Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vẽ phân giác \(BD.\) So sánh \(AB\) và \(AD\), \(AD\) và \(DC.\)
Trả lời bởi giáo viên
Từ \({\rm{D}}\) kẻ đường vuông góc với \(BC\) cắt \(BC\) tại \(H.\)
Xét hai tam giác vuông \(ABD\) và \(HBD\) có:
\(BD\) cạnh chung
\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = {90^o}\)
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))
\(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).
\( \Rightarrow AD = HD\) (hai cạnh tương ứng).
Ta có \(\widehat {{D_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta BDH\) nên ta có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}} + \widehat {DCH} \Rightarrow \widehat {{D_1}} > \widehat {{B_2}}\).
Mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\)) nên \(\widehat {{D_1}} > \widehat {{B_1}}\) suy ra \(AB > AD.\)
Xét \(\Delta DHC\) có \(\widehat {DHC} = {90^o}\) nên \(DC > HD.\)
Mặt khác \(AD = HD\,\,(cmt)\) nên \(DC > AD.\)
Hướng dẫn giải:
- Từ \({\rm{D}}\) kẻ đường vuông góc với \(BC\) cắt \(BC\) tại \(H.\) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra \(AD = HD\) (hai cạnh tương ứng).
- Ta có \(\widehat {ADB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta BDH\) nên ta có \(\widehat {ADB} = \widehat {DBH} + \widehat {DCH} \Rightarrow \widehat {ADB} > \widehat {DBH}\) từ đó lí luận để so sánh \(AB\) và \(AD.\)
- Xét \(\Delta DHC\) có \(\widehat {DHC} = {90^o}\) nên \(DC\) là cạnh lớn nhất từ đó so sánh \(DC\) và \(DH\). Mặt khác \(AD = HD\,(cmt)\) nên ta có so sánh được \(DC\) và \(AD.\)