Cho tam giác \(ABC\), có \(G\) là trọng tâm và các đường trung tuyến \(AM,BN,CP\). Trên tia \(AG\) kéo dài lấy \(D\) sao cho \(G\) là trung điểm của \(AD.\) So sánh các cạnh của tam giác \(BGD\) với các đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

\(\Delta ABC\) có \(G\) là trọng tâm và các đường trung tuyến \(AM,BN,CP\) nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

\(AG = \dfrac{2}{3}AM;BG = \dfrac{2}{3}BN;\,CG = \dfrac{2}{3}CP\).

Vì \(G\) là trung điểm của \(AD\) nên \(GD = AG\) mà \(AG = \dfrac{2}{3}AM\, (cmt)\), do đó \(GD = \dfrac{2}{3}AM\)

Ta có: \(GD = AG = 2GM\) (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà \(GD = GM + MD \Rightarrow 2GM = GM + MD\) \( \Rightarrow GM = MD\)

Xét \(\Delta BMD\) và \(\Delta CMG\) có:

\(GM = MD\) (cmt)

\(\widehat {BMD} = \widehat {CMG}\) (hai góc đối đỉnh)

\(BM = MC\) (vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) )

Do đó \(\Delta BMD = \Delta CMG (c.g.c)\)

Suy ra \(BD = CG\) (hai cạnh tương ứng) mà \(CG = \dfrac{2}{3}CP\) (cmt) nên \(BD = \dfrac{2}{3}CP\)

Vậy \(BG = \dfrac{2}{3}BN\); \(GD = \dfrac{2}{3}AM\); \(BD = \dfrac{2}{3}CP\).