Hai góc đối đỉnh

Vì hai đường thẳng \(xx'\) và \(yy'\) cắt nhau tại \(O\) nên \(Ox'\) là tia đối của tia \(Ox\), \(Oy\) là tia đối của tia \(Oy'.\) Vậy góc đối đỉnh với \(\widehat {xOy'}\) là \(\widehat {x'Oy}\).

Vì góc \(xOy\) đối đỉnh với góc \(x'Oy'\) nên \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Mà \(\widehat {xOy} = {120^0}\)

Do đó \(\widehat {x'Oy'} = {120^0}\).

Vì hai đường thẳng \(xx'\) và \(yy'\) cắt nhau tại \(O\) nên hai tia \(Ox\) và \(Ox'\) là hai tia đối nhau; hai tia \(Oy\) và \(Oy'\) là hai tia đối nhau.

Suy ra \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy'}\); \(\widehat {x'Oy}\) và \(\widehat {xOy'}\) là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó \(\widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = {55^0}\) và \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy}\)

Lại có: \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ \)

 \( \Rightarrow \widehat {xOy} + {55^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {xOy} = {180^0} - {55^0} = {125^0}\)

Vậy \(\widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = {55^0}\) và \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = {125^0}\)

Suy ra A, C, D đúng, B sai.

Vì \(\widehat {tOz'}\) và \(\widehat {tOz}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {tOz} + \widehat {tOz'} = {180^0}\)

Mà \(3.\widehat {tOz'} = \widehat {tOz}\)  

\( \Rightarrow 3.\widehat {tOz'} + \widehat {tOz'} = {180^0}\) \( \Rightarrow 4.\widehat {tOz'} = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {tOz'} = {45^0}\)

Khi đó \(\widehat {tOz} = 3.\widehat {tOz'} = {3.45^0} = {135^0}\)  

Vì \(\widehat {tOz}\) và \(\widehat {t'Oz'}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {t'Oz'} = \widehat {tOz} = {135^0}.\)

Vì \(\widehat {ABC'}\) kề bù với \(\widehat {ABC}\) nên tia \(BC'\) là tia đối của tia \(BC.\)

Vì \(\widehat {C'BA'}\) kề bù với \(\widehat {ABC'}\) nên tia \(BA'\) là tia đối của tia \(BA.\)

Do đó \(\widehat {C'BA'}\) và \(\widehat {CBA}\) là hai góc đối đỉnh.

\( \Rightarrow \widehat {C'BA'} = \widehat {CBA} = {62^0}\) (tính chất hai góc đối đỉnh).

Vì \(\widehat {{O_2}}\) và \(\widehat {{O_4}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{O_2}} = {180^0} - \widehat {{O_4}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{O_2}} = {180^0} - {20^0} = {160^0}\)

Vì \(\widehat {{O_1}}\)  đối đỉnh với  \(\widehat {{O_2}}\) nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} = {160^0}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì \(\widehat {nOm}\) và \(\widehat {xOy}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {nOm} = \widehat {xOy} = {50^0}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Ta có: \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {xOm}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {xOy} + \widehat {xOm} = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {xOm} = {180^0} - \widehat {xOy}\) \( \Rightarrow \widehat {xOm} = {180^0} - {50^0} = {130^0}\)

Do đó \(\widehat {xOm} = \widehat {yOn} = {130^0}\) (hai góc đối đỉnh)

Các góc có số đo bằng 130^o: \(\widehat {xOm};\widehat {yOn}\).

Vì \(Ot\) là tia phân giác của góc \(xOx'\) nên

\(\widehat {xOt} = \widehat {tOx'} = \dfrac{1}{2}\widehat {xOx'} = \dfrac{1}{2}{.124^o} = {62^o}\)

Hai đường thẳng \(xy\) và \(x'y'\) cắt nhau tại \(O\) nên tia \(Oy\) là tia đối của tia \(Ox\)

Mà tia \(Ot'\) là tia đối của tia \(Ot\)

Suy ra \(\widehat {yOt'}\) và \(\widehat {xOt}\) là hai góc đối đỉnh.

\( \Rightarrow \widehat {yOt'} = \widehat {xOt} = {62^o}\) (tính chất hai góc đối đỉnh).

Vì \(\widehat {AOD}\) và \(\widehat {DOA'}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {AOD} + \widehat {DOA'} = {180^0}\)

 \( \Rightarrow \widehat {AOD} = {180^0} - \widehat {DOA'}\)

 \( \Rightarrow \widehat {AOD} = {180^0} - {45^0} = {135^0}\)

Ta có: tia \(OB\) và tia \(OD\) nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(OA\) và \(\widehat {AOB} < \widehat {AOD}\,(do\,{45^o} < {135^o})\) nên tia \(OB\) nằm giữa hai tia \(OA\) và \(OD\).

Do đó \(\widehat {AOB} + \widehat {BOD} = \widehat {AOD}\) \( \Rightarrow {45^0} + \widehat {BOD} = {135^0}\) \( \Rightarrow \widehat {BOD} = {135^0} - {45^0} = {90^0}\).

Vì tia \(OD\) là tia đối của tia \(OA\) nên \(\widehat {DOI}\) và \(\widehat {AOI}\) là hai góc kề bù.

Khi đó \(\widehat {DOI} + \widehat {AOI} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {AOI} = {180^0} - \widehat {DOI}\)  \( \Rightarrow \widehat {AOI} = {180^0} - {30^0} = {150^0}\)

Vì \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) nên \(\widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {AOB}}}{2} = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\)

Xét hai góc kề \(\widehat {AOI}\) và \(\widehat {AOC}\) ta có: \(\widehat {AOI} + \widehat {AOC} = {150^0} + {30^0} = {180^0}\) suy ra \(\widehat {AOI}\) và \(\widehat {AOC}\) là hai góc kề bù.

Do đó tia \(OI\) là tia đối của tia \(OC\).

Mặt khác tia \(OD\) là tia đối của tia \(OA\) nên \(\widehat {DOI}\) và \(\widehat {AOC}\) là hai góc đối đỉnh.

Vì \(OM\) là tia phân giác \(\widehat {AOC}\) nên \(\widehat {AOM} = \widehat {COM} = \dfrac{{\widehat {AOC}}}{2} = \dfrac{{{{100}^0}}}{2} = {50^0}\)

Vì \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) nên \(OB\) là tia đối của tia \(OA\), \(OD\) là tia đối của tia \(OC\)

Mặt khác \(ON\) là tia đối của tia \(OM\) nên \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BON}\) là hai góc đối đỉnh; \(\widehat {COM}\) và \(\widehat {DON}\) là hai góc đối đỉnh.

Suy ra \(\widehat {BON} = \widehat {AOM} = {50^0};\widehat {DON} = \widehat {COM} = {50^0}\) hay \(\widehat {BON} = \widehat {DON} = {50^0}.\)

Vì \(\widehat {AOD}\) và \(\widehat {AOC}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {AOD} + \widehat {AOC} = 180^\circ \) mà \(\widehat {AOC} = 3\widehat {AOD}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOD} + 3\widehat {AOD} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 4\widehat {AOD} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {AOD} = 180^\circ :4 = 45^\circ \)

Do đó \(\widehat {AOC} = 3\widehat {AOD} = {3.45^0} = {135^0}\)

Vì hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) nên hai tia \(OB\) và \(OA\) là hai tia đối nhau, hai tia \(OD\) và \(OC\) là hai  tia đối nhau.

Do đó \(\widehat {BOD}\) và \(\widehat {AOC}\) là hai góc đối đỉnh; \(\widehat {AOD}\) và \(\widehat {BOC}\) là hai góc đối đỉnh

Kh đó \(\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 135^\circ ;\)\(\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 45^\circ \)

Vậy \(\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 135^\circ ;\) \(\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 45^\circ \).

Vì $Ot$ là tia phân giác của góc $MOP$ nên $\widehat {MOt} = \widehat {tOP} = \dfrac{1}{2}\widehat {MOP} = \dfrac{1}{2}{.80^o} = {40^o}.$

Vì $Ot'$  là tia đối của tia $Ot,$ do đó :

\(\widehat {NOt'} = \widehat {MOt} = {40^o}\,\,\,\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {t'OQ} = \widehat {tOP} = {40^o}\,\,\,\,\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {NOt'} = \widehat {t'OQ}\) 

Mặt khác tia $Ot'$  nằm trong góc $NOQ.$ Vậy $Ot'$ là tia phân giác của góc $NOQ.$

$\widehat {NOQ} = \widehat {MOP} = {80^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì góc $MOP$  và $PON$  là hai góc kề bù nên :

$\,\widehat {MOP} + \widehat {PON} = {180^o} \Rightarrow {80^o} + \widehat {PON} = {180^o}$ $ \Rightarrow \widehat {PON} = {180^o} - {80^o} = {100^o}$

Khi đó $\widehat {MOQ} = \widehat {PON} = {100^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

$\widehat {NOQ} = \widehat {MOP} = {80^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì góc $MOP$  và $PON$  là hai góc kề bù nên :

$\,\widehat {MOP} + \widehat {PON} = {180^o} \Rightarrow {80^o} + \widehat {PON} = {180^o}$ $ \Rightarrow \widehat {PON} = {180^o} - {80^o} = {100^o}$

Khi đó $\widehat {MOQ} = \widehat {PON} = {100^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

$\widehat {NOQ} = \widehat {MOP} = {80^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì góc $MOP$  và $PON$  là hai góc kề bù nên :

$\,\widehat {MOP} + \widehat {PON} = {180^o} \Rightarrow {80^o} + \widehat {PON} = {180^o}$ $ \Rightarrow \widehat {PON} = {180^o} - {80^o} = {100^o}$

Khi đó $\widehat {MOQ} = \widehat {PON} = {100^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

 Vì hai đường thẳng $zz'$  và $tt'$  cắt nhau tại $A$  nên $Az'$  là tia đối của tia $Az,At'$ là tia đối của tia $At.$ Vậy góc đối đỉnh với \(\widehat {zAt'}\) là \(\widehat {z'At}\).

Vẽ \(\widehat {x'By'}\) là góc đối đỉnh với \(\widehat {xBy}\). Khi đó:

\(\widehat {x'By'} = \widehat {xBy} = {60^o}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì hai đường thẳng $xx'$  và $yy'$  cắt nhau tại $O$  nên $Ox'$  là tia đối của tia $Ox;Oy'$ là tia đối của tia $Oy.$

Suy ra \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy'}\) ; \(\widehat {x'Oy}\) và \(\widehat {xOy'}\) là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}\)

Lại có \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc ở vị trí kề bù nên \(\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ \)\( \Rightarrow 45^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 45^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 135^\circ \)

Vậy \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'} = 135^\circ .\)

Suy ra A, B, C đúng, D sai.

Ta có \(\widehat {zOt} + \widehat {tOz'} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {tOz'} = 4.\widehat {tOz}\) \( \Rightarrow \widehat {zOt} + 4.\widehat {zOt} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 5.\widehat {zOt} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {zOt} = 36^\circ \)

Vì  \(\widehat {tOz}\) và \(\widehat {t'Oz'}\)  là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {zOt} = \widehat {z'Ot'} = 36^\circ .\)