Hai góc đối đỉnh

Vì góc $ABC'$  kề bù với góc $ABC$  nên $BC'$  là tia đối của tia $BC.$

Vì góc $C'BA'$  kề bù với góc $ABC'$  nên $BA'$  là tia đối của tia $BA.$

Do đó, góc $C'BA'$  và góc $ABC$  đối đỉnh.

$\Rightarrow \widehat {C'BA'} = \widehat {ABC} = {56^o}$ 

${\widehat O_2} = {\widehat O_1} = {165^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Góc ${O_1}$  và góc ${O_4}$ là hai góc kề bù

$\Rightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_4} = {180^o}$

$\Rightarrow {\widehat O_4} = {180^o} - {\widehat O_1}$

$\Rightarrow {\widehat O_4} = {180^o} - {165^o} = {15^o}$

${\widehat O_3} = {\widehat O_4} = {15^o}\,$ (hai góc đối đỉnh)

Vì hai đường thẳng $xx'$  và $yy'$  cắt nhau tại $O$  nên $Ox'$  là tia đối của tia $Ox;Oy'$ là tia đối của tia $Oy.$

Suy ra $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy'}$ ; $\widehat {x'Oy}$ và $\widehat {xOy'}$ là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 35^\circ$ và $\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}$

Lại có $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy}$ là hai góc ở vị trí kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ$$\Rightarrow 35^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 35^\circ$

$\Rightarrow \widehat {x'Oy} = 145^\circ$

Vậy $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ$ và $\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'} = 145^\circ .$

Hai góc có số đo bằng ${145^o}$  là : $\widehat {xOy'}\,\,;\,\,\widehat {x'Oy}$

Vì $Ot$  là tia phân giác của góc $xOx'$ nên

$\widehat {xOt} = \widehat {tOx'} = \dfrac{1}{2}\widehat {xOx'} = \dfrac{1}{2}{.70^o} = {35^o}$

Vì $Oy$  là tia đối của $Ox,Ot'$ là tia đối của $Ot$

$\Rightarrow \widehat {yOt'} = \widehat {xOt} = {35^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

$\widehat {NOQ} = \widehat {MOP} = {80^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì góc $MOP$  và $PON$  là hai góc kề bù nên :

$\,\widehat {MOP} + \widehat {PON} = {180^o} \Rightarrow {80^o} + \widehat {PON} = {180^o}$ $\Rightarrow \widehat {PON} = {180^o} - {80^o} = {100^o}$

Khi đó $\widehat {MOQ} = \widehat {PON} = {100^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Vì $Ot$ là tia phân giác của góc $MOP$ nên $\widehat {MOt} = \widehat {tOP} = \dfrac{1}{2}\widehat {MOP} = \dfrac{1}{2}{.80^o} = {40^o}.$

Vì $Ot'$  là tia đối của tia $Ot,$ do đó :

$\widehat {NOt'} = \widehat {MOt} = {40^o}\,\,\,$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {t'OQ} = \widehat {tOP} = {40^o}\,\,\,\,$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat {NOt'} = \widehat {t'OQ}$ 

Mặt khác tia $Ot'$  nằm trong góc $NOQ.$ Vậy $Ot'$ là tia phân giác của góc $NOQ.$

+ Hai góc $AOC$  và $BOD$ có: $OA$ và $OB$  là hai tia đối nhau, $OD$  và $OC$ không phải là hai tia đối nhau.

Vậy hai góc đó không phải là hai góc đối đỉnh.

+ Vì góc $BOD$ và $DOA$  là hai góc kề bù nên:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\widehat {BOD} + \widehat {DOA} = {180^O}\\ \Rightarrow {50^O} + \widehat {DOA} = {180^O}\\ \Rightarrow \widehat {DOA} = {180^O} - {50^O} = {130^O}\end{array}$

Tia $OA$  là tia phân giác góc $COE$ nên $\widehat {AOE} = \widehat {AOC} = {50^O}$.

Tia $OD$ và tia $OE$  thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia $OA$ nên tia $OA$  nằm giữa hai tia $OD$ và $OE,$  ta có:

$\widehat {DOA} + \widehat {AOE} = {130^0} + {50^0} = {180^0}$

Suy ra $OD$ và $OE$ là hai tia đối nhau.

Hai góc $BOD$ và $AOE$ có hai cặp cạnh $OB$ và $OA,OD$ và $OE$  là hai tia đối nhau nên là hai góc đối đỉnh.

Vì $OC$ và $OD$ là hai tia đối nhau nên $\widehat {COE}$ và $\widehat {DOE}$  là hai góc kề bù. Khi đó $\widehat {COE} + \widehat {DOE} = 180^\circ$$\Rightarrow \widehat {COE} = 180^\circ  - 25^\circ  = 155^\circ$

Vì $OC$ là tia phân giác của góc $BOA$ nên $\widehat {COB} = \dfrac{{\widehat {AOB}}}{2} = \dfrac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ$

Nhận thấy $\widehat {BOC} + \widehat {COE} = 25^\circ  + 155^\circ  = 180^\circ$ nên $OB$ và $OE$ là hai tia đối nhau.

Suy ra $\widehat {BOC}$ và $\widehat {DOE}$ là hai góc đối đỉnh.

Vì $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$ nên $OA$ và $OB$ là hai tia đối nhau, $OC$ và $OD$ là hai tia đối nhau.

Vì $OM$ là tia phân giác $\widehat {COA}$ nên $\widehat {AOM} = \widehat {COM} = \dfrac{{\widehat {COA}}}{2} = \dfrac{{60}}{2} = 30^\circ$

Mà $ON$ và $OM$ là hai tia đối nhau nên $\widehat {AOM}$ và $\widehat {BON}$ là hai góc đối đỉnh; $\widehat {COM}$ và $\widehat {DON}$ là hai góc đối đỉnh

Suy ra $\widehat {AOM} = \widehat {BON} = 30^\circ ;\widehat {COM} = \widehat {DON} = 30^\circ$ hay $\widehat {BON} = \widehat {DON} = 30^\circ .$

Vì $\widehat {AOD}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AOD} + \widehat {AOC} = 180^\circ$ mà $\widehat {AOC} - \widehat {AOD} = 50^\circ$

Nên $\widehat {AOC} = \dfrac{{180^\circ  + 50^\circ }}{2} = 115^\circ$ và $\widehat {AOD} = 180^\circ  - \widehat {AOC} = 65^\circ$

Mà $\widehat {AOD}$ và $\widehat {BOC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 65^\circ .$

Lại có $\widehat {BOD}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 115^\circ .$

Vậy $\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 115^\circ ;\,\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 65^\circ .$