Từ vuông góc đến song song

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a\, \bot c\end{array} \right. \Rightarrow \,b//c$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}a \bot c\\b \bot c\end{array} \right. \Rightarrow a\,//\,b$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

Vì $a//b$ nên $\widehat {{C_4}} + \widehat {{D_5}} = {180^o}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau).

$\Rightarrow \widehat {{C_4}} = {180^o} - \widehat {{D_5}} = {180^o} - {64^o} = {116^o}$

Từ đề bài ta có: $a \bot c;b \bot c$ suy ra $a//b$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Vì $a//b\,\,(cmt)$ nên $\widehat {ABN} + \widehat {MAB} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía bù nhau).

Mà $\widehat {ABN} = 2\widehat {MAB}$ nên $2\widehat {MAB} + \widehat {MAB} = 180^\circ  \Rightarrow 3\widehat {MAB} = {180^o} \Rightarrow \widehat {MAB} = {180^o}:3 = {60^o}.$

Vậy $\widehat {MAB} = 60^\circ .$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AD\,//\,BC\\AD \bot DC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot DC$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

Theo đề bài: $AD//\,BC \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ABC} = {180^0}$ (2 góc trong cùng phía bù nhau).

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} - {110^0} = {70^0}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot a\\AB \bot b\end{array} \right. \Rightarrow a//\,b$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

Vì $a//b\,\,(cmt)$ nên $\widehat {aHI} + \widehat {IFB} = {180^o}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau).

$\Rightarrow \widehat {IFB} = {180^o} - \widehat {aHI} = {180^o} - {140^o} = {40^o}.$

Ta có: $AB \bot BC;DC \bot BC$ $\Rightarrow AB//DC$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra $\widehat {ADC} + \widehat {BAD} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía bù nhau).

$\Rightarrow \widehat {ADC} = 180^\circ  - \widehat {BAD} = 180^\circ  - 100^\circ  = 80^\circ$

Vậy $\widehat {ADC} = 80^\circ .$

Theo đề bài ta có: $a \bot y,\,b \bot y \Rightarrow a//\,b$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

$\Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = {180^0}$ (2 góc trong cùng phía bù nhau).

Lại có: $\widehat {{A_1}} - \widehat {{B_1}} = {36^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \left( {{{180}^0} + {{36}^0}} \right):2 = {108^0}$.

Trong $\widehat {ACD}$ vẽ tia $CF$ song song với $AB$.

Vì $AB//\,CF$ (theo cách vẽ) nên $\widehat {BAC} + \widehat {{C_1}} = {180^o}$ (2 góc trong cùng phía bù nhau).

$\Rightarrow \widehat {{C_1}} = {180^o} - \widehat {BAC} = {180^o} - {140^o} = {40^o}.$

Theo đề bài ta có: $AB//DE$ và $CF//AB$ (theo cách vẽ) nên $CF//DE$

Vì $CF//DE$ nên $\widehat {{C_2}} + \widehat {CDE} = {180^o}$ (2 góc trong cùng phía bù nhau).

$\Rightarrow \widehat {{C_2}} = {180^o} - \widehat {CDE} = {180^o} - {120^o} = {60^o}.$

Vì tia $CF$ nằm trong $\widehat {ACD}$ nên tia $CF$ nằm giữa hai tia $CA$ và tia $CD$, ta có:

$\widehat {ACD} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = {40^o} + {60^o} = {100^o}.$

Trong $\widehat {BCE}$ vẽ tia $CF$ song song với $AB$.

Vì $AB//CF$ (theo cách vẽ) nên $\widehat {ABC} = \widehat {BCF} = {40^o}$ (hai góc so le trong bằng nhau).

Theo đề bài: $AB//DE$ và $AB//CF$ (theo cách dựng) nên $CF//DE$.

Vì $CF//DE\,(cmt)$ nên $\widehat {FCE} = \widehat {CED} = {30^o}$ (hai góc so le trong bằng nhau).

Vì tia $CF$ nằm trong $\widehat {BCE}$ (theo cách vẽ) nên tia $CF$ nằm giữa hai tia $CB$ và tia $CE$, ta có:

$\widehat {BCE} = \widehat {BCF} + \widehat {FCE} = {40^o} + {30^o} = {70^o}.$

Trong $\widehat {NOP}$ vẽ tia $Ox$ song song với $MN.$

Vì $MN//Ox$ (theo cách vẽ) nên $\widehat {MNO} = \widehat {NOx} = \alpha$ (hai góc so le trong bằng nhau).

Vì $Ox$ nằm trong $\widehat {NOP}$ nên tia $Ox$ nằm giữa hai tia $ON,\,OP$ do đó ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {NOP} = \widehat {NOx} + \widehat {xOP}\\ \Rightarrow \widehat {xOP} = \widehat {NOP} - \widehat {NOx} = \left( {\alpha  + \beta } \right) - \alpha  = \beta \end{array}$

Ta có: $\widehat {xOP} = \widehat {OPQ} = \beta$ mà $\widehat {xOP}$ và $\widehat {OPQ}$ ở vị trí so le trong nên $Ox//PQ$.

$MN//Ox$ (theo cách vẽ) và $Ox//PQ\,(cmt)$ nên $MN//PQ.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a//b\\a\, \bot c\end{array} \right. \Rightarrow \,b \bot c$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a//c\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a//\,b$  (hai đường thẳng cùng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)

Vì $\left\{ \begin{array}{l}a \bot d\\b \bot d\end{array} \right. \Rightarrow a\,//\,b$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

$\Rightarrow \widehat {ADF} + \widehat {DFB} = {180^0}$(2 góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat {DFB} = {180^0} - \widehat {ADF}$ $= {180^0} - {72^0} = {108^0}$

Từ đề bài ta có $a \bot c;b \bot c \Rightarrow a//b$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra $\widehat {ABN} + \widehat {MAB} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

mà $\widehat {ABN} - \widehat {MAB} = 40^\circ$

 nên $\widehat {ABN} = \dfrac{{180^\circ  + 40^\circ }}{2} = 110^\circ$ và $\widehat {MAB} = 180^\circ  - \widehat {ABN}$$= 180^\circ  - 110^\circ  = 70^\circ$

Vậy $\widehat {BAM} = 70^\circ .$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a\,//\,b\\AB \bot a\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot b$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

Vì $a//\,b\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} + \widehat {BC{\rm{D}}} = {180^0}$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = {180^0} - \widehat {BC{\rm{D}}} = {180^0} - {120^0} = {60^0}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot a\\AB \bot b\end{array} \right. \Rightarrow a//\,b$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

$\Rightarrow \widehat {BFH} = \widehat {AHF} = {50^0}$ (so le trong)

Ta thấy $AB \bot BC;DC \bot BC$ $\Rightarrow AB//DC$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra $\widehat {ADC} + \widehat {BAD} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat {BAD} = 180^\circ  - \widehat {ADC} = 180^\circ  - 85^\circ  = 95^\circ$

Vậy $\widehat {BAD} = 95^\circ .$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a \bot y\\b \bot y\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow a//\,b$ (quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)

$\Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = {180^0}$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Lại có: $\widehat {{A_1}} - \widehat {{B_1}} = {40^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \left( {{{180}^0} - {{40}^0}} \right):2 = {70^0}$

Qua $G$ kẻ $GH//AD.$

Vì $A{\rm{D}}//\,GH \Rightarrow \widehat {GA{\rm{D}}} + \widehat {AGH} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AGH} = {180^0} - \widehat {GA{\rm{D}}} = {180^0} - {110^0} = {70^0}$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}A{\rm{D}}//\,GH\\A{\rm{D}}//\,BC\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow GH//\,BC$

$\Rightarrow \widehat {HGB} + \widehat {GBC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {HGB} = {180^0} - \widehat {GBC} = {180^0} - {140^0} = {40^0}$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

$\widehat {AGB} = \widehat {AGH} + \widehat {HGB} = {70^0} + {40^0} = {110^0}$