Giá trị của một biểu thức đại số

Thay $x =  - 3;y =  - 2;z = 3$ vào biểu thức $D$  ta có:

$2.{( - 3)^3} - 3.{( - 2)^2} + 8.3 + 5 = 2.( - 27) - 3.4 + 24 + 5$

$=  - 54 - 12 + 24 + 5 =  - 66 + 24 + 5 =  - 42 + 5 =  - 37$

Vậy $D = -37$ tại $x =  - 3;y =  - 2;z = 3$.

Ta có $D = {x^2}\left( {x + y} \right) - {y^2}\left( {x + y} \right) + {x^2} - {y^2} + 2\left( {x + y} \right) + 3$

$= \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2\left( {x + y} \right) + 2 + 1$

$= \left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 2\left( {x + y + 1} \right) + 1$

$= \left( {{x^2} - {y^2}} \right).0 + 2.0 + 1 = 1$  vì $x + y + 1 = 0$

Vậy $D = 1$ khi $x + y + 1 = 0$.

Từ $x + y + z = 0 \Rightarrow x + y =  - z;y + z =  - x;x + z =  - y$ thay vào $M$ ta được

$M = \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)$ $= \left( { - z} \right).\left( { - x} \right).\left( { - y} \right) =  - xyz$ mà $xyz = 4$ nên $M =  - 4.$

Vậy với $xyz = 4$ và $x + y + z = 0$ thì $M =  - 4.$

Để biểu thức đại số $25 - {x^2}$ có giá trị bằng $0$  thì $25 - {x^2} = 0$$\Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow x = 5$ hoặc $x =  - 5.$

Với $A = 0$ thì $(x +1)(x^2 +2) = 0$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{x^2} + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x + 1 = 0\,\,(do\,{x^2} + 2 > 0,\,\forall x \in R)$$\Rightarrow x =  - 1.$

Vậy giá trị của $A$  là $0$  tại $x = -1.$

Có $1$ giá trị của $x$ để $A = 0.$

Ta có $C = 0 \Rightarrow$${\left( {x + 1} \right)^2} + 3\left| {y - 2} \right| = 0$ mà ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0;\,3\left| {y - 2} \right| \ge 0$ nên ${\left( {x + 1} \right)^2} + 3\left| {y - 2} \right| \ge 0$

Từ đó dấu “=” xảy ra khi  $x + 1 = 0$ và $y - 2 = 0$

Hay $x =  - 1;y = 2.$

Vậy $C = 0$ khi $x =  - 1;y = 2.$

Ta có ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in R,\,y \in R$ nên $A = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + 5 \ge 5$ với mọi $x \in R,\,y \in R$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.$

Giá trị nhỏ nhất của $A$ là $5$ khi $x = 3;y = 2.$

Vì $\left| {3x - 5} \right| \ge 0$ với mọi $x$  $\Rightarrow \,B \le 8 - 0 = 8$ với mọi $x.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \,3x - 5 = 0\, \Rightarrow x = \dfrac{5}{3}$.

Vậy B đạt giá trị lớn nhất là $8$  tại $x = \dfrac{5}{3}$.

Ta có ${\left( {{x^2} - 4} \right)^2} \ge 0;\,\,\left| {y - 5} \right| \ge 0$với mọi $x \in R,\,y \in R$nên $P = {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} + \left| {y - 5} \right| - 1 \ge  - 1$ với mọi $x \in R,\,y \in R$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 5\end{array} \right.$

Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $- 1$ khi $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.$  hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 5\end{array} \right.$

Vì ${\left( {{y^2} - 25} \right)^4} \ge 0$ với mọi $x$  $\Rightarrow \,M \le 10 - 0 = 10$ với mọi $x.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \,{y^2} - 25 = 0\, \Rightarrow y = 5$ hoặc $y =  - 5.$

Vậy $M$  đạt giá trị lớn nhất là $10$  tại $y = 5$hoặc $y =  - 5.$