Đại lượng tỉ lệ thuận

Đổi \(500\,g = 0,5\,kg\).

Gọi \(x\,\,\left( {x > 0} \right)\) là số kilogam muối có trong \(500g\)nước biển.

Ta thấy số nước biển và số muối là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Ta có \(\dfrac{{2,5}}{{100}} = \dfrac{x}{{0,5}} \Rightarrow x = \dfrac{{2,5.0,5}}{{100}} = 0,0125\,kg = 12,5\,g\).

Vậy \(500g\)nước biển có \(12,5\,g\) muối.

Vì \(x;y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có: \(\dfrac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{x_2}}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \dfrac{{16}}{4} = 4\) (vì \({y_1} + {y_2} = 16;{x_1} + {x_2} = 4\))

Vậy \(y\) và \(x\) tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ là \(4\).

Suy ra \(y = 4x.\)

Gọi ba cạnh của tam giác là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\).

Giả sử \(x;y;z\) tỉ lệ thuận với \(3;4;5\)  ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) thì \(x\) là cạnh nhỏ nhất và \(z\) là cạnh lớn nhất của tam giác. Khi đó theo bài ra ta có \(x + z - y = 16.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{x - y + z}}{{3 - 4 + 5}} = \dfrac{{16}}{4} = 4\)

Do đó \(x = 4.3 = 12\,m.\)

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác là \(12\,m.\)

Nếu đại lượng \(x\) liên hệ với đại lượng \(y\) theo công thức \(x = k.y\)(với \(k\) là hằng số khác \(0\)) thì ta nói \(x\) tỉ lệ thuận với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(k.\)

Gọi số xăng tiêu thụ của \(20\) máy là \(x\,\left( {x > 0} \right)\).

Vì số máy và số xăng tiêu thụ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có

\(\dfrac{{105}}{{15}} = \dfrac{x}{{20}} \Rightarrow x = \dfrac{{105.20}}{{15}} = 140\) lít.

Vậy số xăng tiêu thụ của \(20\) máy là \(140\) lít xăng.

Gọi số tiền thưởng của ba công nhân \(A,B,C\) lần lượt là \(x;y;z\) đơn vị triệu đồng\(\,\left( {0 < x;y;z < 15} \right).\)

Vì năng suất lao động tương ứng tỉ lệ với \(2,4,6\) nên số tiền thưởng cũng tỉ lệ thuận với \(2,4,6\)

Ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6}\) và \(x + y + z = 15\)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 4 + 6}} = \dfrac{{15}}{{12}} = 1,25\).

Suy ra \(x = 1,25.2 = 2,5\) (triệu đồng)

Số tiền người \(A\) được thưởng là \(2,5\) triệu đồng.

Mỗi lượt huy động xe, các đơn vị vận chuyển một khối lượng hàng tương ứng là:

+ Đơn vị A: \(8.4 = 32\) tấn

+ Đơn vị B: \(12.5 = 60\) tấn

+ Đơn vị C: \(10.4,5 = 45\) tấn

Vì số lượt huy động xe là như nhau nên khối lượng hàng vận chuyển được của ba đơn vị tỉ lệ thuận với khối lượng hàng của các đơn vị vận chuyển được trong mỗi lượt huy động.

Gọi \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\) lần lượt là số tấn hàng các đơn vị A, B, C vận chuyển được ta có:

\(\dfrac{x}{{32}} = \dfrac{y}{{60}} = \dfrac{z}{{45}}\) và \(x + y + z = 685\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{32}} = \dfrac{y}{{60}} = \dfrac{z}{{45}} = \dfrac{{x + y + z}}{{32 + 60 + 45}} = \dfrac{{685}}{{137}} = 5\).

Do đó \(y = 60.5 = 300\) tấn.

Vậy đơn vị B đã vận chuyển \(300\) tấn hàng.

Gọi \(x;y;z;t\) lần lượt là số cây trồng được của lớp \(7{A_1};\,7{A_2};7{A_3};7{A_4}\) \(\left( {x;y;z;t \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3};\dfrac{y}{z} = \dfrac{4}{5};\dfrac{z}{t} = \dfrac{9}{{10}}\) và \(x + y + z + t = 310\).

Vì \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}\) suy ra \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}\) hay \(\dfrac{x}{{24}} = \dfrac{y}{{36}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(\dfrac{y}{z} = \dfrac{4}{5}\) suy ra \(\dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\) hay \(\dfrac{y}{{36}} = \dfrac{z}{{45}}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Vì \(\dfrac{z}{t} = \dfrac{9}{{10}}\) suy ra \(\dfrac{z}{9} = \dfrac{t}{{10}}\) hay \(\dfrac{z}{{45}} = \dfrac{t}{{50}}\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) ta có \(\dfrac{x}{{24}} = \dfrac{y}{{36}} = \dfrac{z}{{45}} = \dfrac{t}{{50}}\)

Với \(x + y + z + t = 310\), áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{24}} = \dfrac{y}{{36}} = \dfrac{z}{{45}} = \dfrac{t}{{50}} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{24 + 36 + 45 + 50}} = \dfrac{{310}}{{155}} = 2\).

Suy ra \(\dfrac{z}{{45}} = 2\) nên \(z = 45.2 = 90\,\,\left( {TM} \right)\).

Số cây lớp \(7{A_3}\) trồng được là \(90\) cây.

Từ câu trước ta có \(x = \left( { - 4} \right)y \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{4}x\)  

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \(k\) nên \(x = ky.\)

Ta có \(12 = k.\left( { - 3} \right) \Rightarrow k =  - 4.\)

Hay \(x = \left( { - 4} \right)y\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \(k\) nên \(x = ky.\)

Ta có \(12 = k.\left( { - 3} \right) \Rightarrow k =  - 4.\)

Hay \(x = \left( { - 4} \right)y\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \(k\) nên \(x = ky.\)

Ta có \(12 = k.\left( { - 3} \right) \Rightarrow k =  - 4.\)

Hay \(x = \left( { - 4} \right)y\)

Vì \(x\) tỉ lệ thuận với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(3\) nên \(y\) cũng tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{3}\). Suy ra \(y = \dfrac{1}{3}x.\)

Từ câu trước ta có: \(x = \left( { - \dfrac{1}{3}} \right)y \Rightarrow y =  - 3x.\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \(k\) nên \(x = ky.\)

Ta có: \(10 = k.\left( { - 30} \right) \Rightarrow k =  - \dfrac{1}{3}.\)

Hay \(x = \left( { - \dfrac{1}{3}} \right)y.\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \(k\) nên \(x = ky.\)

Ta có: \(10 = k.\left( { - 30} \right) \Rightarrow k =  - \dfrac{1}{3}.\)

Hay \(x = \left( { - \dfrac{1}{3}} \right)y.\)

Vì \(x\) tỉ lệ thuận với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \( - 5\) nên ta có \(x =  - 5y\).

+ \( - 5 =  - 5.{y_1} \Rightarrow {y_1} = 1\)

+ \({x_2} =  - 5.\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} \right) = 1\)

+ \(1 =  - 5.{y_3} \Rightarrow {y_3} =  - \dfrac{1}{5}\)

Vậy \({y_1} = 1;{x_2} = 1;{y_3} =  - \dfrac{1}{5}.\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên \(\dfrac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\) hay \(\dfrac{{{y_1}}}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{{12}}{{\dfrac{1}{6}}} = 72 \Rightarrow {y_1} = 24.\)

Ta thấy \(\dfrac{{ - 5}}{{ - 12,5}} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2,5}} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{{3,5}}{{8,75}} \ne \dfrac{{6,8}}{{16,32}}\) nên \(x\) và \(y\) không tỉ lệ thuận với nhau.

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_1}}}{{{y_2}}}\).

Suy ra \(\dfrac{{{x_1}}}{{ - 4}} = \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_1} - {x_1}}}{{3 - \left( { - 4} \right)}} = \dfrac{{ - 7}}{7} =  - 1\).

Nên \({x_1} = \left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = 4\); \({y_1} = \left( { - 1} \right).3 =  - 3.\)