Cho tam giác $MNP,$  hai đường trung tuyến $ME$  và $NF$  cắt nhau tại $O.$  Tính diện tích tam giác $MNP,$  biết diện tích tam giác $MNO$  là \(8c{m^2}\).

Gọi $MH$  là đường cao kẻ từ $M$  xuống cạnh $BC,NK$ là đường cao kẻ từ $N$  xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$  và $NF$  cắt nhau tại $O$  nên $O$  là trọng tâm tam giác $MNP,$  do đó \(MO = \dfrac{2}{3}ME\).

Có $ME$  là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$  nên $E$  là trung điểm của $NP,$  suy ra $NP = 2.NE$

Ta có:

\(\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow {S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}\)

\(\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow {S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}\)

Từ đó suy ra

\({S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}\) \( \Rightarrow {S_{MNP}} = 3.8 = 24\,c{m^2}\)