Cộng trừ đa thức một biến

Ta có: \(k\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\)\( = (5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1) - ( - 5{x^4} - {x^2} + 2)\)\( = 5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1 + 5{x^4} + {x^2} - 2\)

\( = (5{x^4} + 5{x^4}) + {x^3} + ( - {x^2} + {x^2}) + (1 - 2)\) \( = 10{x^4} + {x^3} - 1\)

Vậy \(k\left( x \right) = 10{x^4} + {x^3} - 1\) và bậc của \(k\left( x \right)\) là \(4.\)

Ta có: \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = (5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1) + ( - 5{x^4} - {x^2} + 2)\)\( = 5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1 - 5{x^4} - {x^2} + 2\)

\( = (5{x^4} - 5{x^4}) + {x^3} + ( - {x^2} - {x^2}) + (1 + 2) = {x^3} - 2{x^2} + 3\)

Vậy \(h\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 3\) và bậc của \(h\left( x \right)\) là \(3.\)

Ta có: \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = (5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1) + ( - 5{x^4} - {x^2} + 2)\)\( = 5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1 - 5{x^4} - {x^2} + 2\)

\( = (5{x^4} - 5{x^4}) + {x^3} + ( - {x^2} - {x^2}) + (1 + 2) = {x^3} - 2{x^2} + 3\)

Vậy \(h\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 3\) và bậc của \(h\left( x \right)\) là \(3.\)

Theo đề bài ta có: \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = 2x - 2\).

Thử đáp án A: Với \(P\left( x \right) = {x^2} - 2x;Q\left( x \right) =  - 2x - 2\) thì \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = ({x^2} - 2x) - ( - 2x - 2)\) \( = {x^2} - 2x + 2x + 2 = {x^2} + ( - 2x + 2x) + 2 = {x^2} + 2 \ne 2x - 2\)

Do đó đáp án A không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thử đáp án B: Với \(P\left( x \right) = 2{x^2} - 2;Q\left( x \right) = 2{x^2} + 2x\) thì \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = (2{x^2} - 2) - (2{x^2} + 2x)\)\( = 2{x^2} - 2 - 2{x^2} - 2x = (2{x^2} - 2{x^2}) - 2x - 2 =  - 2x - 2 \ne 2x - 2\)

Do đó đáp án B không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thử đáp án C: Với \(P\left( x \right) = 2x;Q\left( x \right) =  - 2\) thì \(P\left( x \right) - Q(x) = 2x - ( - 2) = 2x + 2 \ne 2x - 2\)

Do đó đáp án C không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thử đáp án D: Với \(P\left( x \right) = {x^3} - 2;Q\left( x \right) = {x^3} - 2x\) thì \(P\left( x \right) - Q(x) = ({x^3} - 2) - ({x^3} - 2x)\)\( = {x^3} - 2 - {x^3} + 2x = ({x^3} - {x^3}) - 2 + 2x = 2x - 2\)

Do đó đáp án D thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) \( = (5{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 2x + 1) - (2{x^5} + 5{x^4} - 6{x^2} - 2x + 6)\)

\( = 5{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 2x + 1 - 2{x^5} - 5{x^4} + 6{x^2} + 2x - 6\)

\( = (5{x^4} - 5{x^4}) - 4{x^3} + (6{x^2} + 6{x^2}) + ( - 2x + 2x) + (1 - 6) - 2{x^5}\)

\( =  - 4{x^3} + 12{x^2} - 5 - 2{x^5}\)

Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được: \( - 5 + 12{x^2} - 4{x^3} - 2{x^5}\).

Ta có: \(p\left( x \right) + q\left( x \right)\) \( = ( - 3{x^4} - 6x + \dfrac{1}{2} - 6{x^4} + 2{x^2} - x) + ( - 3{x^3} - {x^4} - 5{x^2} + 2{x^3} - 5x + 3)\)

\( =  - 3{x^4} - 6x + \dfrac{1}{2} - 6{x^4} + 2{x^2} - x - 3{x^3} - {x^4} - 5{x^2} + 2{x^3} - 5x + 3\)

\( = ( - 3{x^4} - 6{x^4} - {x^4}) + ( - 6x - x - 5x) + \left( {\dfrac{1}{2} + 3} \right) + (2{x^2} - 5{x^2}) + ( - 3{x^3} + 2{x^3})\)

\( =  - 10{x^4} - 12x + \dfrac{7}{2} - 3{x^2} - {x^3}\)

Bậc của đa thức \(p\left( x \right) + q\left( x \right) =  - 10{x^4} - 12x + \dfrac{7}{2} - 3{x^2} - {x^3}\) là \(4.\)

Ta có: \(f\left( x \right) - h\left( x \right) = g\left( x \right)\)\( \Rightarrow h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\).

Mà \(f\left( x \right) = 5x - 2{x^3} + 2{x^2} + 1;\,\,g\left( x \right) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}{x^3} + 2{x^2} + x\) nên

\(h\left( x \right) = (5x - 2{x^3} + 2{x^2} + 1) - \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}{x^3} + 2{x^2} + x} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 5x - 2{x^3} + 2{x^2} + 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - x\\ = (5x - x) + \left( { - 2{x^3} + \dfrac{2}{3}{x^3}} \right) + (2{x^2} - 2{x^2}) + \left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\\ = 4x - \dfrac{4}{3}{x^3} + \dfrac{2}{3}\end{array}\)

Vậy \(h\left( x \right) = 4x - \dfrac{4}{3}{x^3} + \dfrac{2}{3}\).

Ta có: \(f\left( x \right) + k\left( x \right) = g\left( x \right)\)\( \Rightarrow k\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)\)\( = (2{x^3} + {x^2} + 1) - \left( {2{x^5} - 5{x^2} + {x^3}} \right)\)

\( = 2{x^3} + {x^2} + 1 - 2{x^5} + 5{x^2} - {x^3}\) \( = (2{x^3} - {x^3}) + ({x^2} + 5{x^2}) + 1 - 2{x^5}\) \( = {x^3} + 6{x^2} + 1 - 2{x^5}\)

Sắp xếp các hạng tử của đa thức \(k\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm của biến \(x\) ta được \(k(x) =  - 2{x^5} + {x^3} + 6{x^2} + 1\)

Hệ số cao nhất của \(k\left( x \right)\) là \( - 2.\)

Ta có: \(2f(x) = 2.( - 4{x^3} + 3{x^2} - 2x + 5)\) \( =  - 8{x^3} + 6{x^2} - 4x + 10\)

Khi đó \(2f\left( x \right) - g(x) = ( - 8{x^3} + 6{x^2} - 4x + 10) - (2{x^3} - 3{x^2} + 4x + 5)\)

\( =  - 8{x^3} + 6{x^2} - 4x + 10 - 2{x^3} + 3{x^2} - 4x - 5\)

\(\begin{array}{l} = ( - 8{x^3} - 2{x^3}) + (6{x^2} + 3{x^2}) + ( - 4x - 4x) + (10 - 5)\\ =  - 10{x^3} + 9{x^2} - 8x + 5\end{array}\)

Hệ số tự do cần tìm là \(5\).

Ta có \(k\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\)\( = 3{x^2} + 2x - 5 - \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)\)\( = 3{x^2} + 2x - 5 + 3{x^2} + 2x - 2\)

\( = \left( {3{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {2x + 2x} \right) - 5 - 2\) \( = 6{x^2} + 4x - 7\)

Vậy \(k\left( x \right) = 6{x^2} + 4x - 7\) và bậc của \(k\left( x \right)\) là \(2.\)

Theo câu trước ta có: \(P(x) =  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1\); \(Q(x) = {x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1\).

Khi đó \(M(x) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) = ( - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1) + ({x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1)\)

\(\begin{array}{l} =  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1 + {x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1\\ = ( - {x^4} + {x^4}) + (2{x^3} + {x^3}) + ( - 2{x^2} - {x^2}) + (1 + 1) + 3x\\ = 3{x^3} - 3{x^2} + 2 + 3x\end{array}\)

Bậc của \(M\left( x \right) = 3{x^3} - 3{x^2} + 2 + 3x\) là \(3.\)

Ta có \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) \)\(= 3{x^2} + 2x - 5 + \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)\)\( = \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {2x - 2x} \right) + \left( { - 5 + 2} \right) =  - 3\)

Vậy \(h\left( x \right) =  - 3\) và bậc của \(h\left( x \right)\) là \(0.\)

Ta có: \(P(x) = 3{x^7} + {x^6} - {x^4} + 2{x^3} - {x^6} - 2{x^2} - 3{x^7} + 1\)\( = (3{x^7} - 3{x^7}) + ({x^6} - {x^6}) - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1\)

\( =  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1\)

Và \(Q(x) = {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + {x^2}\)\( = {x^4} + {x^3} + ( - 2{x^2} + {x^2}) + 3x + 1 = {x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1\)

Khi đó \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = ( - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1) - ({x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1)\)

\( =  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1 - {x^4} - {x^3} + {x^2} - 3x - 1\)

\(\begin{array}{l} = ( - {x^4} - {x^4}) + (2{x^3} - {x^3}) + ( - 2{x^2} + {x^2}) + (1 - 1) - 3x\\ =  - 2{x^4} + {x^3} - {x^2} - 3x\end{array}\).

Ta có \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) \)\(= 3{x^2} + 2x - 5 + \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)\)\( = \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {2x - 2x} \right) + \left( { - 5 + 2} \right) =  - 3\)

Vậy \(h\left( x \right) =  - 3\) và bậc của \(h\left( x \right)\) là \(0.\)

Ta có: \(P(x) = 3{x^7} + {x^6} - {x^4} + 2{x^3} - {x^6} - 2{x^2} - 3{x^7} + 1\)\( = (3{x^7} - 3{x^7}) + ({x^6} - {x^6}) - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1\)

\( =  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1\)

Và \(Q(x) = {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + {x^2}\)\( = {x^4} + {x^3} + ( - 2{x^2} + {x^2}) + 3x + 1 = {x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1\)

Khi đó \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = ( - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1) - ({x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1)\)

\( =  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1 - {x^4} - {x^3} + {x^2} - 3x - 1\)

\(\begin{array}{l} = ( - {x^4} - {x^4}) + (2{x^3} - {x^3}) + ( - 2{x^2} + {x^2}) + (1 - 1) - 3x\\ =  - 2{x^4} + {x^3} - {x^2} - 3x\end{array}\).

Ta có: \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\) \( = ( - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5) + (8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10)\)

\( =  - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5 + 8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10\)

\( = ( - 3{x^6} + 8{x^6}) + ( - 5{x^4} + 7{x^4}) + (2{x^2} - {x^2}) + ( - 5 + 10)\)

\( = 5{x^6} + 2{x^4} + {x^2} + 5\)

Theo bài ra ta có: \(P\left( x \right) + Q\left( x \right) = N\left( x \right) + C\left( x \right) \Rightarrow N(x) = {\rm{[}}P\left( x \right) + Q\left( x \right){\rm{]}} - C(x)\)

\( \Rightarrow N(x) = (5{x^6} + 2{x^4} + {x^2} + 5) - ({x^6} + 2{x^4} - 8{x^2} + 6)\)

\( = 5{x^6} + 2{x^4} + {x^2} + 5 - {x^6} - 2{x^4} + 8{x^2} - 6\)

\( = (5{x^6} - {x^6}) + (2{x^4} - 2{x^4}) + ({x^2} + 8{x^2}) + (5 - 6)\)

\( = 4{x^6} + 9{x^2} - 1\)

Ta có: \(M\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)\) \( = ( - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5) - (8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10)\)

\(\begin{array}{l} =  - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5 - 8{x^6} - 7{x^4} + {x^2} - 10\\ = ( - 3{x^6} - 8{x^6}) + ( - 5{x^4} - 7{x^4}) + (2{x^2} + {x^2}) + ( - 5 - 10)\\ =  - 11{x^6} - 12{x^4} + 3{x^2} - 15\end{array}\)

Nên \(M(x) =  - 11{x^6} - 12{x^4} + 3{x^2} - 15\)

Thay \(x = 1\) vào \(M\left( x \right)\) ta được \(M(1) =  - {11.1^6} - {12.1^4} + {3.1^2} - 15 =  - 11 - 12 + 3 - 15 =  - 35\).

Ta có: \(2P\left( x \right) = 2.( - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5) =  - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10\)

Khi đó \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right) = ( - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10) + (8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10)\)

\(\begin{array}{l} =  - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10 + 8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10\\ = ( - 6{x^6} + 8{x^6}) + ( - 10{x^4} + 7{x^4}) + (4{x^2} - {x^2}) + ( - 10 + 10)\\ = 2{x^6} - 3{x^4} + 3{x^2}\end{array}\).

Ta có: \(2P\left( x \right) = 2.( - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5) =  - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10\)

Khi đó \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right) = ( - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10) + (8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10)\)

\(\begin{array}{l} =  - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10 + 8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10\\ = ( - 6{x^6} + 8{x^6}) + ( - 10{x^4} + 7{x^4}) + (4{x^2} - {x^2}) + ( - 10 + 10)\\ = 2{x^6} - 3{x^4} + 3{x^2}\end{array}\).

Ta có \(P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2\)\( = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2\)

\( =  - 2{x^3} + {x^2} + x - 2\)

Và \(Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}\)\( = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1\)

Khi đó \(M\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) =  - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 + \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)\)

\( =  - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 + {x^3} + 3x + 1\)

\( = \left( { - 2{x^3} + {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 2 + 1} \right)\)

\( =  - {x^3} + {x^2} + 4x - 1\)

Bậc của \(M\left( x \right) =  - {x^3} + {x^2} + 4x - 1\) là \(3.\)