Đa thức \(7{x^{12}} - 8{x^{10}} + {x^{11}} - {x^5} + 6{x^6} + x - 10\) được sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:
Ta có \(7{x^{12}} - 8{x^{10}} + {x^{11}} - {x^5} + 6{x^6} + x - 10\)\( = - 10 + x - {x^5} + 6{x^6} - 8{x^{10}} + {x^{11}} + 7{x^{12}}\)
Với \(a,b,c\) là các hằng số, hệ số tự do của đa thức \({x^2} + \left( {a + b} \right)x - 5a + 3b + 2\) là:
Hệ số tự do của đa thức \({x^2} + \left( {a + b} \right)x - 5a + 3b + 2\) là \( - 5a + 3b + 2.\)
Hệ số cao nhất của đa thức \(5{x^6} + 6{x^5} + {x^4} - 3{x^2} + 7\) là:
Hệ số cao nhất của đa thức \(5{x^6} + 6{x^5} + {x^4} - 3{x^2} + 7\) là \(5.\)
Cho đa thức \(A = {x^4} - 4{x^3} + x - 3{x^2} + 1.\) Tính giá trị của \(A\) tại $x = - 2.$
Thay \(x = - 2\) vào biểu thức \(A\), ta có \(A = {\left( { - 2} \right)^4} - 4.{\left( { - 2} \right)^3} + \left( { - 2} \right) - 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1\)
\( = 16 + 32 - 2 - 12 + 1 = 35\)
Vậy với \(x = - 2\) thì \(A = 35.\)
Bậc của đa thức \(8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10\) là
Ta có số mũ cao nhất của biến trong đa thức \(8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10\) là \(9\) nên bậc của đa thức \(8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10\) là \(9.\)
Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = {x^5} + 2;\)\(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2.\)
So sánh \(f\left( 0 \right)\) và \(g\left( 1 \right).\)
Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = {x^5} + 2\) ta được \(f\left( 0 \right) = {0^5} + 2 = 2\)
Thay \(x = 1\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2\)ta được \(g\left( 1 \right) = {5.1^3} - 4.1 + 2 = 3\)
Suy ra \(f\left( 0 \right) < g\left( 1 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,2 < 3} \right)\)
Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = {x^5} + 2;\)\(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2.\)
Chọn câu đúng về \(f\left( { - 2} \right)\) và \(g\left( { - 2} \right).\)
Thay \(x = - 2\) vào \(f\left( x \right) = {x^5} + 2\) ta được \(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^5} + 2 = - 30\)
Thay \(x = - 2\) vào \(g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2\)ta được \(g\left( { - 2} \right) = 5.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) + 2 = - 30\)
Suy ra \(f\left( { - 2} \right) = g\left( { - 2} \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\, - 30 = - 30} \right)\)
Cho \(f\left( x \right) = 1 + {x^3} + {x^5} + {x^7} + ... + {x^{101}}.\) Tính \(f\left( 1 \right);f\left( { - 1} \right).\)
Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( 1 \right) = 1 + {1^3} + {1^5} + {1^7} + ... + {1^{101}}\)\( = \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{51\,so\,1} = 51.1 = 51\)
Thay \(x = - 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( { - 1} \right) = 1 + {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^5} + ... + {\left( { - 1} \right)^{101}}\)
\( = 1 + \underbrace {\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right)}_{50\,\,so\,\,\left( { - 1} \right)}\)\( = 1 + 50.\left( { - 1} \right) = 1 - 50 = - 49\)
Vậy \(f\left( 1 \right) = 51;f\left( { - 1} \right) = - 49\)
Tìm đa thức \(f\left( x \right) = ax + b.\) Biết \(f\left( 0 \right) = 7;f\left( 2 \right) = 13.\)
Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( 0 \right) = a.0 + b = 7 \Rightarrow b = 7\)
Suy ra \(f\left( x \right) = ax + 7\)
Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right) = ax + 7\) ta được \(f\left( 2 \right) = a.2 + 7 = 13 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)
Vậy \(f\left( x \right) = 3x + 7.\)
Tìm đa thức \(f\left( x \right) = ax + b.\) Biết \(f\left( 1 \right) = \dfrac{7}{2};f\left( { - 1} \right) = - \dfrac{5}{2}.\)
Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right) = ax + b\) ta được \(f\left( 1 \right) = a + b = \dfrac{7}{2} \Rightarrow b = \dfrac{7}{2} - a\,\,\left( 1 \right)\)
Thay \(x = - 1\) vào \(f\left( x \right) = ax + b\) ta được \(f\left( { - 1} \right) = - a + b = \dfrac{{ - 5}}{2} \Rightarrow b = a - \dfrac{5}{2}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) ta có \(\dfrac{7}{2} - a = a - \dfrac{5}{2} \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)
Từ đó \(b = \dfrac{7}{2} - a = \dfrac{7}{2} - 3 = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(f\left( x \right) = 3x + \dfrac{1}{2}.\)
Cho ha đa thức \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2a{x^2} + ax - 5\) và \(g\left( x \right) = {x^2} + 3ax - 4.\) Tìm \(a\) để $f\left( 1 \right) = g\left( { - 1} \right).$
+ Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( 1 \right) = {3.1^3} + 2a{.1^2} + a.1 - 5 = 3a - 2\)
+ Thay \(x = - 1\) vào \(g\left( x \right)\) ta được \(g\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 3a.\left( { - 1} \right) - 4 = - 3a - 3\)
+ Để \(f\left( 1 \right) = g\left( { - 1} \right)\) thì \(3a - 2 = - 3a - 3 \Rightarrow 6a = - 1\)\( \Rightarrow a = - \dfrac{1}{6}.\)
Vậy \(a = - \dfrac{1}{6}.\)
Xác định hệ số \(a\) của đa thức \(Q\left( x \right) = 3ax + 5\) biết \(Q\left( { - 1} \right) = 3\).
Thay \(x = - 1\) vào \(Q\left( x \right) = 3ax + 5\) ta được: \(Q\left( { - 1} \right) = 3a.( - 1) + 5 = - 3a + 5\).
Mà \(Q\left( { - 1} \right) = 3\) nên \( - 3a + 5 = 3 \Rightarrow - 3a = - 2 \Rightarrow a = \dfrac{2}{3}\).
Vậy \(a = \dfrac{2}{3}\).
Tìm \(a\) biết rằng đa thức \(\left( {a + 1} \right){x^4} - 4{x^3} + {x^4} - 3{x^2} + x\) có bậc là \(3.\)
Ta có: \(\left( {a + 1} \right){x^4} - 4{x^3} + {x^4} - 3{x^2} + x\)\( = {\rm{[}}\left( {a + 1} \right){x^4} + {x^4}{\rm{]}} - 4{x^3} - 3{x^2} + x\)
\( = \left( {a + 2} \right){x^4} - 4{x^3} - 3{x^2} + x\)
Để đa thức đã cho có bậc là: \(3\) thì \(a + 2 = 0\) hay \(a = - 2.\)
Vậy \(a = - 2.\)
Tìm \(a,b\) biết rằng đa thức \({x^3} + {x^2} - x + \left( {2a - 3} \right){x^5} - 3b - 1\) có hệ số cao nhất là \(3\) và hệ số tự do bằng \(8.\)
Ta có: \({x^3} + {x^2} - x + \left( {2a - 3} \right){x^5} - 3b - 1\)\( = \left( {2a - 3} \right){x^5} + {x^3} + {x^2} - x - 3b - 1\).
Hệ số cao nhất của đa thức đã cho là \(2a - 3\) nên \(2a - 3 = 3 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\).
Hệ số tự do của đa thức đã cho là: \( - 3b - 1\) nên \( - 3b - 1 = 8 \Rightarrow - 3b = 9 \Rightarrow b = - 3\).
Vậy \(a = 3; b = - 3\).
Cho \(P\left( x \right) = 100{x^{100}} + 99{x^{99}} + 98{x^{98}} + ... + 2{x^2} + x\). Tính \(P\left( { - 1} \right)\).
Thay \(x = - 1\) vào \(P\left( x \right) = 100{x^{100}} + 99{x^{99}} + 98{x^{98}} + ... + 2{x^2} + x\) ta được:
\(P\left( { - 1} \right) = 100.{( - 1)^{100}} + 99.{( - 1)^{99}} + 98.{( - 1)^{98}} + 97.{( - 1)^{97}} + ... + 2.{( - 1)^2} + ( - 1)\)
\( = 100 - 99 + 98 - 97 + ... + 2 - 1\) \( = (100 - 99) + (98 - 97) + ... + (2 - 1)\) \( = \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{50\,\,so\,\,1}\) \( = 50.1 = 50\)
Vậy \(P\left( { - 1} \right) = 50\).
Cho \(f\left( x \right) = {x^{99}} - 101{x^{98}} + 101{x^{97}} - 101{x^{96}} + ... + 101x - 1\). Tính \(f\left( {100} \right).\)
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^{99}} - 101{x^{98}} + 101{x^{97}} - 101{x^{96}} + ... + 101x - 1\)
\( = {x^{99}} - (100 + 1){x^{98}} + (100 + 1){x^{97}} - ... - (100 + 1){x^2} + (100 + 1)x - 1\)
\( = {x^{99}} - 100{x^{98}} - {x^{98}} + 100{x^{97}} + ... -100x^2 - {x^2} + 100x + x - 1\)
\( = ({x^{99}} - 100{x^{98}}) - ({x^{98}} - 100{x^{97}}) + ... - ({x^2} - 100x) + x - 1\)
Thay \(x = 100\) vào \(f(x)\) ta được:
\(f(100) = ({100^{99}} - {100.100^{98}}) - ({100^{98}} - {100.100^{97}}) + ... - ({100^2} - 100.100) + 100 - 1\)
\( = ({100^{99}} - {100^{99}}) - ({100^{98}} - {100^{98}}) + ... - ({100^2} - {100^2}) + 99 = 99\)
Vậy \(f(100) = 99\).
Cho \(f\left( x \right) = a{x^3} + 4x\left( {{x^2} - 1} \right) + 8;\)\(g\left( x \right) = {x^3} - 4x\left( {bx + 1} \right) + c - 5\) với \(a,b,c\) là hằng số. Xác định \(a,b,c\) để \(f\left( x \right) = g\left( x \right).\)
Ta có: \(f\left( x \right) = a{x^3} + 4x\left( {{x^2} - 1} \right) + 8\)\( = a{x^3} + 4x{x^2} - 4x + 8 = a{x^3} + 4{x^3} - 4x + 8 = (a + 4){x^3} - 4x + 8\)
\(g\left( x \right) = {x^3} - 4x\left( {bx + 1} \right) + c - 5\)\( = {x^3} - 4xbx - 4x + c - 5 = {x^3} - 4b{x^2} - 4x + c - 5\)
Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ta được: \(f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right)\)\( \Rightarrow (a + 4){.0^3} - 4.0 + 8 = {0^3} - 4b{.0^2} - 4.0 + c - 5\)
\( \Rightarrow 8 = c - 5 \Rightarrow c = 13\)
Khi đó \(g(x) = {x^3} - 4b{x^2} - 4x + 8\)
Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ta được: \(f\left( 1 \right) = g\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow (a + 4){.1^3} - 4.1 + 8 = {1^3} - 4b{.1^2} - 4.1 + 8\)
\( \Rightarrow a + 4 - 4 + 8 = 1 - 4b - 4 + 8 \Rightarrow a + 8 = 5 - 4b \Rightarrow a = - 3 - 4b\,\, (1)\)
Thay \(x = - 1\) vào \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ta được: \(f\left( { - 1} \right) = g\left( { - 1} \right)\)\( \Rightarrow (a + 4).{( - 1)^3} - 4.( - 1) + 8 = {( - 1)^3} - 4b.{( - 1)^2} - 4.( - 1) + 8\)
\( \Rightarrow - a - 4 + 4 + 8 = - 1 - 4b + 4 + 8 \Rightarrow - a + 8 = 11 - 4b \Rightarrow a = 4b - 3\,\, (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \( - 3 - 4b = 4b - 3 \Rightarrow 8b = 0 \Rightarrow b = 0\)
Thay \(b = 0\) vào \((1)\) ta được: \(a = - 3.\)
Vậy \(a = - 3;b = 0;c = 13\).
