Tia phân giác

Nếu  $\widehat {xOt} = \widehat {yOt}$ và tia $Ot$ nằm giữa hai tia $Ox;Oy$ thì tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên C sai, D đúng.

Vì tia $Ot$  là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ thì $\widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ$ 

Vì $On$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {xOn} = \widehat {nOy} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Vì tia $On$  là tia phân giác của $\widehat {mOt}$ nên $\widehat {mOn} = \widehat {nOt} = \dfrac{{\widehat {mOt}}}{2}$

$\Rightarrow \widehat {mOt} = 2.\widehat {mOn} = 2.70^\circ  = 140^\circ$.

Vì tia $OB$ là tia phân giác của góc $AOC$ nên $\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \dfrac{{\widehat {AOC}}}{2}$

Do đó $\widehat {AOC} = 2.\widehat {AOB} = 2.90^\circ  = 180^\circ$

Nên góc $AOC$ là góc bẹt.

Vì tia $OA$  là tia phân giác của $\widehat {BOC}$ nên ta có

$\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {BOC}}}{2}$ nên $\widehat {AOB} = 60^\circ ;\,\widehat {BOC} = 2.\widehat {AOC} = 2.60^\circ  = 120^\circ$

Vậy $\widehat {AOB} = 60^\circ ;\,\widehat {BOC} = 120^\circ$.

Vì $\widehat {AOB}$ và $\widehat {AOC}$ không kề nhau nên hai tia $OC;OB$ thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia $OA$. Lại có $\widehat {AOC} < \widehat {AOB}\,\left( {55^\circ  < 110^\circ } \right)$ nên tia $OC$ nằm giữa hai tia $OA$ và $OB.$ (1)

Từ đó $\widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB}\,$ hay $\widehat {COB} = \widehat {AOB} - \widehat {AOC} = 110^\circ  - 55^\circ  = 55^\circ$

Suy ra $\widehat {AOC} = \widehat {BOC} = 55^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $OC$ là tia phân giác góc $AOB.$

Vậy A, B, D đúng và C sai.

Vì $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ$ mà $\widehat {xOy} = 120^\circ$ nên $\widehat {yOz} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ$.

Lại có tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {yOz}$ nên $\widehat {zOt} = \dfrac{1}{2}\widehat {yOz} = \dfrac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ$

Lại có $\widehat {zOt};\,\widehat {tOx}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {zOt} + \widehat {tOx} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {tOx} = 180^\circ  - \widehat {zOt}$$= 180^\circ  - 30^\circ  = 150^\circ .$

Vậy $\widehat {tOx} = 150^\circ .$

Vì tia $OM$ là tia phân của góc $BOC$

nên $\widehat {BOC} = 2.\widehat {BOM} = 2.35^\circ  = 70^\circ$

Lại có tia $OC$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {AOB} = 2.\widehat {BOC} = 2.70^\circ  = 140^\circ$. Vậy $\widehat {AOB} = 140^\circ$.

Vì $Ot$  là tia phân giác của góc $xOx'$ nên

$\widehat {xOt} = \widehat {tOx'} = \dfrac{1}{2}\widehat {xOx'} = \dfrac{1}{2}{.70^o} = {35^o}$

Vì $Oy$  là tia đối của $Ox,Ot'$ là tia đối của $Ot$

$\Rightarrow \widehat {yOt'} = \widehat {xOt} = {35^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh).

Giả sử tia $On$ là tia phân giác của góc $yOm$ thì $\widehat {mOy} = 2.\widehat {yOn} = 2.70^\circ  = 140^\circ$.

Mà hai góc $\widehat {xOm};\widehat {yOm}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOm} + \widehat {yOm} = 180^\circ$$\Rightarrow \widehat {xOm} = 180^\circ  - \widehat {yOm}$ $= 180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ$.

Vậy $a = 40 ^\circ$.

Vì $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$ nên $OA$ và $OB$ là hai tia đối nhau, $OC$ và $OD$ là hai tia đối nhau.

Vì $OM$ là tia phân giác $\widehat {COA}$ nên $\widehat {AOM} = \widehat {COM} = \dfrac{{\widehat {COA}}}{2} = \dfrac{{60}}{2} = 30^\circ$

Mà $ON$ và $OM$ là hai tia đối nhau nên $\widehat {AOM}$ và $\widehat {BON}$ là hai góc đối đỉnh; $\widehat {COM}$ và $\widehat {DON}$ là hai góc đối đỉnh

Suy ra $\widehat {AOM} = \widehat {BON} = 30^\circ ;\widehat {COM} = \widehat {DON} = 30^\circ$ hay $\widehat {BON} = \widehat {DON} = 30^\circ .$

Vì hai góc kề bù $\widehat {AOB};\,\widehat {BOC}$ nên $\widehat {AOC} = 180^\circ$ hay $OA;OC$ là hai tia đối nhau.

Suy ra  hai góc $\widehat {MOC};\widehat {MOA}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {MOA} + \widehat {MOC} = 180^\circ$ mà $\widehat {MOC} = 5.\widehat {MOA}$ (gt)

Nên $\widehat {MOA} + 5.\widehat {MOA} = 180^\circ  \Rightarrow 6.\widehat {MOA} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {MOA} = 180^\circ :6 = 30^\circ$

Mà tia phân giác $OM$ của góc $BOA$ nên $\widehat {BOA} = 2.\widehat {MOA} = 2.30^\circ  = 60^\circ$

Lại có hai góc kề bù $\widehat {AOB};\,\widehat {BOC}$ nên $\widehat {AOB} + \,\widehat {BOC} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {BOC} = 180^\circ  - \widehat {AOB} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ$

Vậy $\widehat {BOC} = 120^\circ$.