Câu hỏi:
2 năm trước

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(D\) là trung điểm \(AC.\) Từ \(A\) kẻ đường vuông góc với \(BD,\) cắt \(BC\) tại \(E.\) Chọn đáp án đúng.

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Từ \(C\) dựng đường thẳng vuông góc với \(AC\) cắt \(AE\) tại \(G\). Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(F\) sao cho \(DE = DF\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BD.\)

\(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ABD} + \widehat {ADB} = {90^o}\)

\(\Delta AID\) vuông tại \(I\) nên \(\widehat {DAI} + \widehat {ADI} = {90^o}\)

Mà \(\widehat {ADB} = \widehat {ADI}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DAI}\) hay \(\widehat {ABD} = \widehat {CAG}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CAG\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {ACG} = {90^o}\)

\(AB = CA\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {ABD} = \widehat {CAG}\,\,(cmt)\)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta CAG\) (g.c.g).

\( \Rightarrow AD = CG\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AD = CD\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AC\)) nên \(CD = CG\)

\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{90}^o}}}{2} = {45^o}\) hay \(\widehat {DCE} = {45^o}.\)

Mặt khác \(\widehat {DCE} + \widehat {GCE} = \widehat {DCG}\)  \( \Rightarrow \widehat {GCE} = \widehat {DCG} - \widehat {DCE} = {90^o} - {45^o} = {45^o}.\)

Xét \(\Delta DCE\) và \(\Delta GCE\) có:

\(EC\) chung

\(CD = CG\,\,(cmt)\)

\(\widehat {DCE} = \widehat {GCE} = {45^o}\)

\( \Rightarrow \Delta DCE = \Delta GCE\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {CED} = \widehat {CEG}\) (hai cạnh tương ứng)    (1)

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta CDE\) có:

\(AD = CD\) (vì \(D\) là trung điểm \(AC\))

\(DF = DE\,\) (cách dựng)

\(\widehat {ADF} = \widehat {CDE}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ADF = \Delta CDE\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AFD} = \widehat {CED}\) (hai góc tương ứng)       (2)

Mà \(\widehat {AFD}\) và \(\widehat {CED}\) ở vị trí so le trong nên \(AF//EC.\)

Vì \(AF//EC\) nên \(\widehat {GEC} = \widehat {EAF}\) (hai góc đồng vị)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {EAF} = \widehat {EFA}\), tam giác \(AEF\) cân tại \(E\) nên \(AE = EF\)    (4)

Mà \(DE = DF\) (theo cách dựng) nên \(EF = 2DE\)    (5)

Từ (4) và (5) ta có: \(AE = 2DE\).

Hướng dẫn giải:

- Từ \(C\) dựng đường thẳng vuông góc với \(AC\) cắt \(AE\) tại \(G\). Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(F\) sao cho \(DE = DF\).

- Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta CAG\)  (g.c.g).

- Chứng minh \(\Delta DCE = \Delta GCE\,\,(c.g.c)\)

- Chứng minh \(\Delta ADF = \Delta CDE\,\,(c.g.c)\) suy ra \(\widehat {AFD} = \widehat {CED}\) (hai góc tương ứng) suy ra \(AF//EC.\) Lập luận để chứng minh tam giác \(AEF\) cân tại \(E\) từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Câu hỏi khác