Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương

Ta có $AC'$  cắt $DB'$ vì $AD$  // $B'C'$ , $AD = B'C'$ nên  $ADC'B'$ là hình bình hành, do đó $AC'$  cắt $DB'$ nên A đúng.

 $AC'$  không cắt $BC$  vì chúng không có điểm chung  nên B sai.

$AB$  và $CD$  song song nên chúng không cắt nhau nên D sai.

$AC$ và $BD$ cắt nhau nên C sai.

Hình hộp chữ nhật gồm $6$  mặt:

$\left( {ADD'A'} \right);\,\left( {DCC'D'} \right);\left( {BCC'B'} \right);\,\left( {ABB'A'} \right);\,\left( {ABCD} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)$

Hình hộp chữ nhật có $12$ cạnh:

 $\begin{array}{l}AB;BC;CD;DA;A'B';C'D';\\B'C';D'A';AA';BB';CC';DD'\end{array}$

Nên C sai.

Mặt phẳng chứa đường thẳng $A'B$ và $CD'$ là mặt phẳng đi qua bốn điểm $A',\,B,\,C,\,D'$ hay chính là  $mp \left( {A'BCD'} \right).$

Các cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật $AA' = BB' = CC' = DD'$ ; $AB = DC = A'B' = D'C'$ ;

$AA' = BB' = CC' = DD'$ .

Nên D sai.

Có bốn cạnh cắt $AB$ là $AD,AA',BC,BB'.$

Có ba cạnh song song với $AB$ là $A'B',CD,C'D'$ .

Có $3$ cặp mặt phẳng song song là mp $\left( {ABB'A'} \right)$ và mp $\left( {DCC'D'} \right)$ ; mp $\left( {ABCD} \right)$ và mp $\left( {A'B'C'D'} \right)$; mp $\left( {ADD'A'} \right)$ và mp $\left( {BCC'B'} \right)$

Vì $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm $AA',{\rm{ }}BB',{\rm{ }}CC',{\rm{ }}DD'$ nên $KM = IN;\,KM{\rm{//}}IN$

Suy ra bốn điểm $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Lại có $KM{\rm{//}}AD{\rm{//}}A'D'$ nên  mp $\left( {MNIK} \right)$// mp $\left( {ABCD} \right)$ và mp $\left( {MNIK} \right)$// mp $\left( {A'B'C'D'} \right)$

Ta thấy mp $\left( {MNIK} \right)$ và mp $\left( {ABB'A'} \right)$ cắt nhau theo đường thẳng $MN$ nên chúng không song song.

Gọi $O$  là giao điểm của $AC$  và $BD$ . Ta có $O \in AC$ nên $O \in {\rm{mp}}\left( {ACC'A'} \right)$, $O \in BD$ nên $O \in {\rm{mp}}\left( {BDD'B'} \right)$, do đó $O$  thuộc cả hai mặt phẳng trên. (1)

Gọi $O'$  là giao điểm của $A'C'$  và  $B'D'$ .

Chứng minh tương tự, $O'$  thuộc cả hai mặt phẳng trên.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và mp $\left( {BDD'B'} \right)$ cắt nhau theo đường thẳng $OO'$ .

Các tam giác $ABC,ABB',CBB'$ vuông cân nên $AC = AB' = B'C$ .

Tam giác $AB'C$  có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra $\widehat {AB'C} = {60^0}$ .

Diện tích phải sơn một mặt của hình hộp tăng thêm $216:6 = 36\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là $x\,\left( {cm} \right)$ , $x > 0$

Phương trình ${\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2} = 36$

$\Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - {x^2} = 36$

$\Leftrightarrow 4x = 32$

 $\Leftrightarrow x = 8$  (TM )

 Độ dài cạnh của chiếc hộp bằng $8cm$ .