Giá trị của một biểu thức đại số

Thay $x = - 2$ vào biểu thức $\dfrac{{{x^2} + 3x}}{2}$ ta được $\dfrac{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + 3.\left( { - 2} \right)}}{2} = \dfrac{{4 + \left( { - 6} \right)}}{2} = \dfrac{{ - 2}}{2} = - 1$

Từ $x - 2 = 1$ suy ra $x = 1 + 2 = 3$.

Thay $x = 3$ vào biểu thức $A$ ta có: $A = {3^4} + {2.3^2} - 4 = 81 + 18 - 4 = 95$.

Vậy $A = 95$ khi $x$ thỏa mãn$x - 2 = 1$. 

Thay $x = - 1;y = 2$ vào biểu thức $B$ ta có: $- {2^2} + 3.{\left( { - 1} \right)^3} + 10 = - 4 - 3 + 10 = 3$

Vậy $B = 3$ tại $x = - 1;y = 2$.

+ Thay $x = 2;\,y = - 4$ vào biểu thức $A$ ta được $A = \dfrac{{2.\left( { - 4} \right) - 7}}{2} = \dfrac{{ - 8 - 7}}{2} = \dfrac{{ - 15}}{2}.$

+ Thay $x = 2;\,y = - 4$ vào biểu thức $B$ ta được:

 $B = {2.2^3} - {2^3}.{\left( { - 4} \right)^3} - {2^2}.\left( { - 4} \right) = 16 - \left( { - 512} \right) - \left( { - 16} \right) = 16 + 512 + 16 = 544$

Suy ra $A < B$ khi $x = 2;\,y =  - 4$.

Ta có $\left| x \right| = 2 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x =  - 2.$

+ Trường hợp 1: $x = 2$

 Thay $x = 2$ vào biểu thức $M$ ta được:

$M = {4.2^3} + 2 - 2020 = 32 + 2 - 2020 =  - 1986.$

Vậy $M =  - 1986$ tại $x = 2.$

+ Trường hợp 1: $x = - 2$

Thay $x = - 2$ vào biểu thức $M$ ta được:

$M = 4.{\left( { - 2} \right)^3} + \left( { - 2} \right) - 2020 = - 32 + \left( { - 2} \right) - 2020 = - 2054.$

Vậy $M = - 2054$ tại $x = -2.$

Với $\left| x \right| = 2$ thì $M = - 1986$ hoặc $M = - 2054.$

Thay $x = 4;y = - 5;z = - 2$ vào biểu thức $E$ ta có:

${4^4} + {4.4^2}.\left( { - 5} \right) - 6.\left( { - 2} \right) = 256 + 4.16.\left( { - 5} \right) - \left( { - 12} \right)$

$= 256 + \left( { - 320} \right) + 12 = - 64 + 12 = - 52$

Vậy $E = -52$ tại $x = 4;y = - 5;z = - 2$.

Ta có $P = 2\left( {x - y} \right) + {x^2}\left( {x - y} \right) - {y^2}\left( {x - y} \right) + 3$

$= \left[ {2\left( {x - y} \right) + {x^2}\left( {x - y} \right) - {y^2}\left( {x - y} \right)} \right] + 3$

$= \left( {x - y} \right)\left( {2 + {x^2} - {y^2}} \right) + 3$

$= \left( {x - y} \right).0 + 3 = 3$ vì ${x^2} - {y^2} + 2 = 0$

Vậy $P = 3$ khi ${x^2} - {y^2} + 2 = 0$.

Ta có $N = \left( {3x + 3y} \right)\left( {2y + 2z} \right)\left( {4x + 4z} \right)$

$= \left[ {3\left( {x + y} \right)} \right].\left[ {2\left( {y + z} \right)} \right].\left[ {4\left( {x + z} \right)} \right]$

$= 3.2.4.\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)$

$= 24\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)$

Từ $x + y + z = 0 \Rightarrow x + y = - z;y + z = - x;x + z = - y$ thay vào $N$ ta được:

$N = 24\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)$ $= 24.\left( { - z} \right).\left( { - x} \right).\left( { - y} \right) = - 24xyz$

Mà $xyz = 8$ nên $N = - 24.8 = - 192.$

Vậy với $xyz = 8$ và $x + y + z = 0$ thì $N =  - 192.$

Để biểu thức đại số $18 - 2{y^2}$ có giá trị bằng $0$ thì $18 - 2{y^2} = 0$

$\Rightarrow 2{y^2} = 18$

$\Rightarrow {y^2} = 18:2$

$\Rightarrow {y^2} = 9$

$\Rightarrow y = 3$ hoặc $y =  - 3.$

Với $B = 0$ thì $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$

$\Rightarrow {x^2} - 4 = 0$ hoặc $2x + 1 = 0$

+ Với ${x^2} - 4 = 0$ $\Rightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = - 2.$

+ Với $2x + 1 = 0$ $\Rightarrow 2x = - 1 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{2}$.

Vậy giá trị của $B$ bằng $0$ tại $x = 2;\,x = - 2$ và $x = \dfrac{{ - 1}}{2}.$

Do đó có ba giá trị của $x$ để $B = 0.$

Ta có $D = 0 \Rightarrow$${\left( {2y - 4} \right)^2} + 5\left| {x - 5} \right| = 0$ mà ${\left( {2y - 4} \right)^2} \ge 0;\,\,5\left| {x - 5} \right| \ge 0$ nên ${\left( {2y - 4} \right)^2} + 5\left| {x - 5} \right| \ge 0$

Từ đó dấu “=” xảy ra khi  $2y - 4 = 0$ và $x - 5 = 0$

Hay $x = 5;y = 2.$

Vậy $D = 0$ khi $x = 5;y = 2.$

Ta có ${\left( {3x + 6} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in R,\,y \in R$ nên $A = {\left( {3x + 6} \right)^2} + 2{\left( {y + 3} \right)^2} + 2020 \ge 2020$ với mọi $x \in R,\,y \in R$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {3x + 6} \right)^2} = 0$ và ${\left( {y + 3} \right)^2} = 0$

Suy ra $3x + 6 = 0$ và $y + 3 = 0$ hay $x = - 2$ và $y = - 3.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $2020$ khi $x = - 2$ và $y =  - 3.$

Vì $\left| {3 - x} \right| \ge 0$ với mọi $x$ $\Rightarrow \,B \le 11 - 0 = 11$ với mọi $x.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $3 - x = 0\, \Rightarrow x = 3.$

Vậy B đạt giá trị lớn nhất là $11$ tại $x = 3$.

Ta có ${\left( {{x^3} - 8} \right)^2} \ge 0;\,\,\left| {2y + 9} \right| \ge 0$ với mọi $x \in R,\,y \in R$ nên $P = {\left( {{x^3} - 8} \right)^2} + \left| {2y + 9} \right| - 20 \ge  - 20$ với mọi $x \in R,\,y \in R$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {{x^3} - 8} \right)^2} = 0$ và $\left| {2y + 9} \right| = 0$

Suy ra ${x^3} - 8 = 0$ và $2y + 9 = 0$

+ Với ${x^3} - 8 = 0$ $\Rightarrow {x^3} = 8 \Rightarrow {x^3} = {2^3} \Rightarrow x = 2.$

+ Với $2y + 9 = 0$ $\Rightarrow 2y = - 9 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 9}}{2}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $- 20$ khi $x = 2$ và $y = \dfrac{{ - 9}}{2}.$

Vì ${\left( {2{x^2} - 162} \right)^6} \ge 0$ với mọi $x$  $\Rightarrow \,M \le 110 - 0 = 110$ với mọi $x.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {2{x^2} - 162} \right)^6} = 0$

$\Rightarrow 2{x^2} - 162 = 0 \Rightarrow 2{x^2} = 162 \Rightarrow {x^2} = 162:2$

$\Rightarrow {x^2} = 81 \Rightarrow x = 9$ hoặc $x =  - 9.$

Vậy $M$  đạt giá trị lớn nhất là $110$ tại $x = 9$ hoặc $x =  - 9.$

Thay $x = 2$ vào biểu thức ${x^3} + 2{x^2} - 3$ ta được ${2^3} + {2.2^2} - 3 = 8 + 8 - 3 = 13.$

Thay $x = -2$ vào biểu thức $A$  ta có: ${( - 2)^2} - 3.( - 2) + 8 = 4 + 6 + 8 = 18$.

Vậy $A = 18$ tại $x = -2.$

Thay $x = 3;y = -4$ vào biểu thức $B$  ta có: ${3^3} + 6.( - 4) - 35 = 27 - 24 - 35 = 3 - 35 =  - 32$

Vậy $B = -32$ tại $x = 3;y = -4.$

+ Thay $x =  - 1;\,y = 3$ vào biểu thức $A$  ta được $A = 4.{\left( { - 1} \right)^2}.3 - 5 = 7$

+ Thay $x =  - 1;\,y = 3$ vào biểu thức $B$ ta được $B = 3.{\left( { - 1} \right)^3}.3 + 6.{\left( { - 1} \right)^2}{.3^2} + 3.\left( { - 1} \right){.3^2}$$=  - 9 + 54 - 27 = 18.$

Suy ra $A < B$ khi $x =  - 1;\,y = 3.$

Ta có $\left| x \right| = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.$

+ Trường hợp 1: $x = 4$ : Thay $x = 4$ vào biểu thức ta có:

${5.4^2} - 2.4 - 18 = 5.16 - 8 - 18 = 80 - 8 - 18 = 54$

Vậy $B = 54$ tại $x = 4.$

+ Trường hợp 1: $x = –4:$  Thay $x = –4$ vào biểu thức ta có:

$5.{( - 4)^2} - 2.( - 4) - 18 = 5.16 + 8 - 18 = 80 + 8 - 18 = 70$

Vậy $B = 70$ tại $x = -4.$

Với $\left| x \right| = 4$ thì $B = 54$ hoặc $B = 70.$