Đại lượng tỉ lệ nghịch

Xét các tích giá trị của $x$ và $y$ ta được: $5.2 = \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)$$= 10.1 = 2.5$$= 4.2,5 = 10$

Nên $y$ và $x$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu đại lượng $x$ liên hệ với đại lượng $y$ theo công thức $x = \dfrac{b}{y}$ thì ta nói $x$ tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $b.$ 

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và $y = \dfrac{5}{x}$ nên hệ số tỉ lệ $a = 5$, do đó ${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = 5$.

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có $6.7 = 3.y \Rightarrow y = \dfrac{{42}}{3} = 14.$

Vì và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và $x=-2$ thì $y = 8$

Nên hệ số tỉ lệ là $a = x.y = \left( { - 2} \right).\dfrac{1}{8} = \dfrac{{ - 1}}{4}.$

Công thức biểu diễn $y$ theo $x$ là $y = \dfrac{{ - 1}}{{4x}}.$

Vậy $a = \dfrac{{ - 1}}{4};y = \dfrac{{ - 1}}{{4x}}.$

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}$ mà ${x_1} = 2,{x_2} = 5$ và ${y_1} + {y_2} = 21$

Do đó $2{y_1} = 5{y_2} \Rightarrow \dfrac{{{y_1}}}{5} = \dfrac{{{y_2}}}{2}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{{{y_1}}}{5} = \dfrac{{{y_2}}}{2} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{5 + 2}} = \dfrac{{21}}{7} = 3$

Do đó $\dfrac{{{y_1}}}{5} = 3 \Rightarrow {y_1} = 15$; $\dfrac{{{y_2}}}{2} = 3 \Rightarrow {y_2} = 6$

Vậy ${y_1} = 15.$

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}$ mà ${x_2} =  - 3,{y_1} = 8$ và $4{x_1} + 3{y_2} = 24$

Nên ta có ${x_1}.8 = \left({ - 3} \right).{y_2}$ $\Rightarrow \dfrac{{{x_1}}}{{ - 3}} = \dfrac{{{y_2}}}{8} = \dfrac{{4{x_1} + 3{y_2}}}{{4.\left({ - 3} \right) + 3.8}} = \dfrac{{24}}{{12}} = 2$

Do đó $\dfrac{{{x_1}}}{{ - 3}} = 2 \Rightarrow {x_1} =  - 6$ và $\dfrac{{{y_2}}}{8} = 2 \Rightarrow {y_2} = 16$

Vậy ${x_1} =  - 6;{y_2} = 16.$

Từ bài ra ta có: $v.t = 100 \Rightarrow v = \dfrac{{100}}{t};\,t = \dfrac{{100}}{v}$

Nên $v$ và $t$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ $100.$ 

Gọi thời gian $21$ công nhân làm một công việc đó là $x\left( {x > 0} \right)$ (giờ)

Vì cùng một công việc thì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

$7.12 = x.21$ $\Rightarrow 21x = 84 \Rightarrow x = 4$ giờ.

Vậy $21$ công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong $4$ giờ.

Vì $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $- 4$ nên $y = \dfrac{{ - 4}}{x}$

Và $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{3}{4}$ nên $x = \dfrac{3}{{4z}}$

Thay $x = \dfrac{3}{{4z}}$ vào $y = \dfrac{{ - 4}}{x}$ ta được $y = \dfrac{{ - 4}}{{\dfrac{3}{{4z}}}} = \dfrac{{ - 16}}{3}z$ .

Nên $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{{ - 16}}{3}.$

Đổi $3$ giờ $30$ phút $= 3,5$ giờ.

Gọi thời gian xe máy chạy A đến B với vận tốc $35$ km/h là $x\,\left( {x > 0} \right)$ (giờ)

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có $40.3,5 = 35.x \Rightarrow 35x = 140 \Rightarrow x = 4$ giờ.

Vậy thời gian cần tìm là $4$ giờ.

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có: $x.3 = y.5 = z.4$ và $z - y = 3$

Suy ra $\dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}$. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{z - y}}{{5 - 4}} = \dfrac{3}{1} = 3$

Do đó $y = 12;z = 15$.

Vậy đội thứ hai có $12$ máy.

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi giảm $12$ công nhân là $x\,\left( {x > 9} \right)$ (giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu giảm $12$ công nhân thì số công nhân sau khi giảm là $30 - 12 = 18$ công nhân.

Theo bài ra ta có

$30.9 = 18.x \Rightarrow 18x = 270 \Rightarrow x = 15$ giờ.

Do đó thời gian hoàn thành công việc tăng thêm $15 - 9 = 6$ giờ.

Gọi ${v_1};{v_2}$ lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai. (km/giờ) $\left( {{v_1};{v_2} > 0} \right)$

Gọi ${t_1};{t_2}$ lần lượt là thời gian của xe thứ nhất và xe thứ hai. (giờ) $\left( {{t_1};{t_2} > 0} \right)$

Từ đề bài ta có ${v_1} = \dfrac{{120}}{{100}}{v_2} \Rightarrow {v_1} = \dfrac{6}{5}{v_2}$ và ${t_2} = {t_1} + 2$

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

${v_1}.{t_1} = {v_2}.{t_2} \Rightarrow \dfrac{6}{5}{v_2}.{t_1} = {v_2}.\left( {{t_1} + 2} \right)$$\Rightarrow \dfrac{6}{5}{v_2}.{t_1} = {v_2}.{t_1} + 2{v_2}$

$\Rightarrow \dfrac{6}{5}{v_2}.{t_1} - {v_2}.{t_1} = 2{v_2} \Rightarrow \dfrac{1}{5}{v_2}.{t_1} = 2{v_2}$

Mà ${v_2} > 0$ nên ${t_1} = \dfrac{{2{v_2}}}{{\dfrac{1}{5}{v_2}}} = 10$ (giờ).

Vậy thời gian xe máy thứ hai đi từ A đến B là ${t_2} = 10 + 2 = 12$ giờ.

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$ ($a\ne 0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$  theo hệ số tỉ lệ $a.$ 

Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $a$  thì:

${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a$

$\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \dfrac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...$

Xét các tích giá trị của $x$ và $y,$ ta được:

$10.10 = 20.5$$= 25.4 = 30.\dfrac{{10}}{3}$$= 40.2,5 = 100$

Nên $y$ và $x$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có $7.4 = 5.y \Rightarrow y = \dfrac{{28}}{5} = 5,6.$

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và $x =  - \dfrac{1}{2}$ thì $y = 8$

Nên hệ số tỉ lệ là $a = x.y = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right).8 =  - 4$

Công thức biểu diễn $y$ theo $x$ là $y = \dfrac{{ - 4}}{x}$

Vậy $a =  - 4;y = \dfrac{{ - 4}}{x}.$

Vì  $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch  nên${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}$ mà ${x_1} = 4,{x_2} = 3$ và ${y_1} + {y_2} = 14$

Do đó $4{y_1} = 3{y_2} \Rightarrow \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{3 + 4}} = \dfrac{{14}}{7} = 2$

Do đó $\dfrac{{{y_1}}}{3} = 2 \Rightarrow {y_1} = 6$; $\dfrac{{{y_2}}}{4} = 2 \Rightarrow {y_2} = 8$

Vậy ${y_2} = 8.$