Đa thức một biến

Ta có $7{x^{12}} - 8{x^{10}} + {x^{11}} - {x^5} + 6{x^6} + x - 10$$=  - 10 + x - {x^5} + 6{x^6} - 8{x^{10}} + {x^{11}} + 7{x^{12}}$

Hệ số tự do của đa thức ${x^2} + \left( {a + b} \right)x - 5a + 3b + 2$ là $- 5a + 3b + 2.$

Hệ số cao nhất của đa thức $5{x^6} + 6{x^5} + {x^4} - 3{x^2} + 7$ là $5.$

Thay $x =  - 2$ vào biểu thức $A$, ta có $A = {\left( { - 2} \right)^4} - 4.{\left( { - 2} \right)^3} + \left( { - 2} \right) - 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1$

$= 16 + 32 - 2 - 12 + 1 = 35$

Vậy với $x =  - 2$ thì $A = 35.$

Ta có số mũ cao nhất của biến trong đa thức $8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10$ là $9$ nên bậc của đa thức $8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10$ là $9.$

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right) = {x^5} + 2$ ta được $f\left( 0 \right) = {0^5} + 2 = 2$

Thay $x = 1$ vào $g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2$ta được  $g\left( 1 \right) = {5.1^3} - 4.1 + 2 = 3$

Suy ra $f\left( 0 \right) < g\left( 1 \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\,2 < 3} \right)$

Thay $x =  - 2$ vào $f\left( x \right) = {x^5} + 2$ ta được $f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^5} + 2 =  - 30$

Thay $x =  - 2$ vào $g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2$ta được  $g\left( { - 2} \right) = 5.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) + 2 =  - 30$

Suy ra $f\left( { - 2} \right) = g\left( { - 2} \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\, - 30 =  - 30} \right)$

Thay $x = 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được $f\left( 1 \right) = 1 + {1^3} + {1^5} + {1^7} + ... + {1^{101}}$$= \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{51\,so\,1} = 51.1 = 51$

Thay $x =  - 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được $f\left( { - 1} \right) = 1 + {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^5} + ... + {\left( { - 1} \right)^{101}}$

$= 1 + \underbrace {\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right)}_{50\,\,so\,\,\left( { - 1} \right)}$$= 1 + 50.\left( { - 1} \right) = 1 - 50 =  - 49$

Vậy $f\left( 1 \right) = 51;f\left( { - 1} \right) =  - 49$

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right)$ ta được $f\left( 0 \right) = a.0 + b = 7 \Rightarrow b = 7$

Suy ra $f\left( x \right) = ax + 7$

Thay $x = 2$ vào $f\left( x \right) = ax + 7$ ta được $f\left( 2 \right) = a.2 + 7 = 13 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$

Vậy $f\left( x \right) = 3x + 7.$

Thay $x = 1$ vào $f\left( x \right) = ax + b$ ta được $f\left( 1 \right) = a + b = \dfrac{7}{2} \Rightarrow b = \dfrac{7}{2} - a\,\,\left( 1 \right)$

Thay $x =  - 1$ vào $f\left( x \right) = ax + b$ ta được $f\left( { - 1} \right) =  - a + b = \dfrac{{ - 5}}{2} \Rightarrow b = a - \dfrac{5}{2}\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta có $\dfrac{7}{2} - a = a - \dfrac{5}{2} \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$

Từ đó $b = \dfrac{7}{2} - a = \dfrac{7}{2} - 3 = \dfrac{1}{2}$

Vậy $f\left( x \right) = 3x + \dfrac{1}{2}.$

+ Thay $x = 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được $f\left( 1 \right) = {3.1^3} + 2a{.1^2} + a.1 - 5 = 3a - 2$

+ Thay $x =  - 1$ vào $g\left( x \right)$ ta được $g\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 3a.\left( { - 1} \right) - 4 =  - 3a - 3$

+ Để $f\left( 1 \right) = g\left( { - 1} \right)$ thì $3a - 2 =  - 3a - 3 \Rightarrow 6a =  - 1$$\Rightarrow a =  - \dfrac{1}{6}.$

Vậy $a =  - \dfrac{1}{6}.$

Thay $x =  - 1$ vào $Q\left( x \right) = 3ax + 5$ ta được: $Q\left( { - 1} \right) = 3a.( - 1) + 5 =  - 3a + 5$.

Mà $Q\left( { - 1} \right) = 3$ nên $- 3a + 5 = 3 \Rightarrow  - 3a =  - 2 \Rightarrow a = \dfrac{2}{3}$.

Vậy $a = \dfrac{2}{3}$.

Ta có: $\left( {a + 1} \right){x^4} - 4{x^3} + {x^4} - 3{x^2} + x$$= {\rm{[}}\left( {a + 1} \right){x^4} + {x^4}{\rm{]}} - 4{x^3} - 3{x^2} + x$

$= \left( {a + 2} \right){x^4} - 4{x^3} - 3{x^2} + x$

Để đa thức đã cho có bậc là: $3$ thì $a + 2 = 0$ hay $a =  - 2.$

Vậy $a =  - 2.$

Ta có: ${x^3} + {x^2} - x + \left( {2a - 3} \right){x^5} - 3b - 1$$= \left( {2a - 3} \right){x^5} + {x^3} + {x^2} - x - 3b - 1$.

Hệ số cao nhất của đa thức đã cho là $2a - 3$ nên $2a - 3 = 3 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$.

Hệ số tự do của đa thức đã cho là: $- 3b - 1$ nên $- 3b - 1 = 8 \Rightarrow  - 3b = 9 \Rightarrow b =  - 3$.

Vậy $a = 3; b =  - 3$.

Thay $x =  - 1$ vào $P\left( x \right) = 100{x^{100}} + 99{x^{99}} + 98{x^{98}} + ... + 2{x^2} + x$ ta được:

$P\left( { - 1} \right) = 100.{( - 1)^{100}} + 99.{( - 1)^{99}} + 98.{( - 1)^{98}} + 97.{( - 1)^{97}} + ... + 2.{( - 1)^2} + ( - 1)$

$= 100 - 99 + 98 - 97 + ... + 2 - 1$ $= (100 - 99) + (98 - 97) + ... + (2 - 1)$ $= \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{50\,\,so\,\,1}$ $= 50.1 = 50$

Vậy $P\left( { - 1} \right) = 50$.

Ta có: $f\left( x \right) = {x^{99}} - 101{x^{98}} + 101{x^{97}} - 101{x^{96}} + ... + 101x - 1$

$= {x^{99}} - (100 + 1){x^{98}} + (100 + 1){x^{97}} - ... - (100 + 1){x^2} + (100 + 1)x - 1$

$= {x^{99}} - 100{x^{98}} - {x^{98}} + 100{x^{97}} + ... -100x^2 - {x^2} + 100x + x - 1$

$= ({x^{99}} - 100{x^{98}}) - ({x^{98}} - 100{x^{97}}) + ... - ({x^2} - 100x) + x - 1$

Thay $x = 100$ vào $f(x)$ ta được:

$f(100) = ({100^{99}} - {100.100^{98}}) - ({100^{98}} - {100.100^{97}}) + ... - ({100^2} - 100.100) + 100 - 1$

$= ({100^{99}} - {100^{99}}) - ({100^{98}} - {100^{98}}) + ... - ({100^2} - {100^2}) + 99 = 99$

Vậy $f(100) = 99$.

Ta có: $f\left( x \right) = a{x^3} + 4x\left( {{x^2} - 1} \right) + 8$$= a{x^3} + 4x{x^2} - 4x + 8 = a{x^3} + 4{x^3} - 4x + 8 = (a + 4){x^3} - 4x + 8$

$g\left( x \right) = {x^3} - 4x\left( {bx + 1} \right) + c - 5$$= {x^3} - 4xbx - 4x + c - 5 = {x^3} - 4b{x^2} - 4x + c - 5$

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ ta được: $f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right)$$\Rightarrow (a + 4){.0^3} - 4.0 + 8 = {0^3} - 4b{.0^2} - 4.0 + c - 5$

$\Rightarrow 8 = c - 5 \Rightarrow c = 13$

Khi đó $g(x) = {x^3} - 4b{x^2} - 4x + 8$

Thay $x = 1$ vào $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ ta được: $f\left( 1 \right) = g\left( 1 \right)$$\Rightarrow (a + 4){.1^3} - 4.1 + 8 = {1^3} - 4b{.1^2} - 4.1 + 8$

$\Rightarrow a + 4 - 4 + 8 = 1 - 4b - 4 + 8 \Rightarrow a + 8 = 5 - 4b \Rightarrow a =  - 3 - 4b\,\, (1)$

Thay $x =  - 1$ vào $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ ta được: $f\left( { - 1} \right) = g\left( { - 1} \right)$$\Rightarrow (a + 4).{( - 1)^3} - 4.( - 1) + 8 = {( - 1)^3} - 4b.{( - 1)^2} - 4.( - 1) + 8$

$\Rightarrow  - a - 4 + 4 + 8 =  - 1 - 4b + 4 + 8 \Rightarrow  - a + 8 = 11 - 4b \Rightarrow a = 4b - 3\,\, (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $- 3 - 4b = 4b - 3 \Rightarrow 8b = 0 \Rightarrow b = 0$

Thay $b = 0$ vào $(1)$ ta được: $a =  - 3.$

Vậy $a =  - 3;b = 0;c = 13$.