Tính chất đường trung trực của tam giác

Ta có $\Delta AOB = \Delta COE \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OCE}\,\,\left( 1 \right)$

$\Delta AOC$ cân tại $O \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OCE}\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {OAB} = \widehat {OAC}$ , do đó $AO$ là tia phân giác góc $A.$

Xét tam giác $AOB$ và $COE$ có

+ $OA = OC$  (vì $O$ thuộc đường trung trực của $AC$)

+ $OB = OE$ (vì $O$ thuộc đường trung trực của $BE$)

+ $AB = CE$ (giả thiết)

Do đó $\Delta AOB = \Delta COE\left( {c - c - c} \right)$

Xét tam giác $AOB$ và $COE$ có

+ $OA = OC$  (vì $O$ thuộc đường trung trực của $AC$)

+ $OB = OE$ (vì $O$ thuộc đường trung trực của $BE$)

+ $AB = CE$ (giả thiết)

Do đó $\Delta AOB = \Delta COE\left( {c - c - c} \right)$

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Vậy C đúng.

Giả sử $\Delta ABC$ có: $AM$ là đường phân giác đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh $BC$.

Vì $AM$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ (gt) $\Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {MAC}$ (tính chất tia phân giác)

Vì $AM$ là đường trung trực của $BC$ nên $AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\,(cmt)$

$AM$ là cạnh chung

$\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACM$ (g.c.g)

$\Rightarrow AB = AC$ (2 cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A.$

Vì $\Delta ABC$ cân tại A (gt) $\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^o}$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (cmt) nên $\widehat {BAC} + 2\widehat {ABC} = {180^o} \Rightarrow \widehat {ABC} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{50}^o}}}{2} = {65^o}$

Vì $D$ thuộc đường trung trực của $AB$ nên

$\Rightarrow AD = BD$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại $D$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {ABC} = {65^o}$ (tính chất tam giác cân)

Mà $\widehat {DAC} + \widehat {CAB} = \widehat {DAB} \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DAB} - \widehat {CAB} = {65^0} - {50^0} = {15^0}.$

Vì đường trung trực của $AC$ cắt $AB$ tại $D$ nên $DA = DC$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta ADC$ là tam giác cân tại $D$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat A = \widehat {{C_2}}\,\left( 1 \right)$ (tính chất tam giác cân).

Vì $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ $\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\left( 2 \right)$ (tính chất tia phân giác).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {ACB} = 2\widehat {{C_2}} = 2\widehat A$ mà $\widehat A = {35^0}$ nên $\widehat {ACB} = {2.35^o} = {70^o}$

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} - (\widehat A + \widehat {ACB}) = {180^0} - ({35^0} + {70^0}) = {75^0}$

Vậy $\widehat {ABC} = {75^o};\widehat {ACB} = {70^o}$.

Giả sử đường trung trực của $OA$ cắt $OA$ tại $H$; đường trung trực của $OB$ cắt $OB$ tại $K$.

Vì $HI$ là đường trung trực của $OA$ nên $IO = IA$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Vì $KI$ là đường trung trực của $OB$ nên $IO = IB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Do đó $IA = IB\,\,(= IO)$

Xét $\Delta OIA$ và $\Delta OIB$ có:

$IA = IB$ (cmt)

$IO$ là cạnh chung

$OA = OB$ (gt)

Do đó $\Delta OIA = \Delta OIB\, (c.c.c) \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $OI$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$. Đáp án A đúng

Theo giả thiết: $OA = OB$ suy ra $O$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Theo chứng minh trên ta có $IA = IB$ suy ra $I$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Do đó $OI$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Đáp án B đúng.

Theo câu trước ta có: $OE = OF$ nên $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Do $\Delta ABC$ cố định nên $O$ cũng cố định.

Vậy đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ luôn đi qua điểm $O$ cố định.

Vì $O$ thuộc đường trung trực của cạnh $AB$ nên $OA = OB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$ (tính chất tam giác cân)   $(1)$

Vì $AH$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (tính chất tia phân giác)   $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_2}}$

Ta có $AC = AF + CF$ mà $AE = CF$ (gt) nên $AC = AF + AE$

Mặt khác: $AB = AC$(gt); $AB = AE + BE$

Do đó $AF = BE$

Xét $\Delta BOE$ và $\Delta AOF$ có: $BE = AF$ (cmt); $\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_2}}$ (cmt); $OB = OA$ (cmt)

Do đó $\Delta BOE = \Delta AOF\,(c.g.c)$

Suy ra $OE = OF$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $O$ thuộc đường trung trực của cạnh $AB$ nên $OA = OB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$ (tính chất tam giác cân)   $(1)$

Vì $AH$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (tính chất tia phân giác)   $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_2}}$

Ta có $AC = AF + CF$ mà $AE = CF$ (gt) nên $AC = AF + AE$

Mặt khác: $AB = AC$(gt); $AB = AE + BE$

Do đó $AF = BE$

Xét $\Delta BOE$ và $\Delta AOF$ có: $BE = AF$ (cmt); $\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_2}}$ (cmt); $OB = OA$ (cmt)

Do đó $\Delta BOE = \Delta AOF\,(c.g.c)$

Suy ra $OE = OF$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $E$ thuộc đường trung trực của $AB$ nên $EA = EB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Khi đó $\Delta AEB$ cân tại $E$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat B$ (tính chất tam giác cân).

Vì $F$ thuộc đường trung trực của $AC$ nên $FA = FC$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Khi đó $\Delta AFC$ cân tại $F$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \widehat {{A_3}} = \widehat C$ (tính chất tam giác cân).

Do đó $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = \widehat B + \widehat C$

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = {180^0}$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

$\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat {BAC} = {180^0} - {110^0} = {70^0}$ hay $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = {70^0}$

Ta có: $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} = \widehat {BAC}$  $\Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} - (\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}}) = {110^0} - {70^0} = {40^0}.$

Theo câu trước ta có: $\Delta BME = \Delta BMP$ (g.c.g) suy ra $BE = BP$ (hai cạnh tương ứng)

Theo câu trước ta có: $\Delta CNF = \Delta CNP$ (g.c.g) suy ra $CF = CP$ (hai cạnh tương ứng)

Khi đó $BE + CF = BP + CP = BC$.

Giả sử $EP \bot BO$ tại $M$; $PF \bot OC$ tại $N$.

Khi đó $\widehat {BME} = \widehat {BMP} = {90^0}$; $\widehat {CNF} = \widehat {PNC} = {90^0}$

Vì $BO$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ (gt) nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $\Delta BME$ và $\Delta BMP$ có:

$\widehat {BME} = \widehat {BMP} = {90^0}$ (cmt)

$BM$ là cạnh chung

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (cmt)

Do đó $\Delta BME = \Delta BMP$ (g.c.g) suy ra $ME = MP$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: $EP \bot BO$ (gt)

Vậy $OB$ là đường trung trực của đoạn $EP$ (định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng). Đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự ta có: $\Delta CNF = \Delta CNP$ (g.c.g) suy ra $NF = NP$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác $PF \bot OC$ (gt)

Vậy $OC$ là đường trung trực của đoạn $PF$ (định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng). Đáp án B đúng

Giả sử $EP \bot BO$ tại $M$; $PF \bot OC$ tại $N$.

Khi đó $\widehat {BME} = \widehat {BMP} = {90^0}$; $\widehat {CNF} = \widehat {PNC} = {90^0}$

Vì $BO$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ (gt) nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $\Delta BME$ và $\Delta BMP$ có:

$\widehat {BME} = \widehat {BMP} = {90^0}$ (cmt)

$BM$ là cạnh chung

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (cmt)

Do đó $\Delta BME = \Delta BMP$ (g.c.g) suy ra $ME = MP$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: $EP \bot BO$ (gt)

Vậy $OB$ là đường trung trực của đoạn $EP$ (định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng). Đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự ta có: $\Delta CNF = \Delta CNP$ (g.c.g) suy ra $NF = NP$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác $PF \bot OC$ (gt)

Vậy $OC$ là đường trung trực của đoạn $PF$ (định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng). Đáp án B đúng

Xét tam giác $AOB$ và $COE$ có

+ $OA = OC$  (vì $O$ thuộc đường trung trực của $AC$)

+ $OB = OE$ (vì $O$ thuộc đường trung trực của $BE$)

+ $AB = CE$ (giả thiết)

Do đó $\Delta AOB = \Delta COE\left( {c - c - c} \right)$

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua 1 điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chọn đáp án D.

Giả sử $\Delta ABC$ có $AM$ là trung tuyến đồng thời là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh $\Delta ABC$ là tam giác cân. Thật vậy, vì $AM$ là trung tuyến của $\Delta ABC$ (gt) $\Rightarrow BM = MC$ (tính chất trung tuyến)

Vì $AM$ là trung trực của $BC$ $\Rightarrow AM \bot BC$

Xét hai tam giác vuông ${\Delta}ABM$ và ${\Delta}ACM$ có:

$BM = CM\left( {cmt} \right)$

$AM$  chung

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACM$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AB = AC$ (2 cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A.$

Vì $\Delta ABC$ cân tại A (gt) $\Rightarrow \widehat B = \widehat C = \left( {{{180}^0} - \widehat A} \right):2 = \left( {{{180}^0} - {{40}^0}} \right):2 = {70^0}.$

Vì $D$  thuộc đường trung trực của $AB$  nên

 $\Rightarrow AD = BD$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại $D$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat {DAC} + \widehat {CAB} = \widehat {DAB} = \widehat B = {70^0} \Rightarrow \widehat {DAC} = {70^0} - \widehat {CAB} = {70^0} - {40^0} = {30^0}.$

Vì đường trung trực của $AC$  cắt $AB$  tại $D$  nên suy ra $DA = DC$(tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \Delta ADC$ là tam giác cân tại $D$  (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat A = \widehat {{C_2}}\,\left( 1 \right)$ (tính chất tam giác cân).

Vì $CD$ là đường phân giác của $\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{{\widehat C}}{2}\left( 2 \right)$ (tính chất tia phân giác).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {ACB} = 2\widehat A$.

Lại có $\Delta ABC$ cân tại $A$  (gt) $\Rightarrow \widehat B = \widehat {ACB}$ (tính chất tam giác cân) $\Rightarrow \widehat B = 2\widehat A$

Xét $\Delta ABC$ có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat {ACB} = {180^0} \Rightarrow \widehat A + 2\widehat A + 2\widehat A = {180^0}$

$\Rightarrow 5\widehat A = {180^0}$$\Rightarrow \widehat A = {36^0} \Rightarrow \widehat B = \widehat C = 2\widehat A = {2.36^0} = {72^0}$

Vậy $\widehat A = {36^0},\widehat B = \widehat C = {72^0}.$