Đa thức một biến

Thay $x = 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được: $f\left( 1 \right) = 1 + {1^2} + {1^4} + {1^6} + ... + {1^{2020}}$$= 1 + \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{1010\,\,\,so\,1} = 1 + 1010.1 = 1011$.

Thay $x =  - 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được: $f\left( { - 1} \right) = 1 + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^4} + {( - 1)^6} + ... + {\left( { - 1} \right)^{2020}}$.

$= 1 + \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{1010\,\,\,so\,1} = 1 + 1010.1 = 1011$.

Vậy $f\left( 1 \right) = 1011;f\left( { - 1} \right) = 1011$.

Ta có: số mũ lớn nhất của biến trong đa thức $9{x^2} + {x^7} - {x^5} + 1$ là $7$ nên bậc của đa thức $9{x^2} + {x^7} - {x^5} + 1$ là $7$.

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right) = ax + b$ ta được: $f\left( 0 \right) = a.0 + b = b$  mà $f\left( 0 \right) = 4$ suy ra $b = 4$.

Khi đó $f\left( x \right) = ax + 4$.

Thay $x = 3$ vào $f\left( x \right) = ax + 4$ ta được: $f\left( 3 \right) = a.3 + 4 = 3a + 4$ mà $f\left( 3 \right) = 12$ nên $3a + 4 = 12$ hay $a = \dfrac{8}{3}$.

Vậy $f\left( x \right) = \dfrac{8}{3}x + 4.$

Thay $x = 2$ vào $f\left( x \right) = ax + b$ ta được: $f(2) = a.2 + b = 4 \Rightarrow b = 4 - 2a\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Thay $x = 1$ vào $f\left( x \right) = ax + b$ ta được: $f\left( 1 \right) = a + b = 3 \Rightarrow b = 3 - a\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta có: $4 - 2a = 3 - a \Rightarrow a = 1$

Từ đó $b = 3 - a = 3 - 1 = 2$.

Vậy $f\left( x \right) = x + 2.$

+ Thay $x = 1$ vào $f\left( x \right) = 4{x^4} - 2a{x^2} + \left( {a + 1} \right)x + 2$ ta được: $f\left( 1 \right) = {4.1^4} - 2a{.1^2} + (a + 1).1 + 2 = 4 - 2a + a + 1 + 2 = 7 - a$

+ Thay $x = 2$ vào $g\left( x \right) = 2ax + 5$ ta được: $g(2) = 2a.2 + 5 = 4a + 5$

+ Để $f\left( 1 \right) = g\left( 2 \right)$ thì $7 - a = 4a + 5 \Rightarrow 5a = 2$$\Rightarrow a = \dfrac{2}{5}.$

Vậy $a = \dfrac{2}{5}.$

Thay $x =  - 2$ vào $f\left( x \right) = {x^5} + 2$ ta được $f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^5} + 2 =  - 30$

Thay $x =  - 2$ vào $g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2$ta được  $g\left( { - 2} \right) = 5.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) + 2 =  - 30$

Suy ra $f\left( { - 2} \right) = g\left( { - 2} \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\, - 30 =  - 30} \right)$

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right) = {x^5} + 2$ ta được $f\left( 0 \right) = {0^5} + 2 = 2$

Thay $x = 1$ vào $g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2$ta được  $g\left( 1 \right) = {5.1^3} - 4.1 + 2 = 3$

Suy ra $f\left( 0 \right) < g\left( 1 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,2 < 3} \right)$

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right) = {x^5} + 2$ ta được $f\left( 0 \right) = {0^5} + 2 = 2$

Thay $x = 1$ vào $g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2$ta được  $g\left( 1 \right) = {5.1^3} - 4.1 + 2 = 3$

Suy ra $f\left( 0 \right) < g\left( 1 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,2 < 3} \right)$

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right) = {x^5} + 2$ ta được $f\left( 0 \right) = {0^5} + 2 = 2$

Thay $x = 1$ vào $g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2$ta được  $g\left( 1 \right) = {5.1^3} - 4.1 + 2 = 3$

Suy ra $f\left( 0 \right) < g\left( 1 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,2 < 3} \right)$

Đa thức ${x^2} + \dfrac{{{x^3}}}{4} + x$ là đa thức một biến.

Ta có: $1 - 7{x^7} + 5{x^4} - 3{x^5} + 9{x^6} =  - 7{x^7} + 9{x^6} - 3{x^5} + 5{x^4} + 1$.

Ta có: $- {y^4} + {y^7} - 3{y^2} + 8{y^5} - y$$=  - y - 3{y^2} - {y^4} + 8{y^5} + {y^7}$.

Hệ số tự do của đa thức: ${x^3} - 7\left( {a + 1} \right){x^2} - {a^2} + {b^2} - ab + 3$ là $- {a^2} + {b^2} - ab + 3$.

Ta có: $- 7{x^5} - 9{x^2} + {x^6} - {x^4} + 10 = {x^6} - 7{x^5} - {x^4} - 9{x^2} + 10$

Hệ số cao nhất của đa thức đã cho là $1.$

Thay $x =  - 1$ vào đa thức $A$ ta được: $A =  - 3.{( - 1)^2} + 5.{( - 1)^6} - 7.( - 1)$$=  - 3 + 5 + 7 = 9$.

Vậy với $x =  - 1$ thì $A = 9.$

Thay $x = 2$ vào $f\left( x \right) = 3{x^4} - 1$ ta được: $f\left( 2 \right) = {3.2^4} - 1 = 48 - 1 = 47$.

Thay $x = 2$ vào $g\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 2x$ ta được: $g\left( 2 \right) = {5.2^4} - {3.2^3} + 2.2 = 80 - 24 + 4 = 60$.

Suy ra $f\left( 2 \right) < g\left( 2 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,47 < 60} \right)$.

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right) = 3{x^4} - 1$ ta được: $f\left( 0 \right) = {3.0^4} - 1 =  - 1$.

Thay $x = 0$ vào $g\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 2x$ ta được: $g\left( 0 \right) = {5.0^4} - {3.0^3} + 2.0 = 0$

Suy ra $f\left( 0 \right) < g\left( 0 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\, - 1 < 0} \right)$.

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right) = 3{x^4} - 1$ ta được: $f\left( 0 \right) = {3.0^4} - 1 =  - 1$.

Thay $x = 0$ vào $g\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 2x$ ta được: $g\left( 0 \right) = {5.0^4} - {3.0^3} + 2.0 = 0$

Suy ra $f\left( 0 \right) < g\left( 0 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\, - 1 < 0} \right)$.

Đa thức ${x^3} - 2{x^2} + 3$ là đa thức một biến

Ta có $6{x^3} + 5{x^4} - 8{x^6} - 3{x^2} + 4 =  - 8{x^6} + 5{x^4} + 6{x^3} - 3{x^2} + 4$