Hai góc đối đỉnh

Vì hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$ nên $Ox'$ là tia đối của tia $Ox$, $Oy$ là tia đối của tia $Oy'.$ Vậy góc đối đỉnh với $\widehat {xOy'}$ là $\widehat {x'Oy}$.

Vì góc $xOy$ đối đỉnh với góc $x'Oy'$ nên $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Mà $\widehat {xOy} = {120^0}$

Do đó $\widehat {x'Oy'} = {120^0}$.

Vì hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau tại $O$ nên hai tia $Ox$ và $Ox'$ là hai tia đối nhau; hai tia $Oy$ và $Oy'$ là hai tia đối nhau.

Suy ra $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy'}$; $\widehat {x'Oy}$ và $\widehat {xOy'}$ là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó $\widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = {55^0}$ và $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy}$

Lại có: $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ$

 $\Rightarrow \widehat {xOy} + {55^0} = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat {xOy} = {180^0} - {55^0} = {125^0}$

Vậy $\widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = {55^0}$ và $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = {125^0}$

Suy ra A, C, D đúng, B sai.

Vì $\widehat {tOz'}$ và $\widehat {tOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {tOz} + \widehat {tOz'} = {180^0}$

Mà $3.\widehat {tOz'} = \widehat {tOz}$  

$\Rightarrow 3.\widehat {tOz'} + \widehat {tOz'} = {180^0}$ $\Rightarrow 4.\widehat {tOz'} = {180^0}$ $\Rightarrow \widehat {tOz'} = {45^0}$

Khi đó $\widehat {tOz} = 3.\widehat {tOz'} = {3.45^0} = {135^0}$  

Vì $\widehat {tOz}$ và $\widehat {t'Oz'}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {t'Oz'} = \widehat {tOz} = {135^0}.$

Vì $\widehat {ABC'}$ kề bù với $\widehat {ABC}$ nên tia $BC'$ là tia đối của tia $BC.$

Vì $\widehat {C'BA'}$ kề bù với $\widehat {ABC'}$ nên tia $BA'$ là tia đối của tia $BA.$

Do đó $\widehat {C'BA'}$ và $\widehat {CBA}$ là hai góc đối đỉnh.

$\Rightarrow \widehat {C'BA'} = \widehat {CBA} = {62^0}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Vì $\widehat {{O_2}}$ và $\widehat {{O_4}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}} = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat {{O_2}} = {180^0} - \widehat {{O_4}}$

$\Rightarrow \widehat {{O_2}} = {180^0} - {20^0} = {160^0}$

Vì $\widehat {{O_1}}$  đối đỉnh với  $\widehat {{O_2}}$ nên $\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} = {160^0}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì $\widehat {nOm}$ và $\widehat {xOy}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {nOm} = \widehat {xOy} = {50^0}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Ta có: $\widehat {xOy}$ và $\widehat {xOm}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {xOm} = {180^0}$ $\Rightarrow \widehat {xOm} = {180^0} - \widehat {xOy}$ $\Rightarrow \widehat {xOm} = {180^0} - {50^0} = {130^0}$

Do đó $\widehat {xOm} = \widehat {yOn} = {130^0}$ (hai góc đối đỉnh)

Các góc có số đo bằng 130^o: $\widehat {xOm};\widehat {yOn}$.

Vì $Ot$ là tia phân giác của góc $xOx'$ nên

$\widehat {xOt} = \widehat {tOx'} = \dfrac{1}{2}\widehat {xOx'} = \dfrac{1}{2}{.124^o} = {62^o}$

Hai đường thẳng $xy$ và $x'y'$ cắt nhau tại $O$ nên tia $Oy$ là tia đối của tia $Ox$

Mà tia $Ot'$ là tia đối của tia $Ot$

Suy ra $\widehat {yOt'}$ và $\widehat {xOt}$ là hai góc đối đỉnh.

$\Rightarrow \widehat {yOt'} = \widehat {xOt} = {62^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Vì $\widehat {AOD}$ và $\widehat {DOA'}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AOD} + \widehat {DOA'} = {180^0}$

 $\Rightarrow \widehat {AOD} = {180^0} - \widehat {DOA'}$

 $\Rightarrow \widehat {AOD} = {180^0} - {45^0} = {135^0}$

Ta có: tia $OB$ và tia $OD$ nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia $OA$ và $\widehat {AOB} < \widehat {AOD}\,(do\,{45^o} < {135^o})$ nên tia $OB$ nằm giữa hai tia $OA$ và $OD$.

Do đó $\widehat {AOB} + \widehat {BOD} = \widehat {AOD}$ $\Rightarrow {45^0} + \widehat {BOD} = {135^0}$ $\Rightarrow \widehat {BOD} = {135^0} - {45^0} = {90^0}$.

Vì tia $OD$ là tia đối của tia $OA$ nên $\widehat {DOI}$ và $\widehat {AOI}$ là hai góc kề bù.

Khi đó $\widehat {DOI} + \widehat {AOI} = 180^\circ$ $\Rightarrow \widehat {AOI} = {180^0} - \widehat {DOI}$  $\Rightarrow \widehat {AOI} = {180^0} - {30^0} = {150^0}$

Vì $OC$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {AOB}}}{2} = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}$

Xét hai góc kề $\widehat {AOI}$ và $\widehat {AOC}$ ta có: $\widehat {AOI} + \widehat {AOC} = {150^0} + {30^0} = {180^0}$ suy ra $\widehat {AOI}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc kề bù.

Do đó tia $OI$ là tia đối của tia $OC$.

Mặt khác tia $OD$ là tia đối của tia $OA$ nên $\widehat {DOI}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc đối đỉnh.

Vì $OM$ là tia phân giác $\widehat {AOC}$ nên $\widehat {AOM} = \widehat {COM} = \dfrac{{\widehat {AOC}}}{2} = \dfrac{{{{100}^0}}}{2} = {50^0}$

Vì $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$ nên $OB$ là tia đối của tia $OA$, $OD$ là tia đối của tia $OC$

Mặt khác $ON$ là tia đối của tia $OM$ nên $\widehat {AOM}$ và $\widehat {BON}$ là hai góc đối đỉnh; $\widehat {COM}$ và $\widehat {DON}$ là hai góc đối đỉnh.

Suy ra $\widehat {BON} = \widehat {AOM} = {50^0};\widehat {DON} = \widehat {COM} = {50^0}$ hay $\widehat {BON} = \widehat {DON} = {50^0}.$

Vì $\widehat {AOD}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AOD} + \widehat {AOC} = 180^\circ$ mà $\widehat {AOC} = 3\widehat {AOD}$

$\Rightarrow \widehat {AOD} + 3\widehat {AOD} = 180^\circ$ $\Rightarrow 4\widehat {AOD} = 180^\circ$ $\Rightarrow \widehat {AOD} = 180^\circ :4 = 45^\circ$

Do đó $\widehat {AOC} = 3\widehat {AOD} = {3.45^0} = {135^0}$

Vì hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$ nên hai tia $OB$ và $OA$ là hai tia đối nhau, hai tia $OD$ và $OC$ là hai  tia đối nhau.

Do đó $\widehat {BOD}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc đối đỉnh; $\widehat {AOD}$ và $\widehat {BOC}$ là hai góc đối đỉnh

Kh đó $\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 135^\circ ;$$\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 45^\circ$

Vậy $\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 135^\circ ;$ $\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 45^\circ$.

Vì $Ot$ là tia phân giác của góc $MOP$ nên $\widehat {MOt} = \widehat {tOP} = \dfrac{1}{2}\widehat {MOP} = \dfrac{1}{2}{.80^o} = {40^o}.$

Vì $Ot'$  là tia đối của tia $Ot,$ do đó :

$\widehat {NOt'} = \widehat {MOt} = {40^o}\,\,\,$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {t'OQ} = \widehat {tOP} = {40^o}\,\,\,\,$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat {NOt'} = \widehat {t'OQ}$ 

Mặt khác tia $Ot'$  nằm trong góc $NOQ.$ Vậy $Ot'$ là tia phân giác của góc $NOQ.$

$\widehat {NOQ} = \widehat {MOP} = {80^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì góc $MOP$  và $PON$  là hai góc kề bù nên :

$\,\widehat {MOP} + \widehat {PON} = {180^o} \Rightarrow {80^o} + \widehat {PON} = {180^o}$ $\Rightarrow \widehat {PON} = {180^o} - {80^o} = {100^o}$

Khi đó $\widehat {MOQ} = \widehat {PON} = {100^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

$\widehat {NOQ} = \widehat {MOP} = {80^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì góc $MOP$  và $PON$  là hai góc kề bù nên :

$\,\widehat {MOP} + \widehat {PON} = {180^o} \Rightarrow {80^o} + \widehat {PON} = {180^o}$ $\Rightarrow \widehat {PON} = {180^o} - {80^o} = {100^o}$

Khi đó $\widehat {MOQ} = \widehat {PON} = {100^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

$\widehat {NOQ} = \widehat {MOP} = {80^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì góc $MOP$  và $PON$  là hai góc kề bù nên :

$\,\widehat {MOP} + \widehat {PON} = {180^o} \Rightarrow {80^o} + \widehat {PON} = {180^o}$ $\Rightarrow \widehat {PON} = {180^o} - {80^o} = {100^o}$

Khi đó $\widehat {MOQ} = \widehat {PON} = {100^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

 Vì hai đường thẳng $zz'$  và $tt'$  cắt nhau tại $A$  nên $Az'$  là tia đối của tia $Az,At'$ là tia đối của tia $At.$ Vậy góc đối đỉnh với $\widehat {zAt'}$ là $\widehat {z'At}$.

Vẽ $\widehat {x'By'}$ là góc đối đỉnh với $\widehat {xBy}$. Khi đó:

$\widehat {x'By'} = \widehat {xBy} = {60^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì hai đường thẳng $xx'$  và $yy'$  cắt nhau tại $O$  nên $Ox'$  là tia đối của tia $Ox;Oy'$ là tia đối của tia $Oy.$

Suy ra $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy'}$ ; $\widehat {x'Oy}$ và $\widehat {xOy'}$ là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ$ và $\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}$

Lại có $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy}$ là hai góc ở vị trí kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ$$\Rightarrow 45^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat {x'Oy} = 135^\circ$

Vậy $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ$ và $\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'} = 135^\circ .$

Suy ra A, B, C đúng, D sai.

Ta có $\widehat {zOt} + \widehat {tOz'} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) mà $\widehat {tOz'} = 4.\widehat {tOz}$ $\Rightarrow \widehat {zOt} + 4.\widehat {zOt} = 180^\circ$ $\Rightarrow 5.\widehat {zOt} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {zOt} = 36^\circ$

Vì  $\widehat {tOz}$ và $\widehat {t'Oz'}$  là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {zOt} = \widehat {z'Ot'} = 36^\circ .$