Số thực

Số thực bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ nên \(R = I \cup Q\) từ đó suy ra \(I \subset R\).

Ta có:

- Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn tuần hoàn hoặc vô hạn tuần hoàn.

- Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Suy ra \(I \cap Q = \emptyset \).

Do đó cả A, B, C đều đúng.

Do \(R = I \cup Q\) suy ra \(R \cap Q = Q\).

Áp dụng so sánh hai số nguyên âm ta thấy \( - 11,29 <  - 11,09\) và \( - 11,29 <  - 11,19\). Do đó ô trống cần điền có thể là số \(0\) hoặc \(1.\)

Ta chia các số đã cho thành hai nhóm: \(\dfrac{{ - 1}}{5};\dfrac{{ - 1}}{4}\)  và \(\dfrac{1}{3};\,0,5;\sqrt 5 ;2\).

Nhóm 1: vì \(5 > 4\) nên \(\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{4}\) suy ra \(\dfrac{{ - 1}}{5} > \dfrac{{ - 1}}{4}.\)

Nhóm 2: Ta có \(0,5 = \dfrac{1}{2}\)

Vì \(3 > 2\) nên \(\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}\)

Vì \(4 < 5\) nên \(\sqrt 4  = 2 < \sqrt 5 \)

Vì \(\dfrac{1}{2} < 1\)  và \(2 > 1\) nên \(\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} < 2 < \sqrt 5 .\)

Vậy ta có dãy số tăng dần là: \(\dfrac{{ - 1}}{4} < \dfrac{{ - 1}}{5} < \dfrac{1}{3} < 0,5 < 2 < \sqrt 5 \).

Ta có: \({x^2} = 11 \Leftrightarrow {x^2} = {\left( { \pm \sqrt {11} } \right)^2}\). Suy ra \(x = \sqrt {11} \) hoặc \(x =  - \sqrt {11} \).

\(\begin{array}{l}{\left( { - 2} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}.9 - \left| { - 1,25} \right| + \sqrt {\dfrac{{25}}{{81}}} :\left( { - 1\dfrac{1}{3}} \right)\\ = 4 + \dfrac{1}{{27}}.9 - 1,25 + \dfrac{5}{9}:\dfrac{{ - 4}}{3}\\ = 4 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{4} + \dfrac{{ - 5}}{{12}}\\ = \dfrac{{48}}{{12}} + \dfrac{4}{{12}} - \dfrac{{15}}{{12}} + \dfrac{{ - 5}}{{12}} = \dfrac{{32}}{{12}} = \dfrac{8}{3}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \sqrt {\dfrac{9}{{16}}}  + 0,\left( 3 \right) + \dfrac{1}{{2020}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{ - 1}}{3}\\M = \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{9} + \dfrac{1}{{2020}} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{ - 1}}{3}\\M = \left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{{ - 1}}{3}} \right) + \dfrac{1}{{2020}}\\M = 1 + 0 + \dfrac{1}{{2020}}\\M = \dfrac{{2020}}{{2020}} + \dfrac{1}{{2020}} = \dfrac{{2021}}{{2020}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}N = \dfrac{{25}}{4} - \dfrac{3}{8}:0,75 + \dfrac{1}{8}.\sqrt {{4^2}}  - \left| { - 5} \right|\\N = \dfrac{{25}}{4} - \dfrac{3}{8}:\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8}.4 - 5\\N = \dfrac{{25}}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 5\\N = \left( { - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} \right) + \dfrac{{25}}{4} - 5\\N = 0 + \dfrac{{25}}{4} - 5\\N = \dfrac{{25}}{4} - \dfrac{{20}}{4} = \dfrac{5}{4}\end{array}\)

\(M + N = \dfrac{{2021}}{{2020}} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{{2021}}{{2020}} + \dfrac{{2525}}{{2020}} = \dfrac{{4546}}{{2020}} = \dfrac{{2273}}{{1010}}\).

Ta có: \(8,75 - \left[ {\left( { - 2,76} \right) + 6,5 - \dfrac{7}{2} + \left( { + 5,5} \right)} \right] = 8,75 - \left[ {3,74 - 3,5 + \left( { + 5,5} \right)} \right]\)\(\, = 8,75 - \left[ {0,24 + \left( { + 5,5} \right)} \right] = 8,75 - 5,74 = 3,01\).

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5}:x = 0,4\\\dfrac{1}{5}:x = \dfrac{1}{5} - 0,4\\\dfrac{1}{5}:x = \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}\\\dfrac{1}{5}:x = \dfrac{{ - 1}}{5}\\x = \dfrac{1}{5}:\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} \right)\\x =  - 1\end{array}\).

\(\begin{array}{l}\sqrt {2,25} .x + 2.\left( {0,5x - \sqrt {\dfrac{{121}}{9}} } \right) = \dfrac{{11}}{3}\\1,5x + 2.\left( {0,5x - \dfrac{{11}}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{3}\\1,5x + 2.0,5x - 2.\dfrac{{11}}{3} = \dfrac{{11}}{3}\\1,5x + x - \dfrac{{22}}{3} = \dfrac{{11}}{3}\\x\left( {1,5 + 1} \right) = \dfrac{{11}}{3} + \dfrac{{22}}{3}\\2,5x = \dfrac{{33}}{3}\\2,5x = 11\\x = 11:2,5\\x = 4,4\end{array}\).

\(\begin{array}{l}\left| {\dfrac{3}{4} - 5\sqrt x } \right| + 0,6 = \dfrac{3}{{10}}\\\left| {\dfrac{3}{4} - 5\sqrt x } \right| + \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{{10}}\\\left| {\dfrac{3}{4} - 5\sqrt x } \right| = \dfrac{3}{{10}} - \dfrac{6}{{10}}\\\left| {\dfrac{3}{4} - 5\sqrt x } \right| = \dfrac{{ - 3}}{{10}}\end{array}\)

Vì \(\left| {\dfrac{3}{4} - 5\sqrt x } \right| \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\begin{array}{l}\left( {10,22:0,7} \right)x:0,001 - \dfrac{{12}}{5} = 12,2.\\14,6x:0,001 - 2,4 = 12,2\\14,6x:0,001 = 12,2 + 2,4\\14,6x:0,001 = 14,6\\14,6x = 14,6.0,001\\x = \dfrac{{14,6.0,001}}{{14,6}}\\x = 0,001\end{array}\)

Ta có: \(D = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}} = \dfrac{{2\sqrt x  + 6 - 7}}{{\sqrt x  + 3}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right) - 7}}{{\sqrt x  + 3}} = 2 - \dfrac{7}{{\sqrt x  + 3}}\)

Để \(D \in Z\) thì \(\dfrac{7}{{\sqrt x  + 3}}\) phải thuộc Z do đó \(\sqrt x  + 3\) là ước của \(7\). Vì \(\left( {\sqrt x  + 3} \right) > 0\) nên chỉ có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\sqrt x  + 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 2\) (vô lý)

Trường hợp 1: \(\sqrt x  + 3 = 7 \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 16\) thì \(D \in Z\) (khi đó \(D = 1\)).

Ta thấy số nguyên, phân số hay số vô tỉ đều là số thực

Số thực bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ. Tuy nhiên nếu số thực mà là số hữu tỉ thì sẽ khác số vô tỉ. Do đó phát biểu mọi số thực đều là số vô tỉ là sai.

Do \(R = I \cup Q\) do đó $R \cap I = I$

Áp dụng so sánh hai số nguyên âm ta thấy chỉ có $ - 5,07 <  - 5,04$ . Do đó ô trống cần điền là số $0$

Ta chia các số đã cho thành hai nhóm: \( - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{3}{4}; - \sqrt 2  - \dfrac{3}{4}\)  và \(0,5;\dfrac{4}{5}\).

Nhóm 1: vì \(\dfrac{3}{4} < \sqrt 2  + \dfrac{3}{4}\) nên \( - \dfrac{3}{4} >  - \left( {\sqrt 2  + \dfrac{3}{4}} \right) =  - \sqrt 2  - \dfrac{3}{4}\).

Lại có \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} < \dfrac{3}{4} \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} >  - \dfrac{3}{4}\)  nên \( - \sqrt 2  - \dfrac{3}{4} <  - \dfrac{3}{4} <  - \dfrac{1}{2}\).

Nhóm 2: \(0,5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{{10}} < \dfrac{8}{{10}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow 0,5 < \dfrac{4}{5}\).

Vậy ta có dãy số tăng dần là  \( - \sqrt 2 - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{1}{2};0,5;\dfrac{4}{5}\).

Ta có \({x^2} = 7 \Leftrightarrow {x^2} = {\left( { \pm \sqrt 7 } \right)^2}\).

Suy ra \(x = \sqrt 7 \) hoặc \(x =  - \sqrt 7 \)

\(\left( {\sqrt {\dfrac{9}{{25}}}  - 2.9} \right):\left( {\dfrac{4}{5} + 0,2} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{3}{5} - 18} \right):\left( {\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{3}{5} - 18} \right):\left( {\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5}} \right) \)

\(= \left( {\dfrac{3}{5} - \dfrac{{90}}{5}} \right):\dfrac{5}{5} \)

\(= \dfrac{{ - 87}}{5}:1 = \dfrac{{ - 87}}{5}\)