Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Trên hai cạnh góc vuông \(AB, AC\) lấy lần lượt hai điểm \(M\) và \(N\). So sánh \(MN\) và \(BC.\)

\(\Delta AMN\) có \(\widehat {MAN} = {90^o}\) nên  \(\widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {90^o}\) suy ra \(\widehat {AMN} < {90^o}\).

Ta có \(\widehat {AMN} + \widehat {NMB} = {180^o}\) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {NMB} = {180^o} - \widehat {AMN} > {180^o} - {90^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {NMB} > {90^o}\) hay \(\widehat {NMB}\) là góc tù.

Xét \(\Delta MNB\) có \(\widehat {NMB}\) là góc tù nên \(BN > MN\)        (1)

\(\Delta ABN\) có \(\widehat {BAN} = {90^o}\) nên \(\widehat {ABN} + \widehat {ANB} = {90^o}\) suy ra \(\widehat {ANB} < {90^o}.\)

Ta có \(\widehat {ANB} + \widehat {CNB} = {180^o}\) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {CNB} = {180^o} - \widehat {ANB} > {180^o} - {90^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {CNB} > {90^o}\) hay \(\widehat {CNB}\) là góc tù.

Xét \(\Delta BCN\) có \(\widehat {CNB}\) là góc tù nên \(BC > BN\)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN < BN < BC\) hay \(MN < BC.\)