Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác

Vì  $\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).$ Suy ra $\widehat {OBC} = \widehat {OAD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

Lại có $\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat {CBD} = 180^\circ  - \widehat {OBC}$ và $\widehat {CAD} = 180^\circ  - \widehat {OAD}$  mà $\widehat {OBC} = \widehat {OAD}$ (cmt)

Suy ra $\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.$

 Xét tam giác $OAD$ và tam giác $OBC$ có

$OA = OB,$ góc $O$ chung, $OD = OC$ suy ra $\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).$

 Xét tam giác $OAD$ và tam giác $OBC$ có

$OA = OB,$ góc $O$ chung, $OD = OC$ suy ra $\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).$

Từ câu trước ta có $\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)$$\Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng) (1)

Tương tự ta có $\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}$ (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}$. Mà $\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc của tam giác) nên $\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .$

Lại có $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ (cmt) nên $\widehat {CBO} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$; $\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .$

Xét tam giác $BOC$ có $\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc của một tam giác)

Nên $\widehat {BOC} = 180^\circ  - 30^\circ  - 30^\circ  = 120^\circ .$

Vậy $\widehat {BOC} = 120^\circ .$

Vì $BD$ và $CE$ là tia phân giác của góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ và $\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.$ 

Xét tam giác $ABD$ và tam giác $CBD$ có:

+ $AB = AC\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ (cmt)

+ Cạnh $BD$ chung

Suy ra $\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BDC}$ (hai góc tương ứng); $DC = AD$ (hai cạnh tương ứng) nên C sai.

Mà $\widehat {ADB} + \widehat {CDB} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat {ADB} = \widehat {CDB} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$ . Do đó $BD \bot AC.$

Tương tự ta có $CE \bot AB.$

Vì $BD$ và $CE$ là tia phân giác của góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {ACB}$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ và $\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.$ 

Xét tam giác $ABD$ và tam giác $CBD$ có:

+ $AB = AC\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ (cmt)

+ Cạnh $BD$ chung

Suy ra $\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BDC}$ (hai góc tương ứng); $DC = AD$ (hai cạnh tương ứng) nên C sai.

Mà $\widehat {ADB} + \widehat {CDB} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat {ADB} = \widehat {CDB} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$ . Do đó $BD \bot AC.$

Tương tự ta có $CE \bot AB.$

Xét tam giác $AOI$ và $BOI$ có

+ $OA = OB\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {AOI} = \widehat {BOI}$  (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh $OI$ chung

Suy ra $\Delta AOI = \Delta BOI\left( {c - g - c} \right)$

Do đó $\widehat {AIO} = \widehat {BIO}$ (hai góc tương ứng) mà $\widehat {AIO} + \widehat {BIO} = 180^\circ$ nên $\widehat {AIO} = \widehat {BIO} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$

Hay $OC \bot AB \Rightarrow \widehat {AIC} = 90^\circ .$

Xét tam giác $AOC$ và $BOC$ có

+ $OA = OB\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {AOC} = \widehat {BOC}$  (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh $OC$ chung

Suy ra $\Delta AOC = \Delta BOC\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow AC = BC$ (hai cạnh tương ứng); $\widehat {OAC} = \widehat {OBC}$; $\widehat {OCA} = \widehat {OCB}$   (hai góc tương ứng)

Từ đó $CO$ là tia phân giác của $\widehat {BCA}.$

Nên B, C, D đúng, A sai.

Xét tam giác $AOC$ và $BOC$ có

+ $OA = OB\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {AOC} = \widehat {BOC}$  (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh $OC$ chung

Suy ra $\Delta AOC = \Delta BOC\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow AC = BC$ (hai cạnh tương ứng); $\widehat {OAC} = \widehat {OBC}$; $\widehat {OCA} = \widehat {OCB}$   (hai góc tương ứng)

Từ đó $CO$ là tia phân giác của $\widehat {BCA}.$

Nên B, C, D đúng, A sai.

Tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có: $AB = DE$, $AC = DF$.

Để tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh cần thêm điều kiện về góc xen giữa đó là: $\widehat A = \widehat D.$

Xét $\Delta MNP$ và $\Delta IJK$ có:

$MN = IJ$

$MP = IK$

$\widehat M = \widehat I$

$\Delta MNP = \Delta IJK$ (c.g.c)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACD$ có:

$AB = AC\,\,(gt)$

$\widehat {BAE} = \widehat {CAD}$ (hai góc đối đỉnh)

$AE = AD(gt)$

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACD\,(c.g.c)$ (A đúng).

$\Rightarrow BE = CD$ (hai cạnh tương ứng) (B đúng)

$\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng) (D đúng).

Xét $\Delta AOC$ và $\Delta BOD$ có:

$OA = OB$ (vì $O$ là trung điểm $AB$)

$OC = OD$ (vì $O$ là trung điểm $CD$)

$\widehat {AOC} = \widehat {BOD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AOC = \Delta BOD\,(c.g.c)$

$\Rightarrow AC = BD$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau).

Xét $\Delta AOC$ và $\Delta BOD$ có:

$OA = OB$ (vì $O$ là trung điểm $AB$)

$OC = OD$ (vì $O$ là trung điểm $CD$)

$\widehat {AOC} = \widehat {BOD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AOC = \Delta BOD\,(c.g.c)$

Xét $\Delta AOC$ và $\Delta BOD$ có:

$OA = OB$ (vì $O$ là trung điểm $AB$)

$OC = OD$ (vì $O$ là trung điểm $CD$)

$\widehat {AOC} = \widehat {BOD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AOC = \Delta BOD\,(c.g.c)$

Xét $\Delta DEF$ và $\Delta MNP$ có:

$DE = MN$

$\widehat E = \widehat N$

$EF = NP$

$\Rightarrow \Delta DEF = \Delta MNP$ (c.g.c).

$\Rightarrow \widehat M = \widehat D = {100^0}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta BDA$ và $\Delta BDE$ có:

$BA = BE\left( {gt} \right)$

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (do $BD$ là tia phân giác của $\widehat B$)

$BD$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta BDA = \Delta BDE$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {EDB}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

$BD$ là phân giác của $\widehat B$ nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\, = \dfrac{{\widehat B}}{2} = \dfrac{{{{50}^o}}}{2} = {25^o}$

$\Delta ABD$ vuông tại $A$ nên ta có $\widehat {{B_1}} + \widehat {ADB} = {90^o}$

$\Rightarrow \widehat {ADB} = {90^o} - \widehat {{B_1}} = {90^o} - {25^o} = {65^o}.$

Do đó $\widehat {ADB} = \widehat {EDB} = {65^o}$

Ta có $\widehat {ADB} + \widehat {EDB} + \widehat {EDC} = {180^o}$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat {EDC} = {180^o} - \left( {\widehat {ADB} + \widehat {EDB}} \right) = {180^o} - \left( {{{65}^o} + {{65}^o}} \right) = {50^o}$.

Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BE$.

Xét $\Delta AIB$ và $\Delta AIE$ có:

$AI$ cạnh chung

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (vì $AD$ là phân giác $\widehat A$)

$AB = AE$ (gt)

$\Rightarrow \Delta AIB = \Delta AIE\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {AIE}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow IB = IE$ (hai cạnh tương ứng)               (1)

Mặt khác $\widehat {AIB} + \widehat {AIE} = {180^o}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {AIE} = 1{80^o}:2 = {90^o}$

Do đó $AD \bot \,BE$                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AD$ là đường trung trực của $BE.$

Ta có $\widehat {ABH}$ là góc ngoài đỉnh $B$ của $\Delta ABD$ nên $\widehat {ABH} = \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = \widehat {BAD} + {90^o}$     (1)

$\widehat {KCA}$ là góc ngoài đỉnh $C$ của $\Delta ACE$ nên $\widehat {KCA} = \widehat {EAC} + \widehat {AEC} = \widehat {EAC} + {90^o}$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {KCA}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta KCA$ có:

$AB = KC\,(gt)$

$BH = CA\,(gt)$

$\widehat {ABH} = \widehat {KCA}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \Delta ABH = \Delta KCA\,(c.g.c)$

$\Rightarrow AH = AK$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau).

* Xét $\Delta OAD$ và $\Delta OBC$ có:

+ $OA = OB\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {AOD} = \widehat {BOC}$ (đối đỉnh)

+ $OD = OC\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta OAD = \Delta OBC\left( {c.g.c} \right)$

 $\Rightarrow \widehat {OAD} = \widehat {OBC}$  (hai góc tương ứng)

* Xét $\Delta OBF$ và $\Delta OAE$ có:

+ $OB = OA\,\left( {gt} \right)$

+ $\widehat {OBF} = \widehat {OAE}$ (cmt)

+ $BF = AE\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta OBF = \Delta OAE\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow OF = OE$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {BOF} = \widehat {AOE}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {BOF} + \widehat {FOA} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên $\widehat {AOE} + \widehat {FOA} = 180^\circ$

Suy ra ba điểm $F;\,O;E$ thẳng hàng và $OE = OF$ nên $O$ là trung điểm của $EF \Rightarrow EF = 2.OE = 2.5 = 10\,cm.$