Đại lượng tỉ lệ nghịch

Xét các tích giá trị của \(x\) và \(y\) ta được: \(5.2 = \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)\)\( = 10.1 = 2.5\)\( = 4.2,5 = 10\)

Nên \(y\) và \(x\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu đại lượng \(x\) liên hệ với đại lượng \(y\) theo công thức \(x = \dfrac{b}{y}\) thì ta nói \(x\) tỉ lệ nghịch với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(b.\) 

\(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và \(y = \dfrac{5}{x}\) nên hệ số tỉ lệ \(a = 5\), do đó \({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = 5\).

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có \(6.7 = 3.y \Rightarrow y = \dfrac{{42}}{3} = 14.\)

Vì và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và $x=-2$ thì \(y = 8\)

Nên hệ số tỉ lệ là \(a = x.y = \left( { - 2} \right).\dfrac{1}{8} = \dfrac{{ - 1}}{4}.\)

Công thức biểu diễn \(y\) theo \(x\) là \(y = \dfrac{{ - 1}}{{4x}}.\)

Vậy \(a = \dfrac{{ - 1}}{4};y = \dfrac{{ - 1}}{{4x}}.\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}\) mà \({x_1} = 2,{x_2} = 5\) và \({y_1} + {y_2} = 21\)

Do đó \(2{y_1} = 5{y_2} \Rightarrow \dfrac{{{y_1}}}{5} = \dfrac{{{y_2}}}{2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{{{y_1}}}{5} = \dfrac{{{y_2}}}{2} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{5 + 2}} = \dfrac{{21}}{7} = 3\)

Do đó \(\dfrac{{{y_1}}}{5} = 3 \Rightarrow {y_1} = 15\); \(\dfrac{{{y_2}}}{2} = 3 \Rightarrow {y_2} = 6\)

Vậy \({y_1} = 15.\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}\) mà \({x_2} =  - 3,{y_1} = 8\) và \(4{x_1} + 3{y_2} = 24\)

Nên ta có \({x_1}.8 = \left({ - 3} \right).{y_2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{{x_1}}}{{ - 3}} = \dfrac{{{y_2}}}{8} = \dfrac{{4{x_1} + 3{y_2}}}{{4.\left({ - 3} \right) + 3.8}} = \dfrac{{24}}{{12}} = 2\)

Do đó \(\dfrac{{{x_1}}}{{ - 3}} = 2 \Rightarrow {x_1} =  - 6\) và \(\dfrac{{{y_2}}}{8} = 2 \Rightarrow {y_2} = 16\)

Vậy \({x_1} =  - 6;{y_2} = 16.\)

Từ bài ra ta có: \(v.t = 100 \Rightarrow v = \dfrac{{100}}{t};\,t = \dfrac{{100}}{v}\)

Nên \(v\) và \(t\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ \(100.\) 

Gọi thời gian \(21\) công nhân làm một công việc đó là \(x\left( {x > 0} \right)\) (giờ)

Vì cùng một công việc thì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

\(7.12 = x.21\) \( \Rightarrow 21x = 84 \Rightarrow x = 4\) giờ.

Vậy \(21\) công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong \(4\) giờ.

Vì \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \( - 4\) nên \(y = \dfrac{{ - 4}}{x}\)

Và \(x\) tỉ lệ nghịch với \(z\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{3}{4}\) nên \(x = \dfrac{3}{{4z}}\)

Thay \(x = \dfrac{3}{{4z}}\) vào \(y = \dfrac{{ - 4}}{x}\) ta được \(y = \dfrac{{ - 4}}{{\dfrac{3}{{4z}}}} = \dfrac{{ - 16}}{3}z\) .

Nên \(y\) tỉ lệ thuận với \(z\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{{ - 16}}{3}.\)

Đổi \(3\) giờ \(30\) phút \( = 3,5\) giờ.

Gọi thời gian xe máy chạy A đến B với vận tốc \(35\) km/h là \(x\,\left( {x > 0} \right)\) (giờ)

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có \(40.3,5 = 35.x \Rightarrow 35x = 140 \Rightarrow x = 4\) giờ.

Vậy thời gian cần tìm là \(4\) giờ.

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có: \(x.3 = y.5 = z.4\) và \(z - y = 3\)

Suy ra \(\dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{z - y}}{{5 - 4}} = \dfrac{3}{1} = 3\)

Do đó \(y = 12;z = 15\).

Vậy đội thứ hai có \(12\) máy.

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi giảm \(12\) công nhân là \(x\,\left( {x > 9} \right)\) (giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu giảm \(12\) công nhân thì số công nhân sau khi giảm là \(30 - 12 = 18\) công nhân.

Theo bài ra ta có

\(30.9 = 18.x \Rightarrow 18x = 270 \Rightarrow x = 15\) giờ.

Do đó thời gian hoàn thành công việc tăng thêm \(15 - 9 = 6\) giờ.

Gọi \({v_1};{v_2}\) lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai. (km/giờ) \(\left( {{v_1};{v_2} > 0} \right)\)

Gọi \({t_1};{t_2}\) lần lượt là thời gian của xe thứ nhất và xe thứ hai. (giờ) \(\left( {{t_1};{t_2} > 0} \right)\)

Từ đề bài ta có \({v_1} = \dfrac{{120}}{{100}}{v_2} \Rightarrow {v_1} = \dfrac{6}{5}{v_2}\) và \({t_2} = {t_1} + 2\)

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\({v_1}.{t_1} = {v_2}.{t_2} \Rightarrow \dfrac{6}{5}{v_2}.{t_1} = {v_2}.\left( {{t_1} + 2} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{6}{5}{v_2}.{t_1} = {v_2}.{t_1} + 2{v_2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{6}{5}{v_2}.{t_1} - {v_2}.{t_1} = 2{v_2} \Rightarrow \dfrac{1}{5}{v_2}.{t_1} = 2{v_2}\)

Mà \({v_2} > 0\) nên \({t_1} = \dfrac{{2{v_2}}}{{\dfrac{1}{5}{v_2}}} = 10\) (giờ).

Vậy thời gian xe máy thứ hai đi từ A đến B là \({t_2} = 10 + 2 = 12\) giờ.

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức \(y = \dfrac{a}{x}\) ($a\ne 0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$  theo hệ số tỉ lệ $a.$ 

Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a\)  thì:

\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\)

\(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \dfrac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...\)

Xét các tích giá trị của $x$ và \(y,\) ta được:

\(10.10 = 20.5\)\( = 25.4 = 30.\dfrac{{10}}{3}\)\( = 40.2,5 = 100\)

Nên $y$ và $x$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có \(7.4 = 5.y \Rightarrow y = \dfrac{{28}}{5} = 5,6.\)

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và \(x =  - \dfrac{1}{2}\) thì \(y = 8\)

Nên hệ số tỉ lệ là \(a = x.y = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right).8 =  - 4\)

Công thức biểu diễn \(y\) theo \(x\) là \(y = \dfrac{{ - 4}}{x}\)

Vậy \(a =  - 4;y = \dfrac{{ - 4}}{x}.\)

Vì  \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch  nên\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}\) mà \({x_1} = 4,{x_2} = 3\) và \({y_1} + {y_2} = 14\)

Do đó \(4{y_1} = 3{y_2} \Rightarrow \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{3 + 4}} = \dfrac{{14}}{7} = 2\)

Do đó \(\dfrac{{{y_1}}}{3} = 2 \Rightarrow {y_1} = 6\); \(\dfrac{{{y_2}}}{4} = 2 \Rightarrow {y_2} = 8\)

Vậy \({y_2} = 8.\)