Đại lượng tỉ lệ thuận

Chia số \(133\) thành ba phần \(x;y;z\left( {0 < x;y;z < 133} \right)\) tỉ lệ thuận với \(5;6;8\).

Ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8}\) và \(x + y + z = 133\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 8}} = \dfrac{{133}}{{19}} = 7\)

Do đó \(x = 7.5 = 35\); \(y = 7.6 = 42\), \(z = 7.8 = 56.\)

Phần bé nhất là \(35.\)

Chia số \(195\) thành ba phần \(x;y;z\left( {0 < x;y;z < 195} \right)\) tỉ lệ thuận với \(\dfrac{3}{5};1\dfrac{3}{4};\dfrac{9}{{10}}\).

Ta có \(\dfrac{x}{{\dfrac{3}{5}}} = \dfrac{y}{{1\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{9}{{10}}}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{3}{5}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{9}{{10}}}}\) và \(x + y + z = 195\)  

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{\dfrac{3}{5}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{9}{{10}}}} = \dfrac{{x + y + z}}{{\dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{4} + \dfrac{9}{{10}}}} = \dfrac{{195}}{{\dfrac{{13}}{4}}} = 60\).

Do đó \(x = 60.\dfrac{3}{5} = 36\); \(y = 60.\dfrac{7}{4} = 105\), \(z = 60.\dfrac{9}{{10}} = 54.\)

Phần lớn nhất là \(105.\)

Vì đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với đại lượng $y$ theo hệ số tỉ lệ $ - 2$ nên $y$ cũng tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ \( - \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(y =  - \dfrac{1}{2}x.\)

Nếu đại lượng $y$  liên hệ với đại lượng $x$  theo công thức \(y = kx\) (với $k$ là hằng số khác $0$ ) thì ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$  theo hệ số tỉ lệ $k.$

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \(k\) nên \(x = ky.\)

Ta có \(12 = k.\left( { - 3} \right) \Rightarrow k =  - 4.\)

Hay \(x = \left( { - 4} \right)y\)

Từ câu trước ta có \(x = \left( { - 4} \right)y \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{4}x\)  

Vì \(x\) tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ \( - 3\) nên ta có \(x =  - 3y\) .

+)  \( - 4 =  - 3.{y_1} \Rightarrow {y_1} = \dfrac{4}{3}\)

+)  ${x_2} =  - 3.\dfrac{2}{3} =  - 2$

+)  \(1 =  - 3.{y_3} \Rightarrow {y_3} =  - \dfrac{1}{3}\)

Vậy ${y_1} = \dfrac{4}{3};{x_2} =  - 2;{y_3} =  - \dfrac{1}{3}.$

  Vì $x$ và $y$là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_1}}}{{{y_2}}}\) hay \(\dfrac{{{x_1}}}{3} = \dfrac{{\dfrac{{ - 3}}{5}}}{{\dfrac{1}{{10}}}} =  - 6 \Rightarrow {x_1} =  - 18.\)

Ta thấy \(\dfrac{{2,3}}{{4,8}} \ne \dfrac{{4,8}}{{2,3}}\) nên $x$ và \(y\) không tỉ lệ thuận với nhau.

Đổi \(2\) tấn\( = 2000\,kg\).

Gọi \(x\,\,\left( {x > 0} \right)\) là số kilogam gạo có trong hai tấn thóc.

Ta thấy số tấn thóc và số gạo là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Ta có \(\dfrac{{60}}{{100}} = \dfrac{x}{{2000}}\)\( \Rightarrow x = \dfrac{{2000.60}}{{100}} = 1200\) kg.

Vậy 2 tấn thóc có \(1200\,kg\) gạo.

Vì  $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_1}}}{{{y_2}}}\) 

Suy ra \(\dfrac{{{x_1}}}{{ - 6}} = \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{3{x_1}}}{{ - 18}} = \dfrac{{2{y_1}}}{6} = \dfrac{{3{x_1} + 2{y_1}}}{{ - 18 + 6}} = \dfrac{{24}}{{ - 12}} =  - 2\)

Nên \({x_1} = \left( { - 2} \right).\left( { - 6} \right) = 12\); \({y_1} = \left( { - 2} \right).3 =  - 6.\)

Chia số \(117\) thành ba phần \(x;y;z\left( {0 < x;y;z < 117} \right)\) tỉ lệ thuận với \(3;4;6\).

Ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6}\) và \(x + y + z = 117\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{6} = \dfrac{{x + y + z}}{{3 + 4 + 6}} = \dfrac{{117}}{{13}} = 9\)

Do đó \(x = 9.3 = 27\); \(y = 9.4 = 36\), \(z = 9.6 = 54.\)

Phần lớn nhất là \(54.\)

Vì \(x;y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có \(\dfrac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{x_2}}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \dfrac{5}{1} = 5\) (vì \({y_1} + {y_2} = 5;{x_1} + {x_2} = 1\))

Vậy \(y\) và \(x\) tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ là \(5\).

Suy ra \(y = 5x.\)

Gọi ba cạnh của tam giác là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\).

Giả sử \(x;y;z\) giác tỉ lệ thuận với \(3;5;7\)  ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\) thì \(x\) là cạnh nhỏ nhất và \(z\) là cạnh lớn nhất của tam giác. Khi đó theo bài ra ta có \(x + z - y = 20.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x - y + z}}{{3 - 5 + 7}} = \dfrac{{20}}{5} = 4\)

Do đó \(x = 4.3 = 12\,m.\)

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác là \(12\,m.\)

Gọi số xăng tiêu thụ của \(13\) máy là \(x\,\left( {x > 0} \right)\).

Vì số máy và số xăng tiêu thụ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có

\(\dfrac{{80}}{{10}} = \dfrac{x}{{13}} \Rightarrow x = \dfrac{{80.13}}{{10}} = 104\) lít.

Vậy số xăng tiêu thụ của \(13\) máy là \(104\) lít xăng.

Gọi số tiền thưởng của ba công nhân lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right).\)

Vì năng suất lao động tương ứng tỉ lệ với $3,5,7$  nên số tiền thưởng cũng tỉ lệ thuận với $3,5,7$

Ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\) và \(x + y = 5,6\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y}}{{3 + 5}} = \dfrac{{5,6}}{8} = 0,7\,\left( 1 \right)\)

Lại có  \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{3 + 5 + 7}} = \dfrac{{x + y + z}}{{15}}\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{x + y + z}}{{15}} = 0,7\)\( \Rightarrow x + y + z = 10,5.\)

Tổng số tiền ba người được thưởng là \(10,5\) triệu.

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là \(x;y;z\,\left( {0 < x;y;z < 36} \right).\)

Vì độ dài ba cạnh tương ứng tỉ lệ với \(5,6,7\) nên ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7}\).

Chu vi tam giác bằng \(36\) nên \(x + y + z = 36\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 7}} = \dfrac{{36}}{{18}} = 2\)

Suy ra \(x = 2.7 = 14\).

Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác là \(14.\)

Mỗi lượt huy động xe, các đơn vị vận chuyển một khối lượng hàng tương ứng là:

+ Đơn vị A: \(12.5 = 60\) tấn

+ Đơn vị B: \(14.4,5 = 63\) tấn

+ Đơn vị C: \(20.3,5 = 70\) tấn

Vì số lượt huy động xe là như nhau nên khối lượng hàng vận chuyển được của ba đơn vị tỉ lệ thuận với khối lượng hàng  của các đơn vị vận chuyển được trong mỗi lượt huy động.

Gọi \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\) lần lượt là số tấn hàng các đơn vị A, B, C vận chuyển được ta có:

\(\dfrac{x}{{60}} = \dfrac{y}{{63}} = \dfrac{z}{{70}}\) và \(x + y + z = 772\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{{60}} = \dfrac{y}{{63}} = \dfrac{z}{{70}} = \dfrac{{x + y + z}}{{60 + 63 + 70}} = \dfrac{{772}}{{193}} = 4\)

Do đó \(y = 63.4 = 252\) tấn.

Vậy đơn vị B đã vận chuyển \(252\) tấn hàng.

Gọi \(x;y;z;t\) lần lượt là số cây trồng được của lớp \(7{A_1};\,7{A_2};7{A_3};7{A_4}\) \(\left( {x;y;z;t \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4};\dfrac{y}{z} = \dfrac{5}{6};\dfrac{z}{t} = \dfrac{8}{9}\) và \(x + y + z + t = 172\).

Vì \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4}\) suy ra \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}\) hay \(\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{{20}}\,\left( 1 \right)\)

Vì \(\dfrac{y}{z} = \dfrac{5}{6}\) suy ra \(\dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}\) hay \(\dfrac{z}{{24}} = \dfrac{y}{{20}}\,\left( 2 \right)\)

Vì \(\dfrac{z}{t} = \dfrac{8}{9}\) suy ra \(\dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{9}\) hay \(\dfrac{z}{{24}} = \dfrac{t}{{27}}\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) ta có \(\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{{20}} = \dfrac{z}{{24}} = \dfrac{t}{{27}}\)

Với \(x + y + z + t = 172\), áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{{20}} = \dfrac{z}{{24}} = \dfrac{t}{{27}} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{15 + 20 + 24 + 27}} = \dfrac{{172}}{{86}} = 2\)

Suy ra \(\dfrac{t}{{27}} = 2\) nên \(t = 27.2 = 54\,\left( {TM} \right)\)

Số cây lớp \(7{A_4}\) trồng được là \(54\) cây.

Gọi \(x;y;z\) lần lượt là độ dài của ba tấm vải ban đầu \(\left( {0 < x;y;z < 420} \right).\)

Sau khi bán \(\dfrac{1}{7}\) tấm vải thứ nhất thì độ dài của tấm vải thứ nhất còn \(x - \dfrac{1}{7}x = \dfrac{{6x}}{7}\,\,\left( m \right).\)

Sau khi bán \(\dfrac{2}{{11}}\) tấm vải thứ hai thì độ dài của tấm vải thứ hai còn \(y - \dfrac{2}{{11}}y = \dfrac{{9y}}{{11}}\,\left( m \right).\)

Sau khi bán \(\dfrac{1}{3}\) tấm vải thứ ba thì độ dài của tấm vải thứ hai còn \(z - \dfrac{1}{3}z = \dfrac{{2z}}{3}\,\left( m \right).\)

Sau khi bán thì độ dài còn lại của ba tấm vải bằng nhau nên ta có \(\dfrac{{6x}}{7} = \dfrac{{9y}}{{11}} = \dfrac{{2z}}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{6x}{{7.18}} = \dfrac{9y}{{11.18}} = \dfrac{2z}{{3.18}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{21}} = \dfrac{y}{{22}} = \dfrac{z}{{27}}\).

Tổng độ dài ba tấm vải ban đầu là \(420\) nên \(x + y + z + t = 420.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{21}} = \dfrac{y}{{22}} = \dfrac{z}{{27}} = \dfrac{{x + y + z}}{{21 + 22 + 27}} = \dfrac{{420}}{{70}} = 6\).

Suy ra \(\dfrac{y}{{22}} = 6\) nên \(y = 6.22 = 132\,\,\left( {TM} \right)\).

Vậy tấm vải thứ hai dài \(132\) mét.