Cho hai đa thức \(P\left( x \right) = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x\); \(Q(x) = 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
Gọi $M\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)$. Tính \(M\left( { - 1} \right).\)
Ta có $M\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)$\( = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - \left( {2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right)\)
\( = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - 2{x^5} + 4{x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + x + 3\)
\( = \left( { - 6{x^5} - 2{x^5}} \right) + \left( { - 4{x^4} + 4{x^4}} \right) + 2{x^3} + \left( {3{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 2x + x} \right) + 3\)
\( = - 8{x^5} + 2{x^3} + {x^2} - x + 3\)
Nên \(M\left( x \right) = - 8{x^5} + 2{x^3} + {x^2} - x + 3\)
Thay \(x = - 1\) vào \(M\left( x \right)\) ta được \(M\left( { - 1} \right) = - 8{\left( { - 1} \right)^5} + 2{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 3\)
\( = 8 - 2 + 1 + 1 + 3 = 11\)
Cho hai đa thức \(P\left( x \right) = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x\); \(Q(x) = 2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
Tìm \(N\left( x \right)\) biết \(P\left( x \right) - 2Q\left( x \right) = N\left( x \right) - {x^2} + 6\)
Ta có \(2Q\left( x \right) = 2\left( {2{x^5} - 4{x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right)\)\( = 4{x^5} - 8{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} - 2x - 6\)
Khi đó \(P\left( x \right) - 2Q\left( x \right)\)\( = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - \left( {4{x^5} - 8{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} - 2x - 6} \right)\)
\( = - 6{x^5} - 4{x^4} + 3{x^2} - 2x - 4{x^5} + 8{x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} + 2x + 6\)
\( = \left( { - 6{x^5} - 4{x^5}} \right) + \left( { - 4{x^4} + 8{x^4}} \right) + 4{x^3} + \left( {3{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( { - 2x + 2x} \right) + 6\)
\( = - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3} - {x^2} + 6\)
Nên \(P\left( x \right) - 2Q\left( x \right) = N\left( x \right) - {x^2} + 6\)
\( \Rightarrow N\left( x \right) = P\left( x \right) - 2Q\left( x \right)-(- {x^2} + 6)\)\(= - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3} - {x^2} + 6 - \left( { - {x^2} + 6} \right)\)
\( = - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3}\)
Vậy \(N\left( x \right) = - 10{x^5} + 4{x^4} + 4{x^3}.\)
Tìm \(x\) biết \(\left( {5{x^3} - 4{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {4 - x - 4{x^2} + 5{x^3}} \right) = 5\).
Ta có: \(\left( {5{x^3} - 4{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {4 - x - 4{x^2} + 5{x^3}} \right) \) \(= 5{x^3} - 4{x^2} + 3x + 3 - 4 + x + 4{x^2} - 5{x^3}\)
\(\begin{array}{l} = (5{x^3} - 5{x^3}) + ( - 4{x^2} + 4{x^2}) + (3x + x) + (3 - 4)\\ = 4x - 1\end{array}\)
Mà \(\left( {5{x^3} - 4{x^2} + 3x + 3} \right) - \left( {4 - x - 4{x^2} + 5{x^3}} \right) = 5\)
Do đó \(4x - 1 = 5 \Rightarrow 4x = 5 + 1 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\)
Xác định \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) biết \(P\left( 1 \right) = 0;P\left( { - 1} \right) = 6;P\left( 2 \right) = 3.\)
Thay \(x = 1\) vào \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) ta được: \(P\left( 1 \right) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c\)
mà \(P\left( 1 \right) = 0\) suy ra \(a + b + c = 0\) hay \(a + c = - b \,\, (1)\)
Thay \(x = - 1\) vào \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) ta được: \(P\left( { - 1} \right) = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c\)
mà \(P\left( { - 1} \right) = 6\) suy ra \(a - b + c = 6\) hay \(a + c = 6 + b \,\, (2)\)
Thay \(x = 2\) vào \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) ta được: \(P\left( 2 \right) = a{.2^2} + b.2 + c = 4a + 2b + c\)
mà \(P\left( 2 \right) = 3\) suy ra \(4a + 2b + c = 3 \,\, (3)\)
Từ \((1);\,(2)\) ta có: \( - b = 6 + b \Rightarrow - b - b = 6 \Rightarrow - 2b = 6 \Rightarrow b = - 3\)
Thay \(b = - 3\) vào \((1)\) ta được: \(a + c = 3 \Rightarrow c = 3 - a \,\, (4)\)
Thay \(b = - 3\) vào \((3)\) ta được: \(4a + 2.( - 3) + c = 3 \Rightarrow 4a - 6 + c = 3 \Rightarrow c = 9 - 4a \,\, (5)\)
Từ \((4);\,(5)\) ta có: \(3 - a = 9 - 4a\) \( \Rightarrow - a + 4a = 9 - 3 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2\)
Thay \(a = 2\) vào \((4)\) ta được: \(c = 3 - 2 = 1\).
Vậy \(P\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 1\).
Tìm \(f\left( x \right)\) biết \(f\left( x \right) + g\left( x \right) = 6{x^4} - 3{x^2} - 5\) và \(g\left( x \right) = 4{x^4} - 6{x^3} + 7{x^2} + 8x - 8.\)
Ta có: \(f\left( x \right) + g\left( x \right) = 6{x^4} - 3{x^2} - 5 \Rightarrow f(x) = (6{x^4} - 3{x^2} - 5) - g(x)\)
\( \Rightarrow f(x) = (6{x^4} - 3{x^2} - 5) - (4{x^4} - 6{x^3} + 7{x^2} + 8x - 8)\)
\(\begin{array}{l} = 6{x^4} - 3{x^2} - 5 - 4{x^4} + 6{x^3} - 7{x^2} - 8x + 8\\ = (6{x^4} - 4{x^4}) + ( - 3{x^2} - 7{x^2}) + ( - 5 + 8) + 6{x^3} - 8x\\ = 2{x^4} - 10{x^2} + 3 + 6{x^3} - 8x\end{array}\).
Cho \(f\left( x \right) = {x^{2n}} - {x^{2n - 1}} + ... + {x^2} - x + 1;\)\(g\left( x \right) = - {x^{2n + 1}} + {x^{2n}} - {x^{2n - 1}} + ... + {x^2} - x + 1.\)
Tính \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) và tính \(h\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right).\)
Ta có: \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = ({x^{2n}} - {x^{2n - 1}} + ... + {x^2} - x + 1) - ( - {x^{2n + 1}} + {x^{2n}} - {x^{2n - 1}} + ... + {x^2} - x + 1)\)
\( = {x^{2n}} - {x^{2n - 1}} + ... + {x^2} - x + 1 + {x^{2n + 1}} - {x^{2n}} + {x^{2n - 1}} - ... - {x^2} + x - 1\)
\( = {x^{2n + 1}} + ({x^{2n}} - {x^{2n}}) + ( - {x^{2n - 1}} + {x^{2n - 1}}) + ... + ({x^2} - {x^2}) + ( - x + x) + (1 - 1)\)
\( = {x^{2n + 1}}\)
Thay \(x = \dfrac{1}{{10}}\) vào \(h(x)\) ta được: \(h\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right) = {\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)^{2n + 1}} = \dfrac{1}{{{{10}^{2n + 1}}}}\).