Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vẽ phân giác \(BD.\) So sánh \(AB\) và \(AD\), \(AD\) và \(DC.\)

\(AB > AD; AD = DC\)

\(AB < AD; AD < DC\)

\(AB > AD; AD < DC\)

\(AB = AD; AD = DC\)

Xem đáp án

81 lượt xem

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - MÔN TOÁN - Lớp 7. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Từ \({\rm{D}}\) kẻ đường vuông góc với \(BC\) cắt \(BC\) tại \(H.\)

Xét hai tam giác vuông \(ABD\) và \(HBD\) có:

\(BD\) cạnh chung

\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = {90^o}\)

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\))

\(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).

\( \Rightarrow AD = HD\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(\widehat {{D_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta BDH\) nên ta có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}} + \widehat {DCH} \Rightarrow \widehat {{D_1}} > \widehat {{B_2}}\).

Mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\)) nên \(\widehat {{D_1}} > \widehat {{B_1}}\) suy ra \(AB > AD.\)

Xét \(\Delta DHC\) có \(\widehat {DHC} = {90^o}\) nên \(DC > HD.\)

Mặt khác \(AD = HD\,\,(cmt)\) nên \(DC > AD.\)

Hướng dẫn giải:

- Từ \({\rm{D}}\) kẻ đường vuông góc với \(BC\) cắt \(BC\) tại \(H.\) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra \(AD = HD\) (hai cạnh tương ứng).

- Ta có \(\widehat {ADB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta BDH\) nên ta có \(\widehat {ADB} = \widehat {DBH} + \widehat {DCH} \Rightarrow \widehat {ADB} > \widehat {DBH}\) từ đó lí luận để so sánh \(AB\) và \(AD.\)

- Xét \(\Delta DHC\) có \(\widehat {DHC} = {90^o}\) nên \(DC\) là cạnh lớn nhất từ đó so sánh \(DC\) và \(DH\). Mặt khác \(AD = HD\,(cmt)\) nên ta có so sánh được \(DC\) và \(AD.\)