Cộng trừ đa thức một biến

Ta có $M\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)$$=  - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - \left( {2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right)$

$=  - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - 2{x^5} + 4{x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + x + 3$

$= \left( { - 6{x^5} - 2{x^5}} \right) + \left( { - 4{x^4} + 4{x^4}} \right) + 2{x^3} + \left( {3{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 2x + x} \right) + 3$

$=  - 8{x^5} + 2{x^3} + {x^2} - x + 3$

Nên $M\left( x \right) =  - 8{x^5} + 2{x^3} + {x^2} - x + 3$

Thay $x =  - 1$ vào $M\left( x \right)$ ta được $M\left( { - 1} \right) =  - 8{\left( { - 1} \right)^5} + 2{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 3$

$= 8 - 2 + 1 + 1 + 3 = 11$

Ta có $2Q\left( x \right) = 2\left( {2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right)$$= 4{x^5} - 8{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} - 2x - 6$

Khi đó $P\left( x \right) - 2Q\left( x \right)$$=  - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - \left( {4{x^5} - 8{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} - 2x - 6} \right)$

$=  - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - 4{x^5} + 8{x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} + 2x + 6$

$= \left( { - 6{x^5} - 4{x^5}} \right) + \left( { - 4{x^4} + 8{x^4}} \right) + 4{x^3} + \left( {3{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( { - 2x + 2x} \right) + 6$

$=  - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3} - {x^2} + 6$

Nên $P\left( x \right) - 2Q\left( x \right) = N\left( x \right) - {x^2} + 6$

$\Rightarrow N\left( x \right) = P\left( x \right) - 2Q\left( x \right)-(- {x^2} + 6)$$=  - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3} - {x^2} + 6 - \left( { - {x^2} + 6} \right)$

$=  - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3}$

Vậy $N\left( x \right) =  - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3}.$

Ta có: $\left( {5{x^3} - 4{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {4 - x - 4{x^2} + 5{x^3}} \right)$ $= 5{x^3} - 4{x^2} + 3x + 3 - 4 + x + 4{x^2} - 5{x^3}$

$\begin{array}{l} = (5{x^3} - 5{x^3}) + ( - 4{x^2} + 4{x^2}) + (3x + x) + (3 - 4)\\ = 4x - 1\end{array}$

Mà $\left( {5{x^3} - 4{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {4 - x - 4{x^2} + 5{x^3}} \right) = 5$

Do đó $4x - 1 = 5 \Rightarrow 4x = 5 + 1 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$

Thay $x = 1$ vào $P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ ta được: $P\left( 1 \right) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c$

mà $P\left( 1 \right) = 0$ suy ra $a + b + c = 0$  hay $a + c =  - b \,\, (1)$

Thay $x =  - 1$ vào $P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ ta được: $P\left( { - 1} \right) = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c$

mà $P\left( { - 1} \right) = 6$ suy ra $a - b + c = 6$ hay $a + c = 6 + b \,\, (2)$

Thay $x = 2$ vào $P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ ta được: $P\left( 2 \right) = a{.2^2} + b.2 + c = 4a + 2b + c$

mà $P\left( 2 \right) = 3$ suy ra $4a + 2b + c = 3 \,\, (3)$  

Từ $(1);\,(2)$ ta có: $- b = 6 + b \Rightarrow  - b - b = 6 \Rightarrow  - 2b = 6 \Rightarrow b =  - 3$

Thay $b =  - 3$ vào $(1)$ ta được: $a + c = 3 \Rightarrow c = 3 - a \,\, (4)$

Thay $b =  - 3$ vào $(3)$ ta được: $4a + 2.( - 3) + c = 3 \Rightarrow 4a - 6 + c = 3 \Rightarrow c = 9 - 4a \,\, (5)$

Từ $(4);\,(5)$ ta có: $3 - a = 9 - 4a$ $\Rightarrow  - a + 4a = 9 - 3 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2$

Thay $a = 2$ vào $(4)$ ta được: $c = 3 - 2 = 1$.

Vậy $P\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 1$.

Ta có: $f\left( x \right) + g\left( x \right) = 6{x^4} - 3{x^2} - 5 \Rightarrow f(x) = (6{x^4} - 3{x^2} - 5) - g(x)$

$\Rightarrow f(x) = (6{x^4} - 3{x^2} - 5) - (4{x^4} - 6{x^3} + 7{x^2} + 8x - 8)$

              $\begin{array}{l} = 6{x^4} - 3{x^2} - 5 - 4{x^4} + 6{x^3} - 7{x^2} - 8x + 8\\ = (6{x^4} - 4{x^4}) + ( - 3{x^2} - 7{x^2}) + ( - 5 + 8) + 6{x^3} - 8x\\ = 2{x^4} - 10{x^2} + 3 + 6{x^3} - 8x\end{array}$.

Ta có: $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = ({x^{2n}} - {x^{2n - 1}} + ... + {x^2} - x + 1) - ( - {x^{2n + 1}} + {x^{2n}} - {x^{2n - 1}} + ... + {x^2} - x + 1)$

$= {x^{2n}} - {x^{2n - 1}} + ... + {x^2} - x + 1 + {x^{2n + 1}} - {x^{2n}} + {x^{2n - 1}} - ... - {x^2} + x - 1$

$= {x^{2n + 1}} + ({x^{2n}} - {x^{2n}}) + ( - {x^{2n - 1}} + {x^{2n - 1}}) + ... + ({x^2} - {x^2}) + ( - x + x) + (1 - 1)$

$= {x^{2n + 1}}$

Thay $x = \dfrac{1}{{10}}$ vào $h(x)$ ta được: $h\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right) = {\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)^{2n + 1}} = \dfrac{1}{{{{10}^{2n + 1}}}}$.