Cho tam giác $ABC$  vuông tại $A$ có $AB = 5cm,BC = 13cm$ . Ba đường trung tuyến $AM,BN,CE$ cắt nhau tại $O.$  

Độ dài trung tuyến $BN$  là :

\(\Delta ABC\)vuông tại $A$  nên theo định lí Py-ta-go ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \(\Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {13^2} - {5^2} = 144\)\( \Rightarrow AC = 12\,cm\)

Ta có $AM,BN,CE$ là các đường trung tuyến ứng với các cạnh $BC,AC,AB$ của tam giác vuông $ABC$

Suy ra $M,N,E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AC,AB.$

$ \Rightarrow AN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6\,cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác $ABN$  vuông tại $A$  ta có: $A{B^2} + A{N^2} = B{N^2} $ $\Rightarrow {5^2} + {6^2} = B{N^2} \Rightarrow B{N^2} = 61$$ \Rightarrow BN = \sqrt {61} \,cm$