Cho hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Lấy \(E;\,F\) lần lượt là điểm thuộc đoạn \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AE = BF.\) Cho \(OE = 5cm\), tính \(EF.\)

* Xét \(\Delta OAD\) và \(\Delta OBC\) có:

+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)

+ \(OD = OC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta OAD = \Delta OBC\left( {c.g.c} \right)\)

 \( \Rightarrow \widehat {OAD} = \widehat {OBC}\)  (hai góc tương ứng)

* Xét \(\Delta OBF\) và \(\Delta OAE\) có:

+ \(OB = OA\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {OBF} = \widehat {OAE}\) (cmt)

+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta OBF = \Delta OAE\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow OF = OE\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BOF} = \widehat {AOE}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BOF} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {AOE} + \widehat {FOA} = 180^\circ \)

Suy ra ba điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 2.5 = 10\,cm.\)