Đa thức

Các biểu thức $x - 3 + \dfrac{2}{x};\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + 2x$ đều chứa biến ở mẫu nên không phải đa thức.

Có ba đa thức là ${x^4} + 3x;xyz + a{z^2};ax\left( {by + cz} \right)$.

Ta có: $4{x^2} + x + 7{x^4} - 4{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^5} = x + 4{x^2} - 4{x^3} + 7{x^4} - \dfrac{1}{2}{x^5}$.

Bậc của đa thức ${x^2}{y^2} + x{y^5} - {x^2}{y^4}$ là $1 + 5 = 2 + 4 = 6$.

Ta có:

$\begin{array}{l}2{x^4}y - 4{y^5} + 5{x^4}y - 7{y^5} + {x^2}{y^2} - 2{x^4}y = (2{x^4}y + 5{x^4}y - 2{x^4}y) + ( - 4{y^5} - 7{y^5}) + {x^2}{y^2}\\ = (2 + 5 - 2){x^4}y + ( - 4 - 7){y^5} + {x^2}{y^2} = 5{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\end{array}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}Q = {x^2}y + 4x.xy - 3xz + {x^2}y - 2xy + 3xz = {x^2}y + 4{x^2}y - 3xz + {x^2}y - 2xy + 3xz\\ = ({x^2}y + 4{x^2}y + {x^2}y) + (3xz - 3xz) - 2xy = 6{x^2}y - 2xy\end{array}$

Bậc của đa thức $Q = 6{x^2}y - 2xy$ là $2 + 1 = 3.$

Thay $x = y =  - 1$ vào đa thức $xy + {x^2}{y^2} - {x^4}y$ ta được: $( - 1).( - 1) + {( - 1)^2}.{( - 1)^2} - {( - 1)^4}.( - 1) = 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l}12xyz - 3{x^5} + {y^4} - 5xyz + 2{x^4} - 7{y^4} = (12xyz - 5xyz) - 3{x^5} + ({y^4} - 7{y^4}) + 2{x^4}\\ = 7xyz - 3{x^5} - 6{y^4} + 2{x^4}\end{array}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A - B = (4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5) - ( - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4})\\ = 4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5 + 4{z^3} - 8 - 3{y^2}x + 5{x^4}\\ = (4{x^4} + 5{x^4}) + (2{y^2}x - 3{y^2}x) + ( - 3{z^3} + 4{z^3}) + 5 - 8\\ = 9{x^4} - {y^2}x + {z^3} - 3\end{array}$.

Ta có $A = 13x\left( { - 2x{y^2}} \right)\left( {x{y^3}{z^3}} \right)$$= 13.\left( { - 2} \right).x.x.x.{y^2}.{y^3}.{z^3} =  - 26{x^3}{y^5}{z^3}$

Và $B = 3a{x^2}{y^2}\left( { - \dfrac{1}{3}ab{x^3}{y^2}} \right)$$= 3a.\left( { - \dfrac{1}{3}ab} \right).{x^2}.{x^3}.{y^2}.{y^2} =  - {a^2}b{x^5}{y^4}$

Vậy $A =  - 26{x^3}{y^5}{z^3};B =  - {a^2}b{x^5}{y^4}.$

Ta có:

$\begin{array}{l}A + B = (4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5) + ( - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4})\\ = 4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5 - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4}\\ = (4{x^4} - 5{x^4}) + (2{y^2}x + 3{y^2}x) + ( - 3{z^3} - 4{z^3}) + 5 + 8\\ =  - {x^4} + 5{y^2}x - 7{z^3} + 13\end{array}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A + B = (4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5) + ( - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4})\\ = 4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5 - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4}\\ = (4{x^4} - 5{x^4}) + (2{y^2}x + 3{y^2}x) + ( - 3{z^3} - 4{z^3}) + 5 + 8\\ =  - {x^4} + 5{y^2}x - 7{z^3} + 13\end{array}$.

Ta có $A + B = 3{x^3}{y^2} + 2{x^2}y - xy + 4xy - 3{x^2}y + 2{x^3}{y^2} + {y^2}$$= \left( {3{x^3}{y^2} + 2{x^3}{y^2}} \right) + \left( {2{x^2}y - 3{x^2}y} \right) + \left( { - xy + 4xy} \right) + {y^2}$

$= 5{x^3}{y^2} - {x^2}y + 3xy + {y^2}$

Ta có $P = M + N$$= 5{x^2}y - x{y^2} - xy + 7{x^3} + y - 2x{y^2} - 3xy + 1$$= 7{x^3} + 5{x^2}y + \left( { - x{y^2} - 2x{y^2}} \right) + \left( { - xy - 3xy} \right) + y + 1$

$= 7{x^3} + 5{x^2}y - 3x{y^2} - 4xy + y + 1$

Ta có: $A - \left( {5{x^4} - 2{y^3} + 3{x^2} - 5y + 1} \right) = 6{x^3} + 2{y^3} - y - 1$.

Khi đó:

$\begin{array}{l}A = (6{x^3} + 2{y^3} - y - 1) + \left( {5{x^4} - 2{y^3} + 3{x^2} - 5y + 1} \right)\\ = 6{x^3} + 2{y^3} - y - 1 + 5{x^4} - 2{y^3} + 3{x^2} - 5y + 1\\ = 6{x^3} + (2{y^3} - 2{y^3}) + ( - y - 5y) + ( - 1 + 1) + 5{x^4} + 3{x^2}\\ = 6{x^3} - 6y + 5{x^4} + 3{x^2}\end{array}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}({x^3} + {y^3} + 3{x^2}y) - ({x^3} + {y^3} - 3{x^2}y) - (6{x^2}y - 9)\\ = {x^3} + {y^3} + 3{x^2}y - {x^3} - {y^3} + 3{x^2}y - 6{x^2}y + 9\\ = ({x^3} - {x^3}) + ({y^3} - {y^3}) + (3{x^2}y + 3{x^2}y - 6{x^2}y) + 9\\ = 9\end{array}$

Bậc của đa thức $9$ là $0.$

Ta có: $P =  - 2x{y^3} + 10xy - 3{x^2}y \Rightarrow \,\,2P = 2.( - 2x{y^3} + 10xy - 3{x^2}y) =  - 4x{y^3} + 20xy - 6{x^2}y$

Theo đề bài: $C - 2P = Q \Rightarrow C = Q + 2P$

Do đó $C = (xy - 7{x^2}y + 5x{y^3} + 10xy) + ( - 4x{y^3} + 20xy - 6{x^2}y)$

$\begin{array}{l} = xy - 7{x^2}y + 5x{y^3} + 10xy - 4x{y^3} + 20xy - 6{x^2}y\\ = (xy + 10xy + 20xy) + ( - 7{x^2}y - 6{x^2}y) + (5x{y^3} - 4x{y^3})\\ = 31xy - 13{x^2}y + x{y^3}\end{array}$.

Đơn thức $A =  - 26{x^3}{y^5}{z^3}$ có  bậc là $3 + 5 + 3 = 11.$

Đơn thức $B =  - {a^2}b{x^5}{y^4}$ có bậc là $5 + 4 = 9.$

Bậc của đơn thức $A$ và $B$ lần lượt là $11$ và $9.$

Ta có: $M =  - 7x{y^3} - xy + 4{x^2}y = 4{x^2}y - xy - 7x{y^3}$ có bậc là $1 + 3 = 4$.

Đơn thức $A =  - 26{x^3}{y^5}{z^3}$ có phần hệ số là $- 26.$

Đơn thức $B =  - {a^2}b{x^5}{y^4}$ có phần hệ số là $- {a^2}b.$

Ta có:

$\begin{array}{l}M = P - Q = ( - 2x{y^3} + 10xy - 3{x^2}y) - (xy - 7{x^2}y + 5x{y^3} + 10xy)\\ =  - 2x{y^3} + 10xy - 3{x^2}y - xy + 7{x^2}y - 5x{y^3} - 10xy\\ = ( - 2x{y^3} - 5x{y^3}) + (10xy - xy - 10xy) + ( - 3{x^2}y + 7{x^2}y)\\ =  - 7x{y^3} - xy + 4{x^2}y\end{array}$.