Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $KHI$ có:

$\begin{array}{l}\widehat A = \widehat K = 90^\circ \\AB = KH\;\;\left( {gt} \right)\\BC = HI\;\;\;\left( {gt} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta KHI$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Xét tam giác $ABC$  và tam giác $DEF$  có

$AB = DE\;\;\left( {gt} \right);\,\widehat B = \widehat E\;\;\left( {gt} \right);\,\widehat A = \widehat D = {90^0}.$ 

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta DEF$( cạnh góc vuông - góc nhọn) .

$\Rightarrow DF = AC = 9\,cm$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác $DEF$  và tam giác $HKI$  có

$\widehat D = \widehat H = {90^0};\,\widehat E = \widehat K\;\;\left( {gt} \right);\,DE = HK\;\;\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta DEF = \Delta HKI$ (cạnh góc vuông - góc nhọn).

$\Rightarrow \widehat F = \widehat I = 80^\circ$ ( hai góc tương ứng)

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ (do $AB = AC$ ) nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$  (tính chất) (1)

Lại có $\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 180^\circ$ và $\widehat {ACB} + \widehat {ACE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat {ABD} = 180^\circ  - \widehat {ABC}$ ; $\widehat {ACE} = 180^\circ  - \widehat {ACB}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$

Xét tam giác $ABD$ và tam giác $ACE$ có

$AB = AC;\,$$\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\,\left( {cmt} \right);$$BD = CE\,$

Suy ra $\Delta ABD = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {CAE}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác $AHB$ và $AKC$ có

+ $\widehat H = \widehat K = 90^\circ$

+ $AB = AC$

+ $\widehat {DAB} = \widehat {CAE}\,\left( {cmt} \right)$

Suy ra $\Delta AHB = \Delta AKC\,\left( {ch - gn} \right)$

Tam giác $ABC$ có $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác nên $\Delta BAC$ cân tại $A.$

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC$  (tính chất)

Lại có $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ$ (vì $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ) và $\widehat {CAH} + \widehat {BAH} = 90^\circ$

Nên $\widehat {ABH} = \widehat {CAK}$  (cùng phụ với $\widehat {BAH}$ )

$\Rightarrow \Delta ABH = \Delta CAK$ (cạnh huyền-góc nhọn) suy ra $BH = AK.$

Do đó $B{H^2} + C{K^2} = A{K^2} + C{K^2}\,\,\left( 1 \right)$

Xét tam giác $ACK$, theo định lý Pytago: $A{K^2} + C{K^2} = A{C^2}\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $B{H^2} + C{K^2} = A{C^2}.$

Xét hai tam giác vuông $BAD$ và $BHD$ có $\widehat A = \widehat H = 90^\circ ;\,\widehat {ABD} = \widehat {HBD}$  (vì $BD$ là tia phân giác góc $B$) và cạnh $BD$ chung

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)$ $\Rightarrow BA = BH$ (hai cạnh tương ứng).

+ Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $EK$ cắt $EK$ tại $F$

Khi đó ta có $ABFE$ là hình vuông nên $\widehat {ABF} = 90^\circ$ và $AB = BF$

Lại có $AB = BH$ (ý trước) nên $BH = BF$

Xét hai tam giác vuông $BHK$ và $BFK$ có $BH = BF\left( {cmt} \right);\,BK$ cạnh chung

Nên $\Delta BHK = \Delta BFK\left( {ch - cgv} \right)$$\Rightarrow \widehat {FBK} = \widehat {HBK}$

Lại có $\widehat {ABD} = \widehat {DBH}$  (do $BD$ là phân giác góc $\widehat {ABC}$ )

Nên $\widehat {DBH} + \widehat {HBK} = \widehat {ABD} + \widehat {KBF} = \dfrac{{\widehat {DBH} + \widehat {HBK} + \widehat {ABD} + \widehat {KBF}}}{2}$$\dfrac{{\widehat {ABF}}}{2} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Mà Vậy $\widehat {DBK} = \widehat {DBH} + \widehat {HBK} = 45^\circ .$

$\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC,\,\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$     (1)

Mặt khác: $\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = {180^o}$ (kề bù)      (2)

                 $\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = {180^o}$ (kề bù)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {ABM} = \widehat {ACN}$.

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:

$AB = AC\,\,(cmt)$

$\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\,\,(cmt)$

$BM = CN\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACN\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow AM = AN$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại $A.$

Sử dụng kết quả câu trước ta có $\Delta ABM = \Delta ACN\,\,$ suy ra $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $ABE$ và $ACF$ có:

$\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = {90^o}$

$AB = AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

Sử dụng kết quả câu trước $\Delta ABE = \Delta ACF$ nên $BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $BME$ và $CNF$ có:

$\widehat {BEM} = \widehat {CFN} = {90^o}$

$BE = CF\,\,(cmt)$

$MB = NC\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta BME = \Delta CNF$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Từ $C$ dựng đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $AE$ tại $G$. Trên tia đối của tia $DE$ lấy điểm $F$ sao cho $DE = DF$. Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BD.$

$\Delta ABD$ vuông tại $A$ nên $\widehat {ABD} + \widehat {ADB} = {90^o}$

$\Delta AID$ vuông tại $I$ nên $\widehat {DAI} + \widehat {ADI} = {90^o}$

Mà $\widehat {ADB} = \widehat {ADI}$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {DAI}$ hay $\widehat {ABD} = \widehat {CAG}$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta CAG$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {ACG} = {90^o}$

$AB = CA$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {ABD} = \widehat {CAG}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta CAG$ (g.c.g).

$\Rightarrow AD = CG$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AD = CD$ (vì $D$ là trung điểm của $AC$) nên $CD = CG$

$\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{90}^o}}}{2} = {45^o}$ hay $\widehat {DCE} = {45^o}.$

Mặt khác $\widehat {DCE} + \widehat {GCE} = \widehat {DCG}$  $\Rightarrow \widehat {GCE} = \widehat {DCG} - \widehat {DCE} = {90^o} - {45^o} = {45^o}.$

Xét $\Delta DCE$ và $\Delta GCE$ có:

$EC$ chung

$CD = CG\,\,(cmt)$

$\widehat {DCE} = \widehat {GCE} = {45^o}$

$\Rightarrow \Delta DCE = \Delta GCE\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {CED} = \widehat {CEG}$ (hai cạnh tương ứng)    (1)

Xét $\Delta ADF$ và $\Delta CDE$ có:

$AD = CD$ (vì $D$ là trung điểm $AC$)

$DF = DE\,$ (cách dựng)

$\widehat {ADF} = \widehat {CDE}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ADF = \Delta CDE\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {AFD} = \widehat {CED}$ (hai góc tương ứng)       (2)

Mà $\widehat {AFD}$ và $\widehat {CED}$ ở vị trí so le trong nên $AF//EC.$

Vì $AF//EC$ nên $\widehat {GEC} = \widehat {EAF}$ (hai góc đồng vị)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {EAF} = \widehat {EFA}$, tam giác $AEF$ cân tại $E$ nên $AE = EF$    (4)

Mà $DE = DF$ (theo cách dựng) nên $EF = 2DE$    (5)

Từ (4) và (5) ta có: $AE = 2DE$.