Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Trên tia đối của tia $MA$  lấy điểm $N$  sao cho $MN = MA.$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$  (gt) $\Rightarrow MB = MC$ (tính chất trung điểm)

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MNC$ có:

$MB = MC\left( {cmt} \right)$

$\widehat {AMB} = \widehat {NMC}$ (đối đỉnh)

$AM = MN\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta MAB = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow NC = AB\left( 1 \right)$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ACN$ có: $AN < AC + CN\left( 2 \right)$ (bất đẳng thức tam giác)

Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow AN < AC + AB$.

Mặt khác, $AN = 2AM\left( {gt} \right) \Rightarrow 2AM < AB + AC.$

Gọi giao điểm của $AO$  và $BC$  là $D.$  Do $O$  nằm trong $\Delta ABC$ nên $D$  nằm giữa $B$  và $C$$\Rightarrow BC = BD + DC\left( * \right)$

Xét $\Delta ABD$ có: $AD < AB + BD$ (bất đẳng thức tam giác)

$\Rightarrow OA + OD < AB + BD\left( 1 \right)$

Xét $\Delta OCD$ có: $OC < OD + DC\left( 2 \right)$ (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vế với vế của $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được:

$OA + OD + OC < AB + BD + OD + DC$ $\Rightarrow OA + OC < AB + BD + DC\left( {**} \right)$

Từ $\left( * \right)$ và $\left( {**} \right)$ ta có: $OA + OC < AB + BC.$

Gọi độ dài cạnh còn lại  là $x\left( {x > 0} \right)$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$7 - 2 < x < 7 + 2 \Leftrightarrow 5 < x < 9$. Vì $x$  là số nguyên nên $x \in \left\{ {6;7;8} \right\}.$

Vì có ba giá trị của $x$ thỏa mãn nên có ba tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài.

Xét tam giác $AED$ có $AE + ED > AD\,\,\,\left( 1 \right)$ (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác $ECD$ có $CE + DE > CD\,\,\left( 2 \right)$ (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác $EBC$ có $EB + EC > BC\,\left( 3 \right)$ (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Xét tam giác $ABE$ có $AE + EB > AB\,\,\,\left( 4 \right)$ (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right);\left( 4 \right)$ ta có $AE + DE + CE + DE + BE + CE + AE + BE > AD + CD + BC + AB$

Mà $AE + EC = AC;\,DE + BE = BD$ nên $2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA$ .

Kéo dài $BM$ cắt $AC$ tại $E$ .

Xét tam giác $BEC$ có $BE < EC + BC$ và xét tam giác $AME$ có $MA < ME + EA$ (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)

Suy ra $MA + MB < ME + MB + EA$$< BE + EA < EC + BC + EA$ mà $EC+EA=AC$

nên $MA + MB < AC + CB$ .

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là $a,b,c.$ Chu vi tam giác là $\dfrac{{a + b + c}}{2}$

Ta có $a < b + c \Rightarrow a + a < a + b + c$$\Rightarrow 2a < a + b + c \Rightarrow a < \dfrac{{a + b + c}}{2}$

Tương tự ta cũng có $b < \dfrac{{a + b + c}}{2};c < \dfrac{{a + b + c}}{2}.$

Nên độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi tam giác.

Xét $\Delta AMB$có: $AM > AB - BM$(bất đẳng thức tam giác)

Xét $\Delta AMC$có: $AM > AC - MC$(bất đẳng thức tam giác)

Vì M nằm giữa B và C (gt) $\Rightarrow BC = BM + MC$

Cộng theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được: $2AM > AB + AC - \left( {BM + MC} \right) \Rightarrow 2AM > AB + AC - BC.$

Trên tia đối của tia $MA$ ta lấy điểm $A'$ sao cho $MA = MA'.$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta A'MC$ có:

$AM = A'M$ (cách vẽ)

$MB = MC$ (vì $M$ là trung điểm $BC$)

$\widehat {AMB} = \widehat {A'MC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AMB = \Delta A'MC\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow AB = A'C$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ACA'$ có: $A'C - AC < AA' < A'C + AC$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà $AB = A'C\,\,(cmt);\,AA' = 2AM$ (theo cách vẽ) nên ta có:

$\begin{array}{l}AB - AC < 2AM < AB + AC\\ \Rightarrow \dfrac{{AB - AC}}{2} < AM < \dfrac{{AB + AC}}{2}\end{array}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$

Xét $\Delta BCE$ vuông tại $E$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên $ME = \dfrac{1}{2}BC.$

Xét $\Delta BCF$ vuông tại $F$, $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MF = \dfrac{1}{2}BC.$

Do đó $ME + MF = \dfrac{1}{2}BC + \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow ME + MF = BC$           (1)

Ba điểm $M,\,E,\,F$ nằm trên ba cạnh của tam giác $ABC$ nên không thể thẳng hàng do đó ba điểm $M,\,E,\,F$ tạo thành một tam giác.

Xét $\Delta MEF$ có: $ME + MF > EF$ (bất đẳng thức tam giác)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC > EF.$

Nối đoạn thẳng AM.

Xét $\Delta AMC$ có: $AM < AC + CM$ (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét $\Delta AMB$ có: $AM < AB + MB$ (bất đẳng thức tam giác)    (2)

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (gt) nên $M$ nằm giữa $B$ và $C$ ta có: $CM + MB = BC.$

Cộng bất đẳng thức (1) và (2) theo vế với vế ta được:

$\begin{array}{l}AM + AM < AC + CM + AB + MB\\ \Rightarrow 2AM < AB + \left( {CM + MB} \right) + AC\\ \Rightarrow 2AM < AB + BC + AC\\ \Rightarrow AM < \dfrac{{AB + BC + AC}}{2}\end{array}$

Do đó $AM$ nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác $ABC$.