Tính P(x)−Q(x)
Ta có P(x)=2x3−3x+x5−4x3+4x−x5+x2−2=(x5−x5)+(2x3−4x3)+x2+(−3x+4x)−2
=−2x3+x2+x−2
Và Q(x)=x3−2x2+3x+1+2x2=x3+(−2x2+2x2)+3x+1=x3+3x+1
Khi đó P(x)−Q(x)=−2x3+x2+x−2−(x3+3x+1)
=−2x3+x2+x−2−x3−3x−1
=(−2x3−x3)+x2+(x−3x)+(−2−1)
=−3x3+x2−2x−3
Tính P(x)−Q(x)
Ta có P(x)=2x3−3x+x5−4x3+4x−x5+x2−2=(x5−x5)+(2x3−4x3)+x2+(−3x+4x)−2
=−2x3+x2+x−2
Và Q(x)=x3−2x2+3x+1+2x2=x3+(−2x2+2x2)+3x+1=x3+3x+1
Khi đó P(x)−Q(x)=−2x3+x2+x−2−(x3+3x+1)
=−2x3+x2+x−2−x3−3x−1
=(−2x3−x3)+x2+(x−3x)+(−2−1)
=−3x3+x2−2x−3
Tìm N(x) biết P(x)−2Q(x)=N(x)−x2+6
Ta có 2Q(x)=2(2x5−4x4−2x3+2x2−x−3)=4x5−8x4−4x3+4x2−2x−6
Khi đó P(x)−2Q(x)=−6x5−4x4+3x2−2x−(4x5−8x4−4x3+4x2−2x−6)
=−6x5−4x4+3x2−2x−4x5+8x4+4x3−4x2+2x+6
=(−6x5−4x5)+(−4x4+8x4)+4x3+(3x2−4x2)+(−2x+2x)+6
=−10x5+4x4+4x3−x2+6
Nên P(x)−2Q(x)=N(x)−x2+6
⇒N(x)=P(x)−2Q(x)−(−x2+6)=−10x5+4x4+4x3−x2+6−(−x2+6)
=−10x5+4x4+4x3
Vậy N(x)=−10x5+4x4+4x3.
Gọi M(x)=P(x)−Q(x). Tính M(−1).
Ta có M(x)=P(x)−Q(x)=−6x5−4x4+3x2−2x−(2x5−4x4−2x3+2x2−x−3)
=−6x5−4x4+3x2−2x−2x5+4x4+2x3−2x2+x+3
=(−6x5−2x5)+(−4x4+4x4)+2x3+(3x2−2x2)+(−2x+x)+3
=−8x5+2x3+x2−x+3
Nên M(x)=−8x5+2x3+x2−x+3
Thay x=−1 vào M(x) ta được M(−1)=−8(−1)5+2(−1)3+(−1)2−(−1)+3
=8−2+1+1+3=11
Tính 2P(x)+Q(x)
Ta có 2.P(x)=2.(−6x5−4x4+3x2−2x)
=−12x5−8x4+6x2−4x
Khi đó 2P(x)+Q(x)=−12x5−8x4+6x2−4x+2x5−4x4−2x3+2x2−x−3
=(−12x5+2x5)+(−8x4−4x4)−2x3+(6x2+2x2)+(−4x−x)−3
=−10x5−12x4−2x3+8x2−5x−3
Tính 2P(x)+Q(x)
Ta có 2.P(x)=2.(−6x5−4x4+3x2−2x)
=−12x5−8x4+6x2−4x
Khi đó 2P(x)+Q(x)=−12x5−8x4+6x2−4x+2x5−4x4−2x3+2x2−x−3
=(−12x5+2x5)+(−8x4−4x4)−2x3+(6x2+2x2)+(−4x−x)−3
=−10x5−12x4−2x3+8x2−5x−3
Tính h(x)=f(x)+g(x) và tìm bậc của h(x).
Ta có h(x)=f(x)+g(x)=3x2+2x−5+(−3x2−2x+2)=(3x2−3x2)+(2x−2x)+(−5+2)=−3
Vậy h(x)=−3 và bậc của h(x) là 0.
Tính P(x)−Q(x)
Ta có P(x)=2x3−3x+x5−4x3+4x−x5+x2−2=(x5−x5)+(2x3−4x3)+x2+(−3x+4x)−2
=−2x3+x2+x−2
Và Q(x)=x3−2x2+3x+1+2x2=x3+(−2x2+2x2)+3x+1=x3+3x+1
Khi đó P(x)−Q(x)=−2x3+x2+x−2−(x3+3x+1)
=−2x3+x2+x−2−x3−3x−1
=(−2x3−x3)+x2+(x−3x)+(−2−1)
=−3x3+x2−2x−3
Tính 2P(x)+Q(x)
Ta có 2.P(x)=2.(−6x5−4x4+3x2−2x)
=−12x5−8x4+6x2−4x
Khi đó 2P(x)+Q(x)=−12x5−8x4+6x2−4x+2x5−4x4−2x3+2x2−x−3
=(−12x5+2x5)+(−8x4−4x4)−2x3+(6x2+2x2)+(−4x−x)−3
=−10x5−12x4−2x3+8x2−5x−3
Cho hai đa thức f(x)=3x2+2x−5 và g(x)=−3x2−2x+2.
Tính h(x)=f(x)+g(x) và tìm bậc của h(x).
Ta có h(x)=f(x)+g(x)=3x2+2x−5+(−3x2−2x+2)=(3x2−3x2)+(2x−2x)+(−5+2)=−3
Vậy h(x)=−3 và bậc của h(x) là 0.
Cho hai đa thức f(x)=3x2+2x−5 và g(x)=−3x2−2x+2.
Tính k(x)=f(x)−g(x) và tìm bậc của k(x).
Ta có k(x)=f(x)−g(x)=3x2+2x−5−(−3x2−2x+2)=3x2+2x−5+3x2+2x−2
=(3x2+3x2)+(2x+2x)−5−2 =6x2+4x−7
Vậy k(x)=6x2+4x−7 và bậc của k(x) là 2.
Cho hai đa thức P(x) và Q(x) dưới đây, hai đa thức nào thỏa mãn P(x)+Q(x)=x2+1.
Ta có với P(x)=x2−x;Q(x)=x+1 thì P(x)+Q(x)=x2−x+x+1=x2+1
Cho f(x)=x5−3x4+x2−5 và g(x)=2x4+7x3−x2+6. Tìm hiệu f(x)−g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:
Ta có f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^5} - 3{x^4} + {x^2} - 5 - \left( {2{x^4} + 7{x^3} - {x^2} + 6} \right)
= {x^5} - 3{x^4} + {x^2} - 5 - 2{x^4} - 7{x^3} + {x^2} - 6
= {x^5} + \left( { - 3{x^4} - 2{x^4}} \right) - 7{x^3} + \left( {{x^2} + {x^2}} \right) - 5 - 6
= {x^5} - 5{x^4} - 7{x^3} + 2{x^2} - 11
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được - 11 + 2{x^2} - 7{x^3} - 5{x^4} + {x^5}.
Cho p\left( x \right) = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 và q\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x - 5.
Tính p\left( x \right) + q\left( x \right) rồi tìm bậc của đa thức thu được.
Ta có p\left( x \right) + q\left( x \right) = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 + \left( { - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x - 5} \right)
= 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x - 5
= \left( {5{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {4{x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {2x + 4x} \right) - 1 - 5
= 4{x^4} + 6{x^3} - 6{x^2} + 6x - 6
Bậc của đa thức p\left( x \right) + q\left( x \right) = 4{x^4} + 6{x^3} - 6{x^2} + 6x - 6 là 4.
Tìm đa thức h\left( x \right) biết f\left( x \right) - h\left( x \right) = g\left( x \right) biết f\left( x \right) = {x^2} + x + 1;g\left( x \right) = 4 - 2{x^3} + {x^4} + 7{x^5}.
Ta có f\left( x \right) - h\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)
Mà f\left( x \right) = {x^2} + x + 1;g\left( x \right) = 4 - 2{x^3} + {x^4} + 7{x^5} nên h\left( x \right) = {x^2} + x + 1 - \left( {4 - 2{x^3} + {x^4} + 7{x^5}} \right)
= {x^2} + x + 1 - 4 + 2{x^3} - {x^4} - 7{x^5} = - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x - 3
Vậy h\left( x \right) = - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x - 3.
Tìm hệ số cao nhất của đa thức k\left( x \right) biết f\left( x \right) + k\left( x \right) = g\left( x \right) và f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 6{x^3} + 2x - 1;g\left( x \right) = x + 3.
Ta có f\left( x \right) + k\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow k\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right) = x + 3 - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6{x^3} + 2x - 1} \right)
= x + 3 - {x^4} + 4{x^2} - 6{x^3} - 2x + 1 = - {x^4} - 6{x^3} + 4{x^2} - x + 4
Nhận thấy số hạng có lũy thừa cao nhất của biến là - {x^4} nên hệ số cao nhất là - 1.
Tìm hệ số tự do của hiệu f\left( x \right) - 2.g\left( x \right) với f\left( x \right) = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1;g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x + 5.
+) Ta có 2g\left( x \right) = 2\left( { - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x + 5} \right) = - 2{x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 8x + 10
Ta có f\left( x \right) - 2.g\left( x \right) = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 - \left( { - 2{x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 8x + 10} \right)
= 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 + 2{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 8x - 10
= \left( {5{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2} + 6{x^2}} \right) + \left( {2x - 8x} \right) - 1 - 10
= 7{x^4} + 3{x^2} - 6x - 11
Hệ số tự do cần tìm là - 11.
Cho hai đa thức P(x) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2; Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}.
Tính P\left( x \right) - Q\left( x \right)
Ta có P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2 = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2
= - 2{x^3} + {x^2} + x - 2
Và Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2} = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1
Khi đó P\left( x \right) - Q\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)
= - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - {x^3} - 3x - 1
= \left( { - 2{x^3} - {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x - 3x} \right) + \left( { - 2 - 1} \right)
= - 3{x^3} + {x^2} - 2x - 3
Cho hai đa thức P(x) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2; Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}.
Tìm bậc của đa thức M(x) = P\left( x \right) + Q\left( x \right).
Ta có P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2 = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2
= - 2{x^3} + {x^2} + x - 2
Và Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2} = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1
Khi đó M\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 + \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)
= - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 + {x^3} + 3x + 1
= \left( { - 2{x^3} + {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 2 + 1} \right)
= - {x^3} + {x^2} + 4x - 1
Bậc của M\left( x \right) = - {x^3} + {x^2} + 4x - 1 là 3.
Cho hai đa thức P\left( x \right) = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x; Q(x) = 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3
Tính 2P\left( x \right) + Q\left( x \right)
Ta có 2.P\left( x \right) = 2.\left( { - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x} \right)
= - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x
Khi đó 2P\left( x \right) + Q\left( x \right) = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x + 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3
= \left( { - 12{x^5} + 2{x^5}} \right) + \left( { - 8{x^4} - 4{x^4}} \right) - 2{x^3} + \left( {6{x^2} + 2{x^2}} \right) + \left( { - 4x - x} \right) - 3
= - 10{x^5} - 12{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 5x - 3
