Đa thức một biến

Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được: \(f\left( 1 \right) = 1 + {1^2} + {1^4} + {1^6} + ... + {1^{2020}}\)\( = 1 + \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{1010\,\,\,so\,1} = 1 + 1010.1 = 1011\).

Thay \(x =  - 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được: \(f\left( { - 1} \right) = 1 + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^4} + {( - 1)^6} + ... + {\left( { - 1} \right)^{2020}}\).

\( = 1 + \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{1010\,\,\,so\,1} = 1 + 1010.1 = 1011\).

Vậy \(f\left( 1 \right) = 1011;f\left( { - 1} \right) = 1011\).

Ta có: số mũ lớn nhất của biến trong đa thức \(9{x^2} + {x^7} - {x^5} + 1\) là \(7\) nên bậc của đa thức \(9{x^2} + {x^7} - {x^5} + 1\) là \(7\).

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = ax + b\) ta được: \(f\left( 0 \right) = a.0 + b = b\)  mà \(f\left( 0 \right) = 4\) suy ra \(b = 4\).

Khi đó \(f\left( x \right) = ax + 4\).

Thay \(x = 3\) vào \(f\left( x \right) = ax + 4\) ta được: \(f\left( 3 \right) = a.3 + 4 = 3a + 4\) mà \(f\left( 3 \right) = 12\) nên \(3a + 4 = 12\) hay \(a = \dfrac{8}{3}\).

Vậy \(f\left( x \right) = \dfrac{8}{3}x + 4.\)

Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right) = ax + b\) ta được: \(f(2) = a.2 + b = 4 \Rightarrow b = 4 - 2a\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right) = ax + b\) ta được: \(f\left( 1 \right) = a + b = 3 \Rightarrow b = 3 - a\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) ta có: \(4 - 2a = 3 - a \Rightarrow a = 1\)

Từ đó \(b = 3 - a = 3 - 1 = 2\).

Vậy \(f\left( x \right) = x + 2.\)

+ Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right) = 4{x^4} - 2a{x^2} + \left( {a + 1} \right)x + 2\) ta được: \(f\left( 1 \right) = {4.1^4} - 2a{.1^2} + (a + 1).1 + 2 = 4 - 2a + a + 1 + 2 = 7 - a\)

+ Thay \(x = 2\) vào \(g\left( x \right) = 2ax + 5\) ta được: \(g(2) = 2a.2 + 5 = 4a + 5\)

+ Để \(f\left( 1 \right) = g\left( 2 \right)\) thì \(7 - a = 4a + 5 \Rightarrow 5a = 2\)\( \Rightarrow a = \dfrac{2}{5}.\)

Vậy \(a = \dfrac{2}{5}.\)

Thay \(x =  - 2\) vào \(f\left( x \right) = {x^5} + 2\) ta được \(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^5} + 2 =  - 30\)

Thay \(x =  - 2\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2\)ta được  \(g\left( { - 2} \right) = 5.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) + 2 =  - 30\)

Suy ra \(f\left( { - 2} \right) = g\left( { - 2} \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\, - 30 =  - 30} \right)\)

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = {x^5} + 2\) ta được \(f\left( 0 \right) = {0^5} + 2 = 2\)

Thay \(x = 1\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2\)ta được  \(g\left( 1 \right) = {5.1^3} - 4.1 + 2 = 3\)

Suy ra \(f\left( 0 \right) < g\left( 1 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,2 < 3} \right)\)

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = {x^5} + 2\) ta được \(f\left( 0 \right) = {0^5} + 2 = 2\)

Thay \(x = 1\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2\)ta được  \(g\left( 1 \right) = {5.1^3} - 4.1 + 2 = 3\)

Suy ra \(f\left( 0 \right) < g\left( 1 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,2 < 3} \right)\)

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = {x^5} + 2\) ta được \(f\left( 0 \right) = {0^5} + 2 = 2\)

Thay \(x = 1\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2\)ta được  \(g\left( 1 \right) = {5.1^3} - 4.1 + 2 = 3\)

Suy ra \(f\left( 0 \right) < g\left( 1 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,2 < 3} \right)\)

Đa thức \({x^2} + \dfrac{{{x^3}}}{4} + x\) là đa thức một biến.

Ta có: \(1 - 7{x^7} + 5{x^4} - 3{x^5} + 9{x^6} =  - 7{x^7} + 9{x^6} - 3{x^5} + 5{x^4} + 1\).

Ta có: \( - {y^4} + {y^7} - 3{y^2} + 8{y^5} - y\)\( =  - y - 3{y^2} - {y^4} + 8{y^5} + {y^7}\).

Hệ số tự do của đa thức: \({x^3} - 7\left( {a + 1} \right){x^2} - {a^2} + {b^2} - ab + 3\) là \( - {a^2} + {b^2} - ab + 3\).

Ta có: \( - 7{x^5} - 9{x^2} + {x^6} - {x^4} + 10 = {x^6} - 7{x^5} - {x^4} - 9{x^2} + 10\)

Hệ số cao nhất của đa thức đã cho là \(1.\)

Thay \(x =  - 1\) vào đa thức \(A\) ta được: \(A =  - 3.{( - 1)^2} + 5.{( - 1)^6} - 7.( - 1)\)\( =  - 3 + 5 + 7 = 9\).

Vậy với \(x =  - 1\) thì \(A = 9.\)

Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right) = 3{x^4} - 1\) ta được: \(f\left( 2 \right) = {3.2^4} - 1 = 48 - 1 = 47\).

Thay \(x = 2\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 2x\) ta được: \(g\left( 2 \right) = {5.2^4} - {3.2^3} + 2.2 = 80 - 24 + 4 = 60\).

Suy ra \(f\left( 2 \right) < g\left( 2 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,47 < 60} \right)\).

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = 3{x^4} - 1\) ta được: \(f\left( 0 \right) = {3.0^4} - 1 =  - 1\).

Thay \(x = 0\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 2x\) ta được: \(g\left( 0 \right) = {5.0^4} - {3.0^3} + 2.0 = 0\)

Suy ra \(f\left( 0 \right) < g\left( 0 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\, - 1 < 0} \right)\).

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = 3{x^4} - 1\) ta được: \(f\left( 0 \right) = {3.0^4} - 1 =  - 1\).

Thay \(x = 0\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^4} - 3{x^3} + 2x\) ta được: \(g\left( 0 \right) = {5.0^4} - {3.0^3} + 2.0 = 0\)

Suy ra \(f\left( 0 \right) < g\left( 0 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\, - 1 < 0} \right)\).

Đa thức \({x^3} - 2{x^2} + 3\) là đa thức một biến

Ta có \(6{x^3} + 5{x^4} - 8{x^6} - 3{x^2} + 4 =  - 8{x^6} + 5{x^4} + 6{x^3} - 3{x^2} + 4\)