Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý:  Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Số cần điền là \(\dfrac{2}{3}.\)

Ta có $AD;BE$  và $CF$  là ba đường trung tuyến của tam giác $ABC$  và chúng cắt nhau tại $G$  nên $G$  là trọng tâm của tam giác \(ABC\) .

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có : \(\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BE\).

Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là \(\dfrac{2}{3}.\)

Theo câu trước ta có $G$  là trọng tâm của tam giác \(ABC\) .

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có : \(\dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{GD}} = 2 \Rightarrow AG = 2GD\).

Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là $2.$

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(AM\) là đường trung tuyến nên \(AG = \dfrac{2}{3}AM\) (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $AG = \dfrac{2}{3}.9 = 6\,cm.$

Các tia $AG,BG$ và $CG$  cắt $BC,AC,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ thì $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC,AB.$

Mà   $BC = AC = AB$ (do tam giác $ABC$ là tam giác đều), do đó $BD = DC = CE = EA = AF = FB$

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) ta có:  $AB = AC;$ \(\widehat A\) chung; $AE = AF.$

Vậy \(\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = CF\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)\), suy ra $BE = AD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có:  $AD = BE = CF\left( 3 \right)$

Theo đề bài $G$  là trọng tâm của tam giác $ABC$  nên ta có:

\(GA = \dfrac{2}{3}AD;\,\,GB = \dfrac{2}{3}BE;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CF\)

Vì thế từ (3) ta suy ra $GA = GB = GC.$

Hai đường trung tuyến \(BD;CE\) cắt nhau tại \(G\) suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

Suy ra \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\) mà \(BD = CE \Rightarrow \)\(BG = CG.\) Từ đó \(BD - BG = CE - CG \Rightarrow GD = GE\)

Xét tam giác \(BGE\) và tam giác \(CGD\) có

+ \(BG = CG\)

+ \(\widehat {BGE} = \widehat {CGD}\)  (đối đỉnh)

+ \(GD = GE\)

Nên \(\Delta BGE = \Delta CGD\left( {c - g - c} \right)\) suy ra \(BE = CD \Rightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC\) do đó \(AB = AC\) hay tam giác $ABC$ cân tại \(A.\) 

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) là \(G\) thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\)

Mà \(BD = 9\,cm;\,CE = 12\,cm\) nên \(BG = \dfrac{2}{3}.9 = 6\,cm;\,CG = \dfrac{2}{3}.12\,cm = 8\,cm.\)

Xét tam giác \(BGC\) vuông tại $G,$ theo định lý Pytago ta có

\(B{C^2} = B{G^2} + C{G^2}\)

\(B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) hay \(BC = 10\,cm.\)

Vậy \(BC = 10\,cm.\)

Gọi \(G\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Trong \(\Delta GBC\) ta có \(BG + CG > BC\)

Ta lại có \(BG = \dfrac{2}{3}BD;\,CG = \dfrac{2}{3}CE\) (tính chất các đường trung tuyến của tam giác \(ABC\))

Từ đó \(\dfrac{2}{3}BD + \dfrac{2}{3}CE > BG + CG\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC\)\( \Rightarrow BD + CE > \dfrac{3}{2}BC.\)

\(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(BI = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{1}{3}BE\)  \(\left( 1 \right)\)

\(K\) là trọng tâm tam giác \(ACE\) nên \(EK = \dfrac{2}{3}ED = \dfrac{1}{3}BE\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(IK = \dfrac{1}{3}BE\) từ đó \(BI = EK = IK\) .

\(\Delta ABC\)vuông tại $A$  nên theo định lí Py-ta-go ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \(\Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {13^2} - {5^2} = 144\)\( \Rightarrow AC = 12\,cm\)

Ta có $AM,BN,CE$ là các đường trung tuyến ứng với các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác vuông $ABC$

Suy ra $M,N,E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AC,AB.$

$ \Rightarrow AN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6\,cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác $ABN$  vuông tại $A$  ta có: $A{B^2} + A{N^2} = B{N^2} $ $\Rightarrow {5^2} + {6^2} = B{N^2} \Rightarrow B{N^2} = 61$$ \Rightarrow BN = \sqrt {61} \,cm$

Gọi $MH$  là đường cao kẻ từ $M$  xuống cạnh $BC,NK$ là đường cao kẻ từ $N$  xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$  và $NF$  cắt nhau tại $O$  nên $O$  là trọng tâm tam giác $MNP,$  do đó \(MO = \dfrac{2}{3}ME\).

Có $ME$  là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$  nên $E$  là trung điểm của $NP,$  suy ra $NP = 2.NE$

Ta có:

\(\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow {S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}\)

\(\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}\)

Từ đó suy ra

\({S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}\) \( \Rightarrow {S_{MNP}} = 3.8 = 24\,c{m^2}\)

Ta có: \(MB = MC\) (vì \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) của \(\Delta ABC)\); \(BE = CF\) (gt)

Mà \(ME = MB + BE;MF = MC + CF\)

Suy ra \(ME = MF\).

Do đó \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(EF\) của \(\Delta AEF\)

Mặt khác \(AG = \dfrac{2}{3}AM\) (do G là trọng tâm \(\Delta ABC)\)

Vậy G là trọng tâm \(\Delta AEF\).

Theo câu trước ta có: \(G\) là trọng tâm \(\Delta AEF\) nên \(EG = \dfrac{2}{3}EN\) (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà \(GI = \dfrac{1}{2}EG\) (vì \(I\) là trung điểm của \(EG\))

Suy ra \(GI = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}EN = \dfrac{1}{3}EN\)

Mặt khác \(GN = \dfrac{1}{3}EN\) (vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta AEF\))

Do đó \(GI = GN\).

Theo câu trước ta có: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\) mà \(GH = \dfrac{1}{2}AG\) (vì \(H\) là trung điểm của \(AG\))

Suy ra \(GH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}AM = \dfrac{1}{3}AM\)

Mặt khác \(GM = \dfrac{1}{3}AM\) (vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta AEF\))

Do đó \(GH = GM\).

Xét \(\Delta GHI\) và \(\Delta GMN\) có:

\(GI = GN\) (cmt)

\(\widehat {HGI} = \widehat {NGM}\) (hai góc đối đỉnh)

\(GH = GM\) (cmt)

Vậy \(\Delta GHI = \Delta GMN\,(c.g.c)\) \(\Rightarrow HI = MN\) (hai cạnh tương ứng); \(\widehat {IHG} = \widehat {NMG}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {IHG};\widehat {NMG}\) ở vị trí so le trong nên \(HI//MN\).