Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

+ Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $EK$ cắt $EK$ tại $F$

Khi đó ta có $ABFE$ là hình vuông nên $\widehat {ABF} = 90^\circ$ và $AB = BF$

Lại có $AB = BH$ (ý trước) nên $BH = BF$

Xét hai tam giác vuông $BHK$ và $BFK$ có $BH = BF\left( {cmt} \right);\,BK$ cạnh chung

Nên $\Delta BHK = \Delta BFK\left( {ch - cgv} \right)$$\Rightarrow \widehat {FBK} = \widehat {HBK}$

Lại có $\widehat {ABD} = \widehat {DBH}$  (do $BD$ là phân giác góc $\widehat {ABC}$ )

Nên $\widehat {DBH} + \widehat {HBK} = \widehat {ABD} + \widehat {KBF} = \dfrac{{\widehat {DBH} + \widehat {HBK} + \widehat {ABD} + \widehat {KBF}}}{2}$$\dfrac{{\widehat {ABF}}}{2} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Mà Vậy $\widehat {DBK} = \widehat {DBH} + \widehat {HBK} = 45^\circ .$

Xét hai tam giác vuông $BAD$ và $BHD$ có $\widehat A = \widehat H = 90^\circ ;\,\widehat {ABD} = \widehat {HBD}$  (vì $BD$ là tia phân giác góc $B$) và cạnh $BD$ chung

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)$ $\Rightarrow BA = BH$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $BAD$ và $BHD$ có $\widehat A = \widehat H = 90^\circ ;\,\widehat {ABD} = \widehat {HBD}$  (vì $BD$ là tia phân giác góc $B$) và cạnh $BD$ chung

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)$ $\Rightarrow BA = BH$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có: tam giác $DEF$ và tam giác $JIK$ có $EF = IK;\,\widehat D = \widehat J = 90^\circ$ mà $EF;IK$ là hai cạnh huyền của hai tam giác $DEF$ và $JIK$ nên để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông thì ta cần thêm hai cạnh góc vuông bằng nhau là $DE = JI$ hoặc $DF = JK$.

Ta có: $\,\widehat Q = \widehat U$ mà $\widehat Q$  và $\widehat U$ là hai góc nhọn của hai tam giác $PQR$ và $TUV$. 

Do đó, để tam giác vuông $PQR$ và tam giác vuông $TUV$ bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề thì cần cặp cạnh góc vuông kề với hai góc nhọn $\widehat Q$ và $\widehat U$ của hai tam giác này bằng nhau, tức là bổ sung thêm điều kiện $PQ = TU.$

Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $EDF$ có:

$\widehat B = \widehat D = {90^0}$

$\widehat A = \widehat E\,(gt)$

$AC = EF\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta EDF$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AB = ED = 5cm$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $MNP$ và $KHI$ có:

$\widehat M = \widehat K = 90^\circ$

$\,NP = HI\,(gt)$

$MN = KH\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta MNP = \Delta KHI$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$, ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow B{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225\\ \Rightarrow BC = \sqrt {225}  = 15\,\left( {cm} \right)\end{array}$

Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $DEF$ có:

$\begin{array}{l}AB = DE\;\;\left( {gt} \right)\\\,\widehat B = \widehat E\;\;\left( {gt} \right)\\\,\widehat A = \widehat D = {90^0}\end{array}$ 

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta DEF$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

$\Rightarrow BC = EF = 15\,cm$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau).

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $\Delta DEF$, ta có:

$\widehat D + \widehat E + \widehat F = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat E = {180^o} - \left( {\widehat D + \widehat F} \right)$

$\Rightarrow \widehat E = {180^o} - \left( {{{90}^o} + {{55}^o}} \right) = {35^o}$

Xét hai tam giác vuông $DEF$ và $HKI$ có:

$\begin{array}{l}\widehat D = \widehat H = {90^0}\\\widehat F = \widehat I\;\;\left( {gt} \right)\\DF = HI\;\;\left( {gt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta DEF = \Delta HKI$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

$\Rightarrow \widehat E = \widehat K = 35^\circ$ (hai góc tương ứng).

Vì tam giác $CDE$ cân tại $D$ (do $DC = DE$) nên $\widehat {DCE} = \widehat {DEC}$  (tính chất tam giác cân)   (1)

Lại có $\widehat {DCA} + \widehat {DCE} = 180^\circ$ và $\widehat {DEB} + \widehat {DEC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat {DCA} = 180^\circ  - \widehat {DCE}$; $\widehat {DEB} = 180^\circ  - \widehat {DEC}$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {DCA} = \widehat {DEB}.$

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BED$ có:

$DC = DE\,\, (gt)$

$\widehat {DCA} = \widehat {DEB}\left( {cmt} \right)$

$\widehat {{D_2}} = \widehat {{D_1}}\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta ACD = \Delta BED\,\,(g.c.g)$

$\Rightarrow AD = BD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $DCF$ và $DEG$ có:

 $\widehat {CFD} = \widehat {EGD} = 90^\circ$

$DC = DE\,(gt)$

$\widehat {{D_2}} = \widehat {{D_1}}\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta DCF = \Delta DEG$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Ta có: $\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\,\,(gt)$

$\Rightarrow \widehat {{D_1}} + \widehat {CDE} = \widehat {{D_2}} + \widehat {CDE}$

$\Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {ADE}$

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta BDC$ có:

$DE = DC\,\,(gt)$

$\widehat {ADE} = \widehat {BDC}\,\,(cmt)$

$\widehat {AED} = \widehat {BCD}$ (vì $\Delta CDE$ cân tại $D$)

$\Rightarrow \Delta ADE = \Delta BDC\,\,(g.c.g)$

Do đó đáp án D sai.

$\Delta ABC$ cân tại $A$, suy ra $AB = AC;\,\,\widehat B = \widehat C$.

Xét hai tam giác vuông $AHB$ và $AHC$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^o}$

$AB = AC\,\,(cmt)$

$\widehat B = \widehat C\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC\,$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác: $\widehat {BAH} + \widehat {CAH} = \widehat {BAC}$ suy ra $\widehat {BAH} = \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{50}^o}}}{2} = {25^o}.$

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$  (tính chất)

Lại có: $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ$ (vì $\Delta ABH$ vuông tại $H$) và $\widehat {CAH} + \widehat {BAH} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {CAK}$ (cùng phụ với $\widehat {BAH}$).

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAK$ có:

$AB = CA\,\,(cmt)$

$\widehat {AHB} = \widehat {CKA} = {90^o}$

$\widehat {ABH} = \widehat {CAK}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta ABH = \Delta CAK$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow BH = AK$ (hai cạnh tương ứng). 

Do đó $B{H^2} + C{K^2} = A{K^2} + C{K^2}\,\,\left( 1 \right)$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ACK$ có:  $A{K^2} + C{K^2} = A{C^2}\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $B{H^2} + C{K^2} = A{C^2} = {8^2} = 64$.

Sử dụng kết quả câu trước $\Delta ABE = \Delta ACF$ nên $BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $BME$ và $CNF$ có:

$\widehat {BEM} = \widehat {CFN} = {90^o}$

$BE = CF\,\,(cmt)$

$MB = NC\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta BME = \Delta CNF$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Sử dụng kết quả câu trước ta có $\Delta ABM = \Delta ACN\,\,$ suy ra $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $ABE$ và $ACF$ có:

$\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = {90^o}$

$AB = AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC,\,\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$     (1)

Mặt khác: $\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = {180^o}$ (kề bù)      (2)

                 $\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = {180^o}$ (kề bù)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {ABM} = \widehat {ACN}$.

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:

$AB = AC\,\,(cmt)$

$\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\,\,(cmt)$

$BM = CN\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACN\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow AM = AN$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại $A.$

$\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC,\,\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$     (1)

Mặt khác: $\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = {180^o}$ (kề bù)      (2)

                 $\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = {180^o}$ (kề bù)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {ABM} = \widehat {ACN}$.

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:

$AB = AC\,\,(cmt)$

$\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\,\,(cmt)$

$BM = CN\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACN\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow AM = AN$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại $A.$

Xét hai tam giác vuông $BAD$ và $BHD$ có $\widehat A = \widehat H = 90^\circ ;\,\widehat {ABD} = \widehat {HBD}$  (vì $BD$ là tia phân giác góc $B$) và cạnh $BD$ chung

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)$ $\Rightarrow BA = BH$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có tam giác $ABC$ và tam giác $NPM$  có $BC = PM;\,\widehat B = \widehat P = 90^\circ$ mà $BC;PM$ là hai cạnh góc vuông của hai tam giác  $ABC$ và  $NPM$ nên để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền-cạnh góc vuông thì ta cần thêm hai cạnh huyền bằng nhau là $CA = MN.$

Ta có: $\,\widehat C = \widehat P$, mà góc $C$  và góc $P$  là hai góc nhọn kề của hai tam giác $ABC$  và $MNP$

Do đó: để tam giác vuông $ABC$  và tam giác vuông $MNP$  bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề thì cần cặp cạnh góc vuông kề với hai góc nhọn $\widehat C$ và $\widehat P$ của hai tam giác này bằng nhau, tức là bổ sung thêm điều kiện $AC = MP.$

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $FED$ có:

+ $\widehat B = \widehat E = {90^0}$.

+ $AC = DF\;\;\left( {gt} \right)$

+ $\,\,\widehat A = \widehat F\;\;\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta FED$ (cạnh huyền - góc nhọn)