Cho \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{t}.\) Chọn đáp án đúng.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{t} = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}\)
Suy ra \(\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{t} = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}.\dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}.\dfrac{{x + y + t}}{{y + z + t}} = {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}} \right)^3}\)
Mà \(\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{t} = \dfrac{{x.y.z}}{{y.z.t}} = \dfrac{x}{t}\)
Do đó \({\left( {\dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}} \right)^3} = \dfrac{x}{t}\).
Cho \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a};\,a + b + c \ne 0\) và \(a = 2018\). Tính \(b+c\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1\)
Suy ra \(a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018\)
Vậy \(b + c = 2018 + 2018 = 4036.\)
Cho \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a};\,a + b + c \ne 0\) và \(a = 2018\). Tính \(a+b+c\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1\)
Suy ra \(a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018\)
Vậy \(a + b + c = 2018.3 = 6054.\)
Cho \(x;y;z\) là ba số dương phân biệt. Tìm tỉ số \(\dfrac{y}{x}\) biết \(\dfrac{y}{{x - z}} = \dfrac{{x + y}}{z} = \dfrac{x}{y}\) .
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
\(\dfrac{y}{{x - z}} = \dfrac{{x + y}}{z} = \dfrac{x}{y}\)\( = \dfrac{{y + x + y + x}}{{x - z + z + y}} = \dfrac{{2x + 2y}}{{x + y}} = \dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = 2\)
=> \(\dfrac{x}{y} = 2.\)
Vậy \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{2}\).
Chọn câu đúng. Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)thì
Ta có \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)
Mặt khác \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{9a}}{{9c}} = \dfrac{{3b}}{{3d}} = \dfrac{{9a + 3b}}{{9c + 3d}} = \dfrac{{9a - 3b}}{{9c - 3d}}\)
Từ \(\dfrac{{9a + 3b}}{{9c + 3d}} = \dfrac{{9a - 3b}}{{9c - 3d}} \Rightarrow \dfrac{{9a + 3b}}{{9a - 3b}} = \dfrac{{9c + 3d}}{{9c - 3d}}\).
Chọn câu đúng. Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì
Ta có \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)
Mặt khác \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{-5a}}{{-5c}} = \dfrac{{4b}}{{4d}} = \dfrac{{-5a + 4b}}{{-5c + 4d}} = \dfrac{{-5a - 4b}}{{-5c - 4d}}\)
Từ \(\dfrac{{-5a + 4b}}{{-5c + 4d}} = \dfrac{{-5a - 4b}}{{-5c - 4d}} \Rightarrow \dfrac{{-5a + 4b}}{{-5a - 4b}} = \dfrac{{-5c + 4d}}{{-5c - 4d}}\).
Chọn câu đúng. Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa thì từ \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{u}{v}\) ta có:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{y} = \dfrac{u}{v} = \dfrac{{x + u}}{{y + v}} = \dfrac{{x - u}}{{y - v}}\).
Chọn câu sai. Với điều kiện các phân thức có nghĩa thì từ \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{c}{d}\) ta có:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+) \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - 2c + e}}{{b - 2d + f}}\) nên A đúng.
+) \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + e + c}}{{b + f + d}}\) nên B đúng.
+) \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - e + c}}{{b - f + d}}\) nên C đúng, D sai.
Tìm hai số \(x;y\) biết \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{{ - 6}}\) và \(x + y = - 50\).
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{{ - 6}} = \dfrac{{x + y}}{{4 + ( - 6)}} = \dfrac{{ - 50}}{{ - 2}} = 25\)
Do đó
\(\dfrac{x}{4} = 25 \Rightarrow x = 25.4 = 100\);
\(\dfrac{y}{{ - 6}} = 25 \Rightarrow y = 25.( - 6) = - 150\).
Vậy \(x = 100;y = - 150.\)
Biết \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{6}\,(y \ne 0)\) và \(x + y = 39\). Hai số \(x;y\) lần lượt là:
Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{6} \Rightarrow \dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{6}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{{x + y}}{{7 + 6}} = \dfrac{{39}}{{13}} = 3\)
Do đó
\(\dfrac{x}{7} = 3 \Rightarrow x = 3.7 = 21\)
\(\dfrac{y}{6} = 3 \Rightarrow y = 3.6 = 18\) (thỏa mãn \(y \ne 0)\)
Vậy \(x = 21;y = 18.\)
Cho \(5x = 3y\) và \(y - x = 30\). Tính \(x;y\).
Ta có: \(5x = 3y \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{y - x}}{{5 - 3}} = \dfrac{{30}}{2} = 15\)
Do đó
\(\dfrac{x}{3} = 15 \Rightarrow x = 15.3 = 45\)
\(\dfrac{y}{5} = 15 \Rightarrow y = 15.5 = 75\)
Vậy \(x = 45;y = 75.\)
Chia số \(120\) thành bốn phần tỉ lệ với các số \(2;4;8;10\). Các số đó theo thứ tự tăng dần là:
Giả sử chia số \(120\) thành bốn phần \(x,y,z,t\) tỉ lệ với các số \(2;4;8;10\)
Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{{10}}\) và \(x + y + z + t = 120\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{{10}} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{2 + 4 + 8 + 10}} = \dfrac{{120}}{{24}} = 5\)
Do đó
\(\dfrac{x}{2} = 5 \Rightarrow x = 5.2 = 10\);
\(\dfrac{y}{4} = 5 \Rightarrow y = 5.4 = 20\);
\(\dfrac{z}{8} = 5 \Rightarrow z = 5.8 = 40\);
\(\dfrac{t}{{10}} = 5 \Rightarrow t = 5.10 = 50\).
Vậy các số cần tìm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là \(10;20;40;50\).
Cho \(\dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{{12}}\) và \(x + y + z = - 108\). Số bé nhất trong ba số \(x;y;z\) là:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{{12}} = \dfrac{{x + y + z}}{{8 + 7 + 12}} = \dfrac{{ - 108}}{{27}} = - 4\)
Do đó
\(\dfrac{x}{8} = - 4 \Rightarrow x = ( - 4).8 = - 32\);
\(\dfrac{y}{7} = - 4 \Rightarrow y = ( - 4).7 = - 28\);
\(\dfrac{z}{{12}} = - 4 \Rightarrow z = ( - 4).12 = - 48\).
Ta có: \( - 48 < - 32 < - 28\)
Vậy số bé nhất trong ba số trên là \(z = - 48.\)
Ba lớp $7A, 7B, 7C$ có tất cả $153$ học sinh. Số học sinh lớp $7B$ bằng \(\dfrac{8}{9}\) số học sinh lớp $7A,$ số học sinh lớp $7C$ bằng \(\dfrac{{17}}{{16}}\) số học sinh lớp $7B.$ Tính số học sinh của lớp $7B.$
Gọi số học sinh lớp $7A, 7B, 7C $ lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$
Theo bài ra ta có \(x + y + z = 153\); \(y = \dfrac{8}{9}x;\,z = \dfrac{{17}}{{16}}y\)
Suy ra \(9y = 8x \Rightarrow \dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} \Rightarrow \dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}}\) ; \(16z = 17y \Rightarrow \dfrac{z}{{17}} = \dfrac{y}{{16}}\)
Nên \(\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}\)\( = \dfrac{{x + y + z}}{{18 + 16 + 17}} = \dfrac{{153}}{{51}} = 3\)
Do đó:
\(x = 18.3 = 54\); \(y = 16.3 = 48\); \(z = 17.3 = 51\)
Số học sinh lớp \(7B\) là \(48\) học sinh.
Có bao nhiêu bộ số \(x;y\) thỏa mãn \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{9}\) và \({x^2} - {y^2} = 40\).
Ta có \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{9} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{{11}^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{{9^2}}}\) hay \(\dfrac{{{x^2}}}{{121}} = \dfrac{{{y^2}}}{{81}}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{{{x^2}}}{{121}} = \dfrac{{{y^2}}}{{81}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{121 - 81}} = \dfrac{{40}}{{40}} = 1\)
Do đó
\(\dfrac{{{x^2}}}{{121}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 121 \Rightarrow {x^2} = {( \pm 11)^2}\)\( \Rightarrow x = 11\) hoặc \(x = - 11\)
Với \(x = 11\) thay vào \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{9}\) ta được: \(\dfrac{{11}}{{11}} = \dfrac{y}{9} \Rightarrow 1 = \dfrac{y}{9} \Rightarrow y = 9\)
Với \(x = - 11\) thay vào \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{9}\) ta được: \(\dfrac{{ - 11}}{{11}} = \dfrac{y}{9} \Rightarrow - 1 = \dfrac{y}{9} \Rightarrow y = - 9\)
Vậy có hai bộ số \(x;y\) thỏa mãn là \(x = 11;y = 9\) hoặc \(x = - 11;y = - 9.\)
Tìm \(x;y\,\,(y \ne 0)\) biết \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{2}\) và \(3x - y = 26\).
Ta có: \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{2}\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{2}\)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{3x - y}}{{3.5 - 2}} = \dfrac{{26}}{{13}} = 2\)
Do đó
\(\dfrac{x}{5} = 2 \Rightarrow x = 2.5 = 10\)
\(\dfrac{y}{2} = 2 \Rightarrow y = 2.2 = 4\) (thỏa mãn \(y \ne 0\))
Vậy \(x = 10;y = 4.\)
Cho \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{{12}}\) và \(xy = 132\). Tính \(x - y\) biết \(x > 0;y > 0.\)
Đặt \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{{12}} = k\) suy ra \(x = 11k;\,y = 12k\)
Do đó \(x.y = 11k.12k = 132{k^2}\)
mà \(xy = 132\) nên \(132{k^2} = 132 \Rightarrow {k^2} = 1\)
\( \Rightarrow k = 1\) hoặc \(k = - 1\).
Với \(k = 1\) thì \(x = 11;y = 12\)
Với \(k = - 1\) thì \(x = - 11;y = - 12\)
Vì \(x > 0;y > 0\) nên \(x = 11;y = 12\) từ đó \(x - y = 11 - 12 = - 1.\)
Ba lớp $7A, 7B, 7C$ có tất cả $153$ học sinh. Số học sinh lớp $7B$ bằng \(\dfrac{8}{9}\) số học sinh lớp $7A,$ số học sinh lớp $7C$ bằng \(\dfrac{{17}}{{16}}\) số học sinh lớp $7B.$ Tính số học sinh của lớp $7C.$
Gọi số học sinh lớp $7A, 7B, 7C $ lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$
Theo bài ra ta có \(x + y + z = 153\); \(y = \dfrac{8}{9}x;\,z = \dfrac{{17}}{{16}}y\)
Suy ra \(9y = 8x \Rightarrow \dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} \Rightarrow \dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}}\) ; \(16z = 17y \Rightarrow \dfrac{z}{{17}} = \dfrac{y}{{16}}\)
Nên \(\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}\)\( = \dfrac{{x + y + z}}{{18 + 16 + 17}} = \dfrac{{153}}{{51}} = 3\)
Do đó:
\(x = 18.3 = 54\); \(y = 16.3 = 48\); \(z = 17.3 = 51\)
Số học sinh lớp \(7C\) là \(51\) học sinh.
Cho \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4};\dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}\) và \(2x - 3y + z = 6\). Khi đó \(x - 2y + z\) bằng:
Ta có: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} \Rightarrow \dfrac{x}{{3.3}} = \dfrac{y}{{4.3}}\) hay \(\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{12}}\,\,\,(1)\)
\(\dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} \Rightarrow \dfrac{y}{{3.4}} = \dfrac{z}{{5.4}}\) hay \(\dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{20}}\,\,\,\,(2)\)
Từ \((1);(2)\) suy ra \(\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{20}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{20}}\)\( = \dfrac{{2x}}{{18}} = \dfrac{{3y}}{{36}} = \dfrac{{2x - 3y + z}}{{18 - 36 + 20}} = \dfrac{6}{2} = 3\)
Do đó
\(\dfrac{x}{9} = 3 \Rightarrow x = 3.9 = 27\);
\(\dfrac{y}{{12}} = 3 \Rightarrow y = 3.12 = 36\);
\(\dfrac{z}{{20}} = 3 \Rightarrow z = 3.20 = 60\).
Khi đó \(x - 2y + z = 27 - 2.36 + 60 = 15\)
Tìm các số \(x;y;z\) biết \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{4}\) và \(2x + 3y - z = 50\).
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{4} = \dfrac{{2(x - 1)}}{4} = \dfrac{{3(y - 2)}}{9}\)\( = \dfrac{{2(x - 1) + 3(y - 2) - (z - 3)}}{{4 + 9 - 4}}\)
\( = \dfrac{{2x - 2 + 3y - 6 - z + 3}}{9}\)\( = \dfrac{{2x + 3y - z - 5}}{9} = \dfrac{{50 - 5}}{9} = 5\)
Do đó
\(\dfrac{{x - 1}}{2} = 5 \Rightarrow x - 1 = 10 \Rightarrow x = 11\)
\(\dfrac{{y - 2}}{3} = 5 \Rightarrow y - 2 = 15 \Rightarrow y = 17\)
\(\dfrac{{z - 3}}{4} = 5 \Rightarrow z - 3 = 20 \Rightarrow z = 23\)
Vậy \(x = 11;\,y = 17;\,z = 23\)
