Tính \(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\)
Ta có \(P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2\)\( = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2\)
Và \(Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}\)\( = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1\)
Khi đó \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - {x^3} - 3x - 1\)
\( = \left( { - 2{x^3} - {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x - 3x} \right) + \left( { - 2 - 1} \right)\)
\( = - 3{x^3} + {x^2} - 2x - 3\)
Tính \(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\)
Ta có \(P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2\)\( = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2\)
Và \(Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}\)\( = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1\)
Khi đó \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - {x^3} - 3x - 1\)
\( = \left( { - 2{x^3} - {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x - 3x} \right) + \left( { - 2 - 1} \right)\)
\( = - 3{x^3} + {x^2} - 2x - 3\)
Tìm \(N\left( x \right)\) biết \(P\left( x \right) - 2Q\left( x \right) = N\left( x \right) - {x^2} + 6\)
Ta có \(2Q\left( x \right) = 2\left( {2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right)\)\( = 4{x^5} - 8{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} - 2x - 6\)
Khi đó \(P\left( x \right) - 2Q\left( x \right)\)\( = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - \left( {4{x^5} - 8{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} - 2x - 6} \right)\)
\( = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - 4{x^5} + 8{x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} + 2x + 6\)
\( = \left( { - 6{x^5} - 4{x^5}} \right) + \left( { - 4{x^4} + 8{x^4}} \right) + 4{x^3} + \left( {3{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( { - 2x + 2x} \right) + 6\)
\( = - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3} - {x^2} + 6\)
Nên \(P\left( x \right) - 2Q\left( x \right) = N\left( x \right) - {x^2} + 6\)
\( \Rightarrow N\left( x \right) = P\left( x \right) - 2Q\left( x \right)-(- {x^2} + 6)\)\(= - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3} - {x^2} + 6 - \left( { - {x^2} + 6} \right)\)
\( = - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3}\)
Vậy \(N\left( x \right) = - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3}.\)
Gọi $M\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)$. Tính \(M\left( { - 1} \right).\)
Ta có $M\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)$\( = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - \left( {2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right)\)
\( = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - 2{x^5} + 4{x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + x + 3\)
\( = \left( { - 6{x^5} - 2{x^5}} \right) + \left( { - 4{x^4} + 4{x^4}} \right) + 2{x^3} + \left( {3{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 2x + x} \right) + 3\)
\( = - 8{x^5} + 2{x^3} + {x^2} - x + 3\)
Nên \(M\left( x \right) = - 8{x^5} + 2{x^3} + {x^2} - x + 3\)
Thay \(x = - 1\) vào \(M\left( x \right)\) ta được \(M\left( { - 1} \right) = - 8{\left( { - 1} \right)^5} + 2{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 3\)
\( = 8 - 2 + 1 + 1 + 3 = 11\)
Tính \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)
Ta có \(2.P\left( x \right) = 2.\left( { - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x} \right)\)
\( = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x\)
Khi đó \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)\( = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x + 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
\( = \left( { - 12{x^5} + 2{x^5}} \right) + \left( { - 8{x^4} - 4{x^4}} \right) - 2{x^3} + \left( {6{x^2} + 2{x^2}} \right) + \left( { - 4x - x} \right) - 3\)
\( = - 10{x^5} - 12{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 5x - 3\)
Tính \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)
Ta có \(2.P\left( x \right) = 2.\left( { - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x} \right)\)
\( = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x\)
Khi đó \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)\( = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x + 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
\( = \left( { - 12{x^5} + 2{x^5}} \right) + \left( { - 8{x^4} - 4{x^4}} \right) - 2{x^3} + \left( {6{x^2} + 2{x^2}} \right) + \left( { - 4x - x} \right) - 3\)
\( = - 10{x^5} - 12{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 5x - 3\)
Tính \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) và tìm bậc của \(h\left( x \right).\)
Ta có \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) \)\(= 3{x^2} + 2x - 5 + \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)\)\( = \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {2x - 2x} \right) + \left( { - 5 + 2} \right) = - 3\)
Vậy \(h\left( x \right) = - 3\) và bậc của \(h\left( x \right)\) là \(0.\)
Tính \(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\)
Ta có \(P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2\)\( = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2\)
Và \(Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}\)\( = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1\)
Khi đó \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - {x^3} - 3x - 1\)
\( = \left( { - 2{x^3} - {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x - 3x} \right) + \left( { - 2 - 1} \right)\)
\( = - 3{x^3} + {x^2} - 2x - 3\)
Tính \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)
Ta có \(2.P\left( x \right) = 2.\left( { - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x} \right)\)
\( = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x\)
Khi đó \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)\( = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x + 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
\( = \left( { - 12{x^5} + 2{x^5}} \right) + \left( { - 8{x^4} - 4{x^4}} \right) - 2{x^3} + \left( {6{x^2} + 2{x^2}} \right) + \left( { - 4x - x} \right) - 3\)
\( = - 10{x^5} - 12{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 5x - 3\)
Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\) và \(g\left( x \right) = - 3{x^2} - 2x + 2.\)
Tính \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) và tìm bậc của \(h\left( x \right).\)
Ta có \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) \)\(= 3{x^2} + 2x - 5 + \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)\)\( = \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {2x - 2x} \right) + \left( { - 5 + 2} \right) = - 3\)
Vậy \(h\left( x \right) = - 3\) và bậc của \(h\left( x \right)\) là \(0.\)
Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5\) và \(g\left( x \right) = - 3{x^2} - 2x + 2.\)
Tính \(k\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) và tìm bậc của \(k\left( x \right).\)
Ta có \(k\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\)\( = 3{x^2} + 2x - 5 - \left( { - 3{x^2} - 2x + 2} \right)\)\( = 3{x^2} + 2x - 5 + 3{x^2} + 2x - 2\)
\( = \left( {3{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {2x + 2x} \right) - 5 - 2\) \( = 6{x^2} + 4x - 7\)
Vậy \(k\left( x \right) = 6{x^2} + 4x - 7\) và bậc của \(k\left( x \right)\) là \(2.\)
Cho hai đa thức \(P\left( x \right)\) và \(Q\left( x \right)\) dưới đây, hai đa thức nào thỏa mãn \(P\left( x \right) + Q\left( x \right) = {x^2} + 1.\)
Ta có với \(P\left( x \right) = {x^2} - x;Q\left( x \right) = x + 1\) thì \(P\left( x \right) + Q\left( x \right) = {x^2} - x + x + 1 = {x^2} + 1\)
Cho \(f\left( x \right) = {x^5} - 3{x^4} + {x^2} - 5\) và \(g\left( x \right) = 2{x^4} + 7{x^3} - {x^2} + 6.\) Tìm hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:
Ta có \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\)\( = {x^5} - 3{x^4} + {x^2} - 5 - \left( {2{x^4} + 7{x^3} - {x^2} + 6} \right)\)
\( = {x^5} - 3{x^4} + {x^2} - 5 - 2{x^4} - 7{x^3} + {x^2} - 6\)
\( = {x^5} + \left( { - 3{x^4} - 2{x^4}} \right) - 7{x^3} + \left( {{x^2} + {x^2}} \right) - 5 - 6\)
\( = {x^5} - 5{x^4} - 7{x^3} + 2{x^2} - 11\)
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được \( - 11 + 2{x^2} - 7{x^3} - 5{x^4} + {x^5}.\)
Cho \(p\left( x \right) = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\) và \(q\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x - 5.\)
Tính \(p\left( x \right) + q\left( x \right)\) rồi tìm bậc của đa thức thu được.
Ta có \(p\left( x \right) + q\left( x \right)\)\( = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 + \left( { - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x - 5} \right)\)
\( = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x - 5\)
\( = \left( {5{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {4{x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {2x + 4x} \right) - 1 - 5\)
\( = 4{x^4} + 6{x^3} - 6{x^2} + 6x - 6\)
Bậc của đa thức \(p\left( x \right) + q\left( x \right) = 4{x^4} + 6{x^3} - 6{x^2} + 6x - 6\) là \(4.\)
Tìm đa thức \(h\left( x \right)\) biết \(f\left( x \right) - h\left( x \right) = g\left( x \right)\) biết \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1;\)\(g\left( x \right) = 4 - 2{x^3} + {x^4} + 7{x^5}.\)
Ta có \(f\left( x \right) - h\left( x \right) = g\left( x \right)\)\( \Rightarrow h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\)
Mà \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1;\)\(g\left( x \right) = 4 - 2{x^3} + {x^4} + 7{x^5}\) nên \(h\left( x \right) = {x^2} + x + 1 - \left( {4 - 2{x^3} + {x^4} + 7{x^5}} \right)\)
\( = {x^2} + x + 1 - 4 + 2{x^3} - {x^4} - 7{x^5}\)\( = - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x - 3\)
Vậy \(h\left( x \right) = - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x - 3.\)
Tìm hệ số cao nhất của đa thức \(k\left( x \right)\) biết \(f\left( x \right) + k\left( x \right) = g\left( x \right)\) và \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 6{x^3} + 2x - 1;\)\(g\left( x \right) = x + 3.\)
Ta có \(f\left( x \right) + k\left( x \right) = g\left( x \right)\)\( \Rightarrow k\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)\)\( = x + 3 - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6{x^3} + 2x - 1} \right)\)
\( = x + 3 - {x^4} + 4{x^2} - 6{x^3} - 2x + 1\) \( = - {x^4} - 6{x^3} + 4{x^2} - x + 4\)
Nhận thấy số hạng có lũy thừa cao nhất của biến là \( - {x^4}\) nên hệ số cao nhất là \( - 1.\)
Tìm hệ số tự do của hiệu \(f\left( x \right) - 2.g\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1;\)\(g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x + 5.\)
+) Ta có \(2g\left( x \right) = 2\left( { - {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} + 4x + 5} \right)\)\( = - 2{x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 8x + 10\)
Ta có \(f\left( x \right) - 2.g\left( x \right)\)\( = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 - \left( { - 2{x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 8x + 10} \right)\)
$ = 5{x^4} + 4{x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 + 2{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 8x - 10$
\( = \left( {5{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2} + 6{x^2}} \right) + \left( {2x - 8x} \right) - 1 - 10\)
\( = 7{x^4} + 3{x^2} - 6x - 11\)
Hệ số tự do cần tìm là \( - 11.\)
Cho hai đa thức \(P(x) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2;\) \(Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}.\)
Tính \(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\)
Ta có \(P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2\)\( = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2\)
Và \(Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}\)\( = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1\)
Khi đó \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 - {x^3} - 3x - 1\)
\( = \left( { - 2{x^3} - {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x - 3x} \right) + \left( { - 2 - 1} \right)\)
\( = - 3{x^3} + {x^2} - 2x - 3\)
Cho hai đa thức \(P(x) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2;\) \(Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}.\)
Tìm bậc của đa thức \(M(x) = P\left( x \right) + Q\left( x \right).\)
Ta có \(P\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + {x^5} - 4{x^3} + 4x - {x^5} + {x^2} - 2\)\( = \left( {{x^5} - {x^5}} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^3}} \right) + {x^2} + \left( { - 3x + 4x} \right) - 2\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2\)
Và \(Q(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 1 + 2{x^2}\)\( = {x^3} + \left( { - 2{x^2} + 2{x^2}} \right) + 3x + 1 = {x^3} + 3x + 1\)
Khi đó \(M\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 + \left( {{x^3} + 3x + 1} \right)\)
\( = - 2{x^3} + {x^2} + x - 2 + {x^3} + 3x + 1\)
\( = \left( { - 2{x^3} + {x^3}} \right) + {x^2} + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 2 + 1} \right)\)
\( = - {x^3} + {x^2} + 4x - 1\)
Bậc của \(M\left( x \right) = - {x^3} + {x^2} + 4x - 1\) là \(3.\)
Cho hai đa thức \(P\left( x \right) = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x\); \(Q(x) = 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
Tính \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)
Ta có \(2.P\left( x \right) = 2.\left( { - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x} \right)\)
\( = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x\)
Khi đó \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)\( = - 12{x^5} - 8{x^4} + 6{x^2} - 4x + 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
\( = \left( { - 12{x^5} + 2{x^5}} \right) + \left( { - 8{x^4} - 4{x^4}} \right) - 2{x^3} + \left( {6{x^2} + 2{x^2}} \right) + \left( { - 4x - x} \right) - 3\)
\( = - 10{x^5} - 12{x^4} - 2{x^3} + 8{x^2} - 5x - 3\)
