Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Do $\Delta ABD = \Delta KIH$ (theo câu trước), nên $\widehat K = \widehat A = 60^\circ$ (hai góc tương ứng bằng nhau).

Xét tam giác $ABD$  và tam giác $KIH$  có:

$AB = KI,AD = KH,DB = IH.$

Do đó $\Delta ABD = \Delta KIH$(c.c.c).

Xét tam giác $ABD$  và tam giác $KIH$  có:

$AB = KI,AD = KH,DB = IH.$

Do đó $\Delta ABD = \Delta KIH$(c.c.c).

Vì $\Delta ACB = \Delta BC'A\,$(ý trước) ta suy ra $\widehat {CAB} = \widehat {C'BA}$ và $\widehat {C'AB} = \widehat {CBA}$ (1)  (hai góc tương ứng bằng nhau)

Lại có $\widehat {CAB} = \widehat {CAC'} + \widehat {C'AB}$  và $\widehat {C'AB} = \widehat {CBC'} + \widehat {CBA}$  (tia làm giữa hai tia)

Suy ra $\widehat {CAC'} = \widehat {CAB} - \widehat {C'AB}$  và $\widehat {CBC'} = \widehat {C'BA} - \widehat {CBA}$  (2)

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {CAC'} = \widehat {CBC'}$.

Hai tam giác $ACB$ và $BC'A$ có

$AC = BC'$ (gt)

$BC = AC'$ (gt)

$AB$ là cạnh chung

Nên $\Delta ACB = \Delta BC'A\,\left( {c - c - c} \right).$

Suy ra $\widehat {BCA} = \widehat {BC'A}$  (hai góc tương ứng bằng nhau).

Nên A, B, C sai, D đúng.

Hai tam giác $ACB$ và $BC'A$ có

$AC = BC'$ (gt)

$BC = AC'$ (gt)

$AB$ là cạnh chung

Nên $\Delta ACB = \Delta BC'A\,\left( {c - c - c} \right).$

Suy ra $\widehat {BCA} = \widehat {BC'A}$  (hai góc tương ứng bằng nhau).

Nên A, B, C sai, D đúng.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ có:

$AB = AD\,\,(gt)$

$BC = DC\,\,(gt)$

$AC$ cạnh chung

 $\Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC\,\left( {c - c - c} \right).$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ có:

$AB = AC\left( {gt} \right)$

$AH$ cạnh chung

$BH = CH\,\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACH\,\left( {c.c.c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {ACH},\widehat {BAH} = \widehat {CAH},\widehat {AHB} = \widehat {AHC}$ (các góc tương ứng).

Vậy đáp án D là sai.

Xét $\Delta AEC$ và $\Delta BED$ có:

$AE = BE\,\,(gt)$

$CE = DE\,\,(gt)$

$AC = BD\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta AEC = \Delta BED\,\,\left( {c.c.c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {BED};\,\widehat {ACE} = \widehat {BDE}$ (các góc tương ứng)

Mặt khác hai góc $\widehat {ACE}$ và $\widehat {BDE}$ ở vị trí so le trong nên $AC//BD.$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:

$\begin{array}{l}AB = DE\,\,(gt)\\BC = EF\,\,(gt)\\AC = DF\,(gt)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta DEF\,$(c.c.c).

$\Rightarrow \widehat A = \widehat D = 45^\circ$ (hai góc tương ứng bằng nhau).

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:

$\begin{array}{l}AB = DE\,\,(gt)\\BC = EF\,\,(gt)\\AC = DF\,(gt)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta DEF\,$(c.c.c).

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:

$\begin{array}{l}AB = DE\,\,(gt)\\BC = EF\,\,(gt)\\AC = DF\,(gt)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta DEF\,$(c.c.c).

Từ bài ra ta có: $AC = DB = 6\,cm;\,AB = DC = 8\,cm.$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DCB$ có:

$AC = DB\,\left( {cmt} \right)$

$AB = DC\,\left( {cmt} \right)$

$BC$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta DCB\,\left( {c - c - c} \right).$

Xét $\Delta AIM$ và $\Delta AIN$ có:

$AM = AN\,\left( {gt} \right)$

$IM = IN$ (vì $I$ là trung điểm của $MN$)

$AI$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta AIM = \Delta AIN\,\left( {c - c - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {AIM} = \widehat {AIN}$ và $\widehat {AMI} = \widehat {ANI}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

Mặt khác $\widehat {AIM} + \widehat {AIN} = 180^\circ$  (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {AIM} = \widehat {AIN} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ .$  Hay $AI \bot MN.$

Vậy A, B, C đều đúng.

Xét $\Delta MKN$ và $\Delta MKP$ có:

$MN = MP\,\,(gt)$

$KN = KP$ (vì $K$ là trung điểm của $NP$)

$AK$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta MKN = \Delta MKP\,\,\left( {c - c - c} \right).$

$\Rightarrow \widehat {MNK} = \widehat {MPK}$ (hai góc tương ứng)

 Ta có: $\widehat {MNK} = \widehat {MPK}$ (cmt), xét $\Delta MNP$ có:

$\widehat {NMP} + \widehat {MPN} + \widehat {PNM} = {180^0}$ 

$\Rightarrow 2\widehat {MPN} + \widehat {NMP} = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat {MPN} = \left( {{{180}^0} - \widehat {NMP}} \right):2 = \left( {{{180}^0} - {{50}^0}} \right):2 = {65^0}.$

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ACE$ có:

$AD = AC\left( {gt} \right)$

$DE = CE$ (vì $E$ là trung điểm của $DC$)

$AE$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ADE = \Delta ACE\,\,(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {AEC}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).

Mặt khác $\widehat {AED} + \widehat {AEC} = {180^o}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {AEC} = {180^o}:2 = {90^o}$

Hay $AE\, \bot CD$      (1)

Theo đề bài $BK \bot CD$      (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE//BK$.

Xét $\Delta OAC$ và $\Delta OBC$ có:

$OA = OB = 3cm$

$OC$ cạnh chung

$AC = BC = 4cm$

$\Rightarrow \Delta OAC = \Delta OBC\,\,(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {AOC} = \widehat {BOC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {60^0}$ nên $\widehat {AOC} = \widehat {BOC} = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}.$

Vậy $\widehat {xOC} = {30^0}$.

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BCD$ có:

$AC = BC\,\,(gt)$

$AD = BD\,(gt)$

$CD$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ACD = \Delta BCD\,\,(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BCD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).

Do đó $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}.$

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BCD$ có:

$AC = BC\,\,(gt)$

$AD = BD\,(gt)$

$CD$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ACD = \Delta BCD\,\,(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BCD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).

Do đó $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}.$

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BCD$ có:

$AC = BC\,\,(gt)$

$AD = BD\,(gt)$

$CD$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ACD = \Delta BCD\,\,(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BCD}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).

Do đó $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}.$