Cho các biểu thức \(x - 3 + \dfrac{2}{x};{x^4} + 3x;xyz + a{z^2};ax\left( {by + cz} \right);\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + 2x\) (\(a\) là hằng số). Có bao nhiêu đa thức trong các biểu thức trên?
Các biểu thức \(x - 3 + \dfrac{2}{x};\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + 2x\) đều chứa biến ở mẫu nên không phải đa thức.
Có ba đa thức là \({x^4} + 3x;xyz + a{z^2};ax\left( {by + cz} \right)\).
Sắp xếp đa thức \(4{x^2} + x + 7{x^4} - 4{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^5}\) theo lũy thừa tăng dần của biến \(x.\)
Ta có: \(4{x^2} + x + 7{x^4} - 4{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^5} = x + 4{x^2} - 4{x^3} + 7{x^4} - \dfrac{1}{2}{x^5}\).
Bậc của đa thức \({x^2}{y^2} + x{y^5} - {x^2}{y^4}\) là:
Bậc của đa thức \({x^2}{y^2} + x{y^5} - {x^2}{y^4}\) là \(1 + 5 = 2 + 4 = 6\).
Thu gọn đa thức \(2{x^4}y - 4{y^5} + 5{x^4}y - 7{y^5} + {x^2}{y^2} - 2{x^4}y\) ta được:
Ta có:
\(\begin{array}{l}2{x^4}y - 4{y^5} + 5{x^4}y - 7{y^5} + {x^2}{y^2} - 2{x^4}y = (2{x^4}y + 5{x^4}y - 2{x^4}y) + ( - 4{y^5} - 7{y^5}) + {x^2}{y^2}\\ = (2 + 5 - 2){x^4}y + ( - 4 - 7){y^5} + {x^2}{y^2} = 5{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\end{array}\).
Thu gọn và tìm bậc của đa thức \(Q = {x^2}y + 4x.xy - 3xz + {x^2}y - 2xy + 3xz\) ta được:
Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = {x^2}y + 4x.xy - 3xz + {x^2}y - 2xy + 3xz = {x^2}y + 4{x^2}y - 3xz + {x^2}y - 2xy + 3xz\\ = ({x^2}y + 4{x^2}y + {x^2}y) + (3xz - 3xz) - 2xy = 6{x^2}y - 2xy\end{array}\)
Bậc của đa thức \(Q = 6{x^2}y - 2xy\) là \(2 + 1 = 3.\)
Giá trị của đa thức \(xy + {x^2}{y^2} - {x^4}y\) tại \(x = y = - 1\) là:
Thay \(x = y = - 1\) vào đa thức \(xy + {x^2}{y^2} - {x^4}y\) ta được: \(( - 1).( - 1) + {( - 1)^2}.{( - 1)^2} - {( - 1)^4}.( - 1) = 3\).
Đa thức \(12xyz - 3{x^5} + {y^4} - 5xyz + 2{x^4} - 7{y^4}\) được rút gọn thành:
Ta có:
\(\begin{array}{l}12xyz - 3{x^5} + {y^4} - 5xyz + 2{x^4} - 7{y^4} = (12xyz - 5xyz) - 3{x^5} + ({y^4} - 7{y^4}) + 2{x^4}\\ = 7xyz - 3{x^5} - 6{y^4} + 2{x^4}\end{array}\).
Tính \(A - B.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A - B = (4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5) - ( - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4})\\ = 4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5 + 4{z^3} - 8 - 3{y^2}x + 5{x^4}\\ = (4{x^4} + 5{x^4}) + (2{y^2}x - 3{y^2}x) + ( - 3{z^3} + 4{z^3}) + 5 - 8\\ = 9{x^4} - {y^2}x + {z^3} - 3\end{array}\).
Thu gọn các đơn thức trên.
Ta có \(A = 13x\left( { - 2x{y^2}} \right)\left( {x{y^3}{z^3}} \right)\)\( = 13.\left( { - 2} \right).x.x.x.{y^2}.{y^3}.{z^3} = - 26{x^3}{y^5}{z^3}\)
Và \(B = 3a{x^2}{y^2}\left( { - \dfrac{1}{3}ab{x^3}{y^2}} \right)\)\( = 3a.\left( { - \dfrac{1}{3}ab} \right).{x^2}.{x^3}.{y^2}.{y^2} = - {a^2}b{x^5}{y^4}\)
Vậy \(A = - 26{x^3}{y^5}{z^3};B = - {a^2}b{x^5}{y^4}.\)
Tính \(A + B.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A + B = (4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5) + ( - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4})\\ = 4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5 - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4}\\ = (4{x^4} - 5{x^4}) + (2{y^2}x + 3{y^2}x) + ( - 3{z^3} - 4{z^3}) + 5 + 8\\ = - {x^4} + 5{y^2}x - 7{z^3} + 13\end{array}\).
Tính \(A + B.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A + B = (4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5) + ( - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4})\\ = 4{x^4} + 2{y^2}x - 3{z^3} + 5 - 4{z^3} + 8 + 3{y^2}x - 5{x^4}\\ = (4{x^4} - 5{x^4}) + (2{y^2}x + 3{y^2}x) + ( - 3{z^3} - 4{z^3}) + 5 + 8\\ = - {x^4} + 5{y^2}x - 7{z^3} + 13\end{array}\).
Tính \(A + B.\)
Ta có \(A + B = 3{x^3}{y^2} + 2{x^2}y - xy + 4xy - 3{x^2}y + 2{x^3}{y^2} + {y^2}\)\( = \left( {3{x^3}{y^2} + 2{x^3}{y^2}} \right) + \left( {2{x^2}y - 3{x^2}y} \right) + \left( { - xy + 4xy} \right) + {y^2}\)
\( = 5{x^3}{y^2} - {x^2}y + 3xy + {y^2}\)
Tính \(P = M + N.\)
Ta có \(P = M + N\)\( = 5{x^2}y - x{y^2} - xy + 7{x^3} + y - 2x{y^2} - 3xy + 1\)\( = 7{x^3} + 5{x^2}y + \left( { - x{y^2} - 2x{y^2}} \right) + \left( { - xy - 3xy} \right) + y + 1\)
\( = 7{x^3} + 5{x^2}y - 3x{y^2} - 4xy + y + 1\)
Tìm đa thức \(A\) sao cho \(A - \left( {5{x^4} - 2{y^3} + 3{x^2} - 5y + 1} \right) = 6{x^3} + 2{y^3} - y - 1\).
Ta có: \(A - \left( {5{x^4} - 2{y^3} + 3{x^2} - 5y + 1} \right) = 6{x^3} + 2{y^3} - y - 1\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}A = (6{x^3} + 2{y^3} - y - 1) + \left( {5{x^4} - 2{y^3} + 3{x^2} - 5y + 1} \right)\\ = 6{x^3} + 2{y^3} - y - 1 + 5{x^4} - 2{y^3} + 3{x^2} - 5y + 1\\ = 6{x^3} + (2{y^3} - 2{y^3}) + ( - y - 5y) + ( - 1 + 1) + 5{x^4} + 3{x^2}\\ = 6{x^3} - 6y + 5{x^4} + 3{x^2}\end{array}\).
Bậc của đa thức \(({x^3} + {y^3} + 3{x^2}y) - ({x^3} + {y^3} - 3{x^2}y) - (6{x^2}y - 9)\) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}({x^3} + {y^3} + 3{x^2}y) - ({x^3} + {y^3} - 3{x^2}y) - (6{x^2}y - 9)\\ = {x^3} + {y^3} + 3{x^2}y - {x^3} - {y^3} + 3{x^2}y - 6{x^2}y + 9\\ = ({x^3} - {x^3}) + ({y^3} - {y^3}) + (3{x^2}y + 3{x^2}y - 6{x^2}y) + 9\\ = 9\end{array}\)
Bậc của đa thức \(9\) là \(0.\)
Tìm \(C\) biết \(C - 2P = Q.\)
Ta có: \(P = - 2x{y^3} + 10xy - 3{x^2}y \Rightarrow \,\,2P = 2.( - 2x{y^3} + 10xy - 3{x^2}y) = - 4x{y^3} + 20xy - 6{x^2}y\)
Theo đề bài: \(C - 2P = Q \Rightarrow C = Q + 2P\)
Do đó \(C = (xy - 7{x^2}y + 5x{y^3} + 10xy) + ( - 4x{y^3} + 20xy - 6{x^2}y)\)
\(\begin{array}{l} = xy - 7{x^2}y + 5x{y^3} + 10xy - 4x{y^3} + 20xy - 6{x^2}y\\ = (xy + 10xy + 20xy) + ( - 7{x^2}y - 6{x^2}y) + (5x{y^3} - 4x{y^3})\\ = 31xy - 13{x^2}y + x{y^3}\end{array}\).
Bậc của đơn thức \(A\) và \(B\) lần lượt là:
Đơn thức \(A = - 26{x^3}{y^5}{z^3}\) có bậc là \(3 + 5 + 3 = 11.\)
Đơn thức \(B = - {a^2}b{x^5}{y^4}\) có bậc là \(5 + 4 = 9.\)
Bậc của đơn thức \(A\) và \(B\) lần lượt là \(11\) và \(9.\)
Sắp xếp \(M\) theo lũy thừa giảm dần đối với biến \(x\) và tăng dần đối với biến \(y\). Xác định bậc của \(M.\)
Ta có: \(M = - 7x{y^3} - xy + 4{x^2}y = 4{x^2}y - xy - 7x{y^3}\) có bậc là \(1 + 3 = 4\).
Hệ số của đơn thức \(A\) và \(B\) lần lượt là:
Đơn thức \(A = - 26{x^3}{y^5}{z^3}\) có phần hệ số là \( - 26.\)
Đơn thức \(B = - {a^2}b{x^5}{y^4}\) có phần hệ số là \( - {a^2}b.\)
Tính \(M = P - Q.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}M = P - Q = ( - 2x{y^3} + 10xy - 3{x^2}y) - (xy - 7{x^2}y + 5x{y^3} + 10xy)\\ = - 2x{y^3} + 10xy - 3{x^2}y - xy + 7{x^2}y - 5x{y^3} - 10xy\\ = ( - 2x{y^3} - 5x{y^3}) + (10xy - xy - 10xy) + ( - 3{x^2}y + 7{x^2}y)\\ = - 7x{y^3} - xy + 4{x^2}y\end{array}\).
