Bài tập ôn tập chương 5

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Các cặp góc so le trong là: \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{B_2}}\), \(\widehat {{B_1}}\) và \({\widehat A_2}\). Vậy hình vẽ trên có tất cả hai cặp góc so le trong.

+ Các đáp án A, B, D sai vì phải thêm điều kiện song song : “Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong, so le ngoài, đồng vị bằng nhau.”

+ Đáp án C đúng vì hai đường thẳng cắt nhau luôn tạo ra hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

Ta có “ Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.”

Nên \(\left. \begin{array}{l}a \bot c\\b \bot c\end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)

Hai góc \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {AC{\rm{D}}}\) là hai góc trong cùng phía.

Từ hình vẽ ta có \(c \bot a;c \bot b \Rightarrow a//b\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Vì \(a//b \Rightarrow x + 72^\circ  = 180^\circ \)  (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Nên \(x = 180^\circ  - 72^\circ  = 108^\circ \)

Từ hình vẽ ta có \(\widehat A = \widehat B = {45^0}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(x//\,y\).

Hai đường thẳng $MN$ và $PQ$ song song với nhau khi có: một cặp góc so le trong bằng nhau ( hoặc cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc một cặp góc trong cùng phía bù nhau) (theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Tức là: \(\widehat {MEI} = \widehat {EFP} = 47^\circ \)  (cặp góc đồng vị) nên B đúng
hoặc \(\widehat {EFP} + \widehat {MEF} = 180^\circ \)  (cặp góc trong cùng phía bù nhau)
\( \Rightarrow \widehat {MEF} = 180^\circ  - \widehat {EFP} = 180^\circ  - 47^\circ  = 133^\circ \)  nên A đúng.

Mà \(\widehat {IEN} = \widehat {MEF} = 133^\circ \)  (hai góc đối đỉnh) nên C đúng.

Vậy A, B, C đều đúng.

Ta có:

Giả thiết: "Đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a,b$  và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau" ; Kết luận: " Hai góc so le trong còn lại bằng nhau."

Ta có: \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_4}} = {60^0}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = {180^0} - \widehat {{B_2}} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_3}} = {120^0}\) (đối đỉnh)

Vì \(a \bot c,\,b \bot c\left( {gt} \right) \Rightarrow a//\,b \Rightarrow \widehat {aAB} + \widehat {ABb} = {180^0} \Rightarrow x + y = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Lại có:

 \(\begin{array}{l}{\rm{x}} = 3y\left( {gt} \right) \Rightarrow 3y + y = 180^\circ \\ \Leftrightarrow 4y = 180^\circ \\ \Leftrightarrow y = 180^\circ :4\\ \Leftrightarrow y = 45^\circ \\ \Rightarrow x = 3y = 3.45^\circ  = 135^\circ \end{array}\)

Vậy \(x = 135^\circ ;y = 45^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{A_2}} = {180^0} - {50^0} = {130^0}\)

Vì \(a//\,b \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} = {130^0}\) (đồng vị)

Ta có: \(\widehat {tOm} = \widehat {nOz} = {71^0}\) (đối đỉnh).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {y{\rm{O}}t} + \widehat {zOx} = {70^0}\\\widehat {y{\rm{O}}t} = \widehat {zOx}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {y{\rm{O}}t} = \widehat {zOx} = {70^0}:2 = {35^0}\) (đối đỉnh)

+) \(\widehat {y{\rm{O}}n} + \widehat {y{\rm{O}}t} + \widehat {tOm} = {180^0} \Rightarrow \widehat {y{\rm{O}}n} = {180^0} - \widehat {y{\rm{O}}t} - \widehat {tOm} = {180^0} - {35^0} - {71^0} = {74^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {y{\rm{O}}n} = \widehat {mOx} = {74^0}\) (hai góc đối đỉnh)

+ Ta có: \(x//\,z\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat A + \widehat {{D_1}} = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {125^0} = {55^0}\)

+ Lại có \(z//\,y\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {DEC} = {37^0}\) (hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = {55^0} + {37^0} = {92^0}\)

Kẻ tia $Ot//AB\;$
$Ot//AB;\,AB//CD$ nên $Ot//CD$ (cùng song song với$AB$ ) 
$AB//Ot \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{B_1}} = {42^0}$ (hai góc đồng vị) 
$Ot//CD \Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}} = {53^0}$ (hai góc đồng vị) 
Suy ra $\widehat {xOy} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = {42^0} + {53^0} = {95^0}$  

Vậy \(\widehat {xOy} = 95^\circ \)

Kẻ \(CF//\,AB \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {ACF} = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía)

\( \Rightarrow \widehat {ACF} = {180^0} - \widehat {BAC} = {180^0} - {115^0} = {65^0}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB//\,DE\\CF//\,AB\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow DE//\,CF.\) 

\( \Rightarrow \widehat {FCD} + \widehat {C{\rm{D}}E} = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {DCF} = {180^0} - \widehat {C{\rm{D}}E} = {180^0} - {125^0} = {55^0}\\ \Rightarrow \widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {ACF} + \widehat {FC{\rm{D}}} = {65^0} + {55^0} = {120^0}\\ \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {AC{\rm{D}}} + \widehat {C{\rm{D}}E} = {115^0} + {120^0} + {125^0} = {360^0}\end{array}$

Ta có: \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_4}}\) (đối đỉnh), mà $\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}} = {100^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{O_2}}\, = \widehat {{O_4}} = {100^0}:2 = {50^0}$

Lại có:\(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{O_3}} = {180^0} - {50^0} = {130^0}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot AB\\b \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow a//\,b \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}} = {60^0}\) (đồng vị)

Lại có: \(\widehat {{N_1}} + \widehat {{N_2}} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{N_2}} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

Từ hình vẽ ta có \(a \bot c;b \bot c \Rightarrow a//b\)  (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Ta có \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \)  (hai góc kề bù) suy ra \(\widehat {{B_1}} = 180^\circ  - \widehat {{B_2}} = 180^\circ  - 70^\circ  = 110^\circ \)

Vì \(a//b \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} = 110^\circ \)  (hai góc đồng vị bằng nhau)

Lại có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = 110^\circ \)  (hai góc đối đỉnh)

Vậy $\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}}\; = 110^\circ  + 110^\circ  = 220^\circ .$

Với $n$ đường thẳng phân biệt giao nhau tại $1$  điểm có $2n$  tia chung gốc.
Số góc tạo bởi hai tia chung gốc là: \(2n\left( {2n - 1} \right):2 = n\left( {2n - 1} \right)\)

Trong đó có $n$ góc bẹt. Số góc còn lại là \(n\left( {2n - 1} \right)-n=2n\left( {n - 1} \right)\).

Vậy số cặp góc đối đỉnh là: \(n\left( {n - 1} \right)\)