = {y^2} + 6{y^4} + 2{z^2}\)
Do đó \(C\) là đa thức không chứa biến \(x\), đáp án A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Thử đáp án B: \( - 2{x^4} + 3{x^2}y - 6xz + 2xz + 2{y^4} = - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2} + C\)
\( \Rightarrow C = \left( { - 2{x^4} + 3{x^2}y - 6xz + 2xz + 2{y^4}} \right) - \left( { - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2}} \right)\)
\( \Rightarrow C = 2xz + 3{y^4} - {z^2}\)
Do đó \(C\) là đa thức chứa biến \(x,\) đáp án B không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Thử đáp án C: \( - 2{x^4} - 3{x^2}y - 6xz = - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2} + C\)
\( \Rightarrow C = \left( { - 2{x^4} - 3{x^2}y - 6xz} \right) - \left( { - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2}} \right)\)
\( \Rightarrow C = - 6{x^2}y + {y^4} - {z^2}\)
Do đó \(C\) là đa thức chứa biến \(x,\) đáp án C không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Thử đáp án D: \( - 2{x^4} + 3{x^2}y - 6xz + 4{x^2}z + {z^2} = - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2} + C\)
\( \Rightarrow C = \left( { - 2{x^4} + 3{x^2}y - 6xz + 4{x^2}z + {z^2}} \right) - \left( { - 2{x^4} + 3{x^2}y - {y^4} - 6xz + {z^2}} \right)\)
\( \Rightarrow C = {y^4} + 4{x^2}z\)
Do đó \(C\) là đa thức chứa biến \(x,\) đáp án D không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính giá trị của đa thức \(C = xy + {x^2}{y^2} + {x^3}{y^3} + ... + {x^{100}}{y^{100}}\) tại \(x = - 1;y = 1.\)
Thay \(x = - 1;y = 1\) vào biểu thức C ta được:
\(\begin{array}{l}C = \left( { - 1} \right).1 + {\left( { - 1} \right)^2}{.1^2} + {\left( { - 1} \right)^3}{.1^3} + {\left( { - 1} \right)^4}{.1^4} + ... + {\left( { - 1} \right)^{99}}{.1^{99}} + {\left( { - 1} \right)^{100}}{.1^{100}}\\C = ( - 1) + 1 + ( - 1) + 1 + ... + ( - 1) + 1\\C = 0\end{array}\).
Cho \(a,b,c\) là những hằng số và \(a + 2b + 3c = 2200.\) Tính giá trị của đa thức \(P = a{x^2}{y^2} - 2b{x^3}{y^4} + 3c{x^2}y\) tại \(x = - 1;y = 1.\)
Thay \(x = - 1;y = 1\) vào biểu thức P ta được:
\(P = a.{( - 1)^2}{.1^2} - 2b.{( - 1)^3}{.1^4} + 3c.{( - 1)^2}.1 = a + 2b + 3c = 2200\).
Tính giá trị của đa thức \(M = {x^3} - 2{x^2} - x{y^2} + 2xy + 2y + 2x - 5\) biết \(x + y = 2\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}M = {x^3} - 2{x^2} - x{y^2} + 2xy + 2y + 2x - 5\\\,\,\,\,\,\,\, = ({x^3} - 2{x^2}) + (2xy - x{y^2}) + 2(x + y) - 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {x^2}(x - 2) + xy(2 - y) + 2(x + y) - 5\end{array}\)
Thay \(x + y = 2\)vào \(M\,\) ta được:
\(\begin{array}{l}M\,\, = {x^2}{\rm{[}}x - (x + y){\rm{]}} + xy(x + y - y) + 2.2 - 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {x^2}( - y) + xyx + 4 - 5\\\,\,\,\,\,\,\, = - {x^2}y + {x^2}y - 1\\\,\,\,\,\,\,\, = - 1\end{array}\).
Tính \(C - A - B.\)
Ta có \(C - A - B = - {x^2} + 3xy + 2{y^2} - \left( {4{x^2} - 5xy + 3{y^2}} \right) - \left( {3{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\)
\( = - {x^2} + 3xy + 2{y^2} - 4{x^2} + 5xy - 3{y^2} - 3{x^2} - 2xy - {y^2}\)
\( = \left( { - {x^2} - 4{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {3xy + 5xy - 2xy} \right) + \left( {2{y^2} - 3{y^2} - {y^2}} \right)\)
\( = - 8{x^2} + 6xy - 2{y^2}\)
Tính \(A - B - C.\)
Ta có \(A - B - C = 4{x^2} - 5xy + 3{y^2} - \left( {3{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \left( { - {x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right)\)
\( = 4{x^2} - 5xy + 3{y^2} - 3{x^2} - 2xy - {y^2} + {x^2} - 3xy - 2{y^2}\)
\( = \left( {4{x^2} - 3{x^2} + {x^2}} \right) + \left( { - 5xy - 2xy - 3xy} \right) + \left( {3{y^2} - {y^2} - 2{y^2}} \right)\)
\( = 2{x^2} - 10xy\)
Tính \(A + B + C.\)
Ta có \(A + B + C = 4{x^2} - 5xy + 3{y^2} + \left( {3{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( { - {x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right)\)
\( = 4{x^2} - 5xy + 3{y^2} + 3{x^2} + 2xy + {y^2} - {x^2} + 3xy + 2{y^2}\)
\( = \left( {4{x^2} + 3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 5xy + 2xy + 3xy} \right) + \left( {3{y^2} + {y^2} + 2{y^2}} \right)\)
\( = 6{x^2} + 6{y^2}\)
Tính \(A + B + C.\)
Ta có \(A + B + C = 4{x^2} - 5xy + 3{y^2} + \left( {3{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( { - {x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right)\)
\( = 4{x^2} - 5xy + 3{y^2} + 3{x^2} + 2xy + {y^2} - {x^2} + 3xy + 2{y^2}\)
\( = \left( {4{x^2} + 3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 5xy + 2xy + 3xy} \right) + \left( {3{y^2} + {y^2} + 2{y^2}} \right)\)
\( = 6{x^2} + 6{y^2}\)
