Cộng trừ đa thức một biến

Ta có: $k\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$$= (5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1) - ( - 5{x^4} - {x^2} + 2)$$= 5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1 + 5{x^4} + {x^2} - 2$

$= (5{x^4} + 5{x^4}) + {x^3} + ( - {x^2} + {x^2}) + (1 - 2)$ $= 10{x^4} + {x^3} - 1$

Vậy $k\left( x \right) = 10{x^4} + {x^3} - 1$ và bậc của $k\left( x \right)$ là $4.$

Ta có: $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = (5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1) + ( - 5{x^4} - {x^2} + 2)$$= 5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1 - 5{x^4} - {x^2} + 2$

$= (5{x^4} - 5{x^4}) + {x^3} + ( - {x^2} - {x^2}) + (1 + 2) = {x^3} - 2{x^2} + 3$

Vậy $h\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 3$ và bậc của $h\left( x \right)$ là $3.$

Ta có: $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = (5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1) + ( - 5{x^4} - {x^2} + 2)$$= 5{x^4} + {x^3} - {x^2} + 1 - 5{x^4} - {x^2} + 2$

$= (5{x^4} - 5{x^4}) + {x^3} + ( - {x^2} - {x^2}) + (1 + 2) = {x^3} - 2{x^2} + 3$

Vậy $h\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 3$ và bậc của $h\left( x \right)$ là $3.$

Theo đề bài ta có: $P\left( x \right) - Q\left( x \right) = 2x - 2$.

Thử đáp án A: Với $P\left( x \right) = {x^2} - 2x;Q\left( x \right) =  - 2x - 2$ thì $P\left( x \right) - Q\left( x \right) = ({x^2} - 2x) - ( - 2x - 2)$ $= {x^2} - 2x + 2x + 2 = {x^2} + ( - 2x + 2x) + 2 = {x^2} + 2 \ne 2x - 2$

Do đó đáp án A không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thử đáp án B: Với $P\left( x \right) = 2{x^2} - 2;Q\left( x \right) = 2{x^2} + 2x$ thì $P\left( x \right) - Q\left( x \right) = (2{x^2} - 2) - (2{x^2} + 2x)$$= 2{x^2} - 2 - 2{x^2} - 2x = (2{x^2} - 2{x^2}) - 2x - 2 =  - 2x - 2 \ne 2x - 2$

Do đó đáp án B không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thử đáp án C: Với $P\left( x \right) = 2x;Q\left( x \right) =  - 2$ thì $P\left( x \right) - Q(x) = 2x - ( - 2) = 2x + 2 \ne 2x - 2$

Do đó đáp án C không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thử đáp án D: Với $P\left( x \right) = {x^3} - 2;Q\left( x \right) = {x^3} - 2x$ thì $P\left( x \right) - Q(x) = ({x^3} - 2) - ({x^3} - 2x)$$= {x^3} - 2 - {x^3} + 2x = ({x^3} - {x^3}) - 2 + 2x = 2x - 2$

Do đó đáp án D thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: $f\left( x \right) - g\left( x \right)$ $= (5{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 2x + 1) - (2{x^5} + 5{x^4} - 6{x^2} - 2x + 6)$

$= 5{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 2x + 1 - 2{x^5} - 5{x^4} + 6{x^2} + 2x - 6$

$= (5{x^4} - 5{x^4}) - 4{x^3} + (6{x^2} + 6{x^2}) + ( - 2x + 2x) + (1 - 6) - 2{x^5}$

$=  - 4{x^3} + 12{x^2} - 5 - 2{x^5}$

Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được: $- 5 + 12{x^2} - 4{x^3} - 2{x^5}$.

Ta có: $p\left( x \right) + q\left( x \right)$ $= ( - 3{x^4} - 6x + \dfrac{1}{2} - 6{x^4} + 2{x^2} - x) + ( - 3{x^3} - {x^4} - 5{x^2} + 2{x^3} - 5x + 3)$

$=  - 3{x^4} - 6x + \dfrac{1}{2} - 6{x^4} + 2{x^2} - x - 3{x^3} - {x^4} - 5{x^2} + 2{x^3} - 5x + 3$

$= ( - 3{x^4} - 6{x^4} - {x^4}) + ( - 6x - x - 5x) + \left( {\dfrac{1}{2} + 3} \right) + (2{x^2} - 5{x^2}) + ( - 3{x^3} + 2{x^3})$

$=  - 10{x^4} - 12x + \dfrac{7}{2} - 3{x^2} - {x^3}$

Bậc của đa thức $p\left( x \right) + q\left( x \right) =  - 10{x^4} - 12x + \dfrac{7}{2} - 3{x^2} - {x^3}$ là $4.$

Ta có: $f\left( x \right) - h\left( x \right) = g\left( x \right)$$\Rightarrow h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$.

Mà $f\left( x \right) = 5x - 2{x^3} + 2{x^2} + 1;\,\,g\left( x \right) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}{x^3} + 2{x^2} + x$ nên

$h\left( x \right) = (5x - 2{x^3} + 2{x^2} + 1) - \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}{x^3} + 2{x^2} + x} \right)$

$\begin{array}{l} = 5x - 2{x^3} + 2{x^2} + 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}{x^3} - 2{x^2} - x\\ = (5x - x) + \left( { - 2{x^3} + \dfrac{2}{3}{x^3}} \right) + (2{x^2} - 2{x^2}) + \left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right)\\ = 4x - \dfrac{4}{3}{x^3} + \dfrac{2}{3}\end{array}$

Vậy $h\left( x \right) = 4x - \dfrac{4}{3}{x^3} + \dfrac{2}{3}$.

Ta có: $f\left( x \right) + k\left( x \right) = g\left( x \right)$$\Rightarrow k\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)$$= (2{x^3} + {x^2} + 1) - \left( {2{x^5} - 5{x^2} + {x^3}} \right)$

$= 2{x^3} + {x^2} + 1 - 2{x^5} + 5{x^2} - {x^3}$ $= (2{x^3} - {x^3}) + ({x^2} + 5{x^2}) + 1 - 2{x^5}$ $= {x^3} + 6{x^2} + 1 - 2{x^5}$

Sắp xếp các hạng tử của đa thức $k\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm của biến $x$ ta được $k(x) =  - 2{x^5} + {x^3} + 6{x^2} + 1$

Hệ số cao nhất của $k\left( x \right)$ là $- 2.$

Ta có: $2f(x) = 2.( - 4{x^3} + 3{x^2} - 2x + 5)$ $=  - 8{x^3} + 6{x^2} - 4x + 10$

Khi đó $2f\left( x \right) - g(x) = ( - 8{x^3} + 6{x^2} - 4x + 10) - (2{x^3} - 3{x^2} + 4x + 5)$

$=  - 8{x^3} + 6{x^2} - 4x + 10 - 2{x^3} + 3{x^2} - 4x - 5$

$\begin{array}{l} = ( - 8{x^3} - 2{x^3}) + (6{x^2} + 3{x^2}) + ( - 4x - 4x) + (10 - 5)\\ =  - 10{x^3} + 9{x^2} - 8x + 5\end{array}$

Hệ số tự do cần tìm là $5$.

Ta có $k\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$$= 3{x^2} + 2x - 5 - \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)$$= 3{x^2} + 2x - 5 + 3{x^2} + 2x - 2$

$= \left( {3{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {2x + 2x} \right) - 5 - 2$ $= 6{x^2} + 4x - 7$

Vậy $k\left( x \right) = 6{x^2} + 4x - 7$ và bậc của $k\left( x \right)$ là $2.$

Theo câu trước ta có: $P(x) =  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1$; $Q(x) = {x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1$.

Khi đó $M(x) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) = ( - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1) + ({x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1)$

$\begin{array}{l} =  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1 + {x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1\\ = ( - {x^4} + {x^4}) + (2{x^3} + {x^3}) + ( - 2{x^2} - {x^2}) + (1 + 1) + 3x\\ = 3{x^3} - 3{x^2} + 2 + 3x\end{array}$

Bậc của $M\left( x \right) = 3{x^3} - 3{x^2} + 2 + 3x$ là $3.$

Ta có $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)$$= 3{x^2} + 2x - 5 + \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)$$= \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {2x - 2x} \right) + \left( { - 5 + 2} \right) =  - 3$

Vậy $h\left( x \right) =  - 3$ và bậc của $h\left( x \right)$ là $0.$

Ta có: $P(x) = 3{x^7} + {x^6} - {x^4} + 2{x^3} - {x^6} - 2{x^2} - 3{x^7} + 1$$= (3{x^7} - 3{x^7}) + ({x^6} - {x^6}) - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1$

$=  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1$

Và $Q(x) = {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + {x^2}$$= {x^4} + {x^3} + ( - 2{x^2} + {x^2}) + 3x + 1 = {x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1$

Khi đó $P\left( x \right) - Q\left( x \right) = ( - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1) - ({x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1)$

$=  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1 - {x^4} - {x^3} + {x^2} - 3x - 1$

$\begin{array}{l} = ( - {x^4} - {x^4}) + (2{x^3} - {x^3}) + ( - 2{x^2} + {x^2}) + (1 - 1) - 3x\\ =  - 2{x^4} + {x^3} - {x^2} - 3x\end{array}$.

Ta có $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)$$= 3{x^2} + 2x - 5 + \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)$$= \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {2x - 2x} \right) + \left( { - 5 + 2} \right) =  - 3$

Vậy $h\left( x \right) =  - 3$ và bậc của $h\left( x \right)$ là $0.$

Ta có: $P(x) = 3{x^7} + {x^6} - {x^4} + 2{x^3} - {x^6} - 2{x^2} - 3{x^7} + 1$$= (3{x^7} - 3{x^7}) + ({x^6} - {x^6}) - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1$

$=  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1$

Và $Q(x) = {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + {x^2}$$= {x^4} + {x^3} + ( - 2{x^2} + {x^2}) + 3x + 1 = {x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1$

Khi đó $P\left( x \right) - Q\left( x \right) = ( - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1) - ({x^4} + {x^3} - {x^2} + 3x + 1)$

$=  - {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 1 - {x^4} - {x^3} + {x^2} - 3x - 1$

$\begin{array}{l} = ( - {x^4} - {x^4}) + (2{x^3} - {x^3}) + ( - 2{x^2} + {x^2}) + (1 - 1) - 3x\\ =  - 2{x^4} + {x^3} - {x^2} - 3x\end{array}$.

Ta có: $P\left( x \right) + Q\left( x \right)$ $= ( - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5) + (8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10)$

$=  - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5 + 8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10$

$= ( - 3{x^6} + 8{x^6}) + ( - 5{x^4} + 7{x^4}) + (2{x^2} - {x^2}) + ( - 5 + 10)$

$= 5{x^6} + 2{x^4} + {x^2} + 5$

Theo bài ra ta có: $P\left( x \right) + Q\left( x \right) = N\left( x \right) + C\left( x \right) \Rightarrow N(x) = {\rm{[}}P\left( x \right) + Q\left( x \right){\rm{]}} - C(x)$

$\Rightarrow N(x) = (5{x^6} + 2{x^4} + {x^2} + 5) - ({x^6} + 2{x^4} - 8{x^2} + 6)$

$= 5{x^6} + 2{x^4} + {x^2} + 5 - {x^6} - 2{x^4} + 8{x^2} - 6$

$= (5{x^6} - {x^6}) + (2{x^4} - 2{x^4}) + ({x^2} + 8{x^2}) + (5 - 6)$

$= 4{x^6} + 9{x^2} - 1$

Ta có: $M\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)$ $= ( - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5) - (8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10)$

$\begin{array}{l} =  - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5 - 8{x^6} - 7{x^4} + {x^2} - 10\\ = ( - 3{x^6} - 8{x^6}) + ( - 5{x^4} - 7{x^4}) + (2{x^2} + {x^2}) + ( - 5 - 10)\\ =  - 11{x^6} - 12{x^4} + 3{x^2} - 15\end{array}$

Nên $M(x) =  - 11{x^6} - 12{x^4} + 3{x^2} - 15$

Thay $x = 1$ vào $M\left( x \right)$ ta được $M(1) =  - {11.1^6} - {12.1^4} + {3.1^2} - 15 =  - 11 - 12 + 3 - 15 =  - 35$.

Ta có: $2P\left( x \right) = 2.( - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5) =  - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10$

Khi đó $2P\left( x \right) + Q\left( x \right) = ( - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10) + (8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10)$

$\begin{array}{l} =  - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10 + 8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10\\ = ( - 6{x^6} + 8{x^6}) + ( - 10{x^4} + 7{x^4}) + (4{x^2} - {x^2}) + ( - 10 + 10)\\ = 2{x^6} - 3{x^4} + 3{x^2}\end{array}$.

Ta có: $2P\left( x \right) = 2.( - 3{x^6} - 5{x^4} + 2{x^2} - 5) =  - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10$

Khi đó $2P\left( x \right) + Q\left( x \right) = ( - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10) + (8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10)$

$\begin{array}{l} =  - 6{x^6} - 10{x^4} + 4{x^2} - 10 + 8{x^6} + 7{x^4} - {x^2} + 10\\ = ( - 6{x^6} + 8{x^6}) + ( - 10{x^4} + 7{x^4}) + (4{x^2} - {x^2}) + ( - 10 + 10)\\ = 2{x^6} - 3{x^4} + 3{x^2}\end{array}$.

Ta có $P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2$$= \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2$

$=  - 2{x^3} + {x^2} + x - 2$

Và $Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}$$= {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1$

Khi đó $M\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) =  - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 + \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)$

$=  - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 + {x^3} + 3x + 1$

$= \left( { - 2{x^3} + {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 2 + 1} \right)$

$=  - {x^3} + {x^2} + 4x - 1$

Bậc của $M\left( x \right) =  - {x^3} + {x^2} + 4x - 1$ là $3.$