Cho \(f\left( x \right) = a{x^3} + 4x\left( {{x^2} - 1} \right) + 8;\)\(g\left( x \right) = {x^3} - 4x\left( {bx + 1} \right) + c - 5\) với \(a,b,c\) là hằng số. Xác định \(a,b,c\) để \(f\left( x \right) = g\left( x \right).\)

Ta có: \(f\left( x \right) = a{x^3} + 4x\left( {{x^2} - 1} \right) + 8\)\( = a{x^3} + 4x{x^2} - 4x + 8 = a{x^3} + 4{x^3} - 4x + 8 = (a + 4){x^3} - 4x + 8\)

\(g\left( x \right) = {x^3} - 4x\left( {bx + 1} \right) + c - 5\)\( = {x^3} - 4xbx - 4x + c - 5 = {x^3} - 4b{x^2} - 4x + c - 5\)

Thay \(x = 0\) vào \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ta được: \(f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right)\)\( \Rightarrow (a + 4){.0^3} - 4.0 + 8 = {0^3} - 4b{.0^2} - 4.0 + c - 5\)

\( \Rightarrow 8 = c - 5 \Rightarrow c = 13\)

Khi đó \(g(x) = {x^3} - 4b{x^2} - 4x + 8\)

Thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ta được: \(f\left( 1 \right) = g\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow (a + 4){.1^3} - 4.1 + 8 = {1^3} - 4b{.1^2} - 4.1 + 8\)

\( \Rightarrow a + 4 - 4 + 8 = 1 - 4b - 4 + 8 \Rightarrow a + 8 = 5 - 4b \Rightarrow a =  - 3 - 4b\,\, (1)\)

Thay \(x =  - 1\) vào \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ta được: \(f\left( { - 1} \right) = g\left( { - 1} \right)\)\( \Rightarrow (a + 4).{( - 1)^3} - 4.( - 1) + 8 = {( - 1)^3} - 4b.{( - 1)^2} - 4.( - 1) + 8\)

\( \Rightarrow  - a - 4 + 4 + 8 =  - 1 - 4b + 4 + 8 \Rightarrow  - a + 8 = 11 - 4b \Rightarrow a = 4b - 3\,\, (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \( - 3 - 4b = 4b - 3 \Rightarrow 8b = 0 \Rightarrow b = 0\)

Thay \(b = 0\) vào \((1)\) ta được: \(a =  - 3.\)

Vậy \(a =  - 3;b = 0;c = 13\).