Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Trên tia đối của tia $MA$  lấy điểm $N$  sao cho $MN = MA.$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$  (gt) \( \Rightarrow MB = MC\) (tính chất trung điểm)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MNC\) có:

\(MB = MC\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (đối đỉnh)

\(AM = MN\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta MAB = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow NC = AB\left( 1 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACN\) có: \(AN < AC + CN\left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow AN < AC + AB\).

Mặt khác, \(AN = 2AM\left( {gt} \right) \Rightarrow 2AM < AB + AC.\)

Gọi giao điểm của $AO$  và $BC$  là $D.$  Do $O$  nằm trong \(\Delta ABC\) nên $D$  nằm giữa $B$  và $C$\( \Rightarrow BC = BD + DC\left( * \right)\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(AD < AB + BD\) (bất đẳng thức tam giác)

\( \Rightarrow OA + OD < AB + BD\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta OCD\) có: \(OC < OD + DC\left( 2 \right)\) (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vế với vế của \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(OA + OD + OC < AB + BD + OD + DC\) \( \Rightarrow OA + OC < AB + BD + DC\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) ta có: \(OA + OC < AB + BC.\)

Gọi độ dài cạnh còn lại  là \(x\left( {x > 0} \right)\). Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(7 - 2 < x < 7 + 2 \Leftrightarrow 5 < x < 9\). Vì $x$  là số nguyên nên $x \in \left\{ {6;7;8} \right\}.$

Vì có ba giá trị của \(x\) thỏa mãn nên có ba tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài.

Xét tam giác \(AED\) có \(AE + ED > AD\,\,\,\left( 1 \right)\) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác \(ECD\) có \(CE + DE > CD\,\,\left( 2 \right)\) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác \(EBC\) có \(EB + EC > BC\,\left( 3 \right)\) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác \(ABE\) có \(AE + EB > AB\,\,\,\left( 4 \right)\) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right);\left( 4 \right)\) ta có \(AE + DE + CE + DE + BE + CE + AE + BE > AD + CD + BC + AB\)

Mà \(AE + EC = AC;\,DE + BE = BD\) nên \(2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA\) .

Kéo dài \(BM\) cắt \(AC\) tại \(E\) .

Xét tam giác \(BEC\) có \(BE < EC + BC\) và xét tam giác \(AME\) có \(MA < ME + EA\) (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Suy ra \(MA + MB < ME + MB + EA\)\( < BE + EA < EC + BC + EA\) mà $EC+EA=AC$

nên \(MA + MB < AC + CB\) .

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là \(a,b,c.\) Chu vi tam giác là \(\dfrac{{a + b + c}}{2}\)

Ta có \(a < b + c \Rightarrow a + a < a + b + c\)\( \Rightarrow 2a < a + b + c \Rightarrow a < \dfrac{{a + b + c}}{2}\)

Tương tự ta cũng có \(b < \dfrac{{a + b + c}}{2};c < \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)

Nên độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi tam giác.

Xét \(\Delta AMB\)có: \(AM > AB - BM\)(bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta AMC\)có: \(AM > AC - MC\)(bất đẳng thức tam giác)

Vì M nằm giữa B và C (gt) \( \Rightarrow BC = BM + MC\)

Cộng theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được: \(2AM > AB + AC - \left( {BM + MC} \right) \Rightarrow 2AM > AB + AC - BC.\)

Trên tia đối của tia \(MA\) ta lấy điểm \(A'\) sao cho \(MA = MA'.\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta A'MC\) có:

\(AM = A'M\) (cách vẽ)

\(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm \(BC\))

\(\widehat {AMB} = \widehat {A'MC}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta A'MC\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AB = A'C\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ACA'\) có: \(A'C - AC < AA' < A'C + AC\) (bất đẳng thức tam giác)

Mà \(AB = A'C\,\,(cmt);\,AA' = 2AM\) (theo cách vẽ) nên ta có:

\(\begin{array}{l}AB - AC < 2AM < AB + AC\\ \Rightarrow \dfrac{{AB - AC}}{2} < AM < \dfrac{{AB + AC}}{2}\end{array}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\)

Xét \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\), \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(ME = \dfrac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta BCF\) vuông tại \(F\), \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MF = \dfrac{1}{2}BC.\)

Do đó \(ME + MF = \dfrac{1}{2}BC + \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow ME + MF = BC\)           (1)

Ba điểm \(M,\,E,\,F\) nằm trên ba cạnh của tam giác \(ABC\) nên không thể thẳng hàng do đó ba điểm \(M,\,E,\,F\) tạo thành một tam giác.

Xét \(\Delta MEF\) có: \(ME + MF > EF\) (bất đẳng thức tam giác)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC > EF.\)

Nối đoạn thẳng AM.

Xét \(\Delta AMC\) có: \(AM < AC + CM\) (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét \(\Delta AMB\) có: \(AM < AB + MB\) (bất đẳng thức tam giác)    (2)

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) (gt) nên \(M\) nằm giữa \(B\) và \(C\) ta có: \(CM + MB = BC.\)

Cộng bất đẳng thức (1) và (2) theo vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}AM + AM < AC + CM + AB + MB\\ \Rightarrow 2AM < AB + \left( {CM + MB} \right) + AC\\ \Rightarrow 2AM < AB + BC + AC\\ \Rightarrow AM < \dfrac{{AB + BC + AC}}{2}\end{array}\)

Do đó \(AM\) nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác \(ABC\).