Tam giác cân

Do tam giác ABC cân nên $\widehat B = \widehat C$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$ hay $\widehat A = {180^0} - 2\widehat C$

Sử dụng cách tính số đo các góc trong tam giác $ABC$ cân tại $A.$

Góc ở đỉnh $\widehat A = {180^0} - 2\widehat C$ và góc ở đáy $\widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}.$

Áp dụng ta có  số đo góc ở đáy bằng: $\dfrac{{{{180}^0} - {{64}^0}}}{2} = {58^0}$

Tổng số đo hai góc ở đáy là $70^o.2 = 140^\circ$

Vì tổng ba góc của tam giác bằng $180^\circ$ nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân này là

$180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ .$

Từ hình vẽ ta có $AB = AE;BC = DE$

Vì $AB = AE \Rightarrow \Delta ABE$ cân tại $A.$

Suy ra $\widehat B = \widehat E$  (hai góc ở đáy)

Xét tam giác $ABC$ và $AED$ có: $AB = AE;\widehat B = \widehat E\left( {cmt} \right);BC = DE$ nên $\Delta ABC = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)$

Do đó $AC = AD$ (hai cạnh tương ứng) suy ra $\Delta ACD$ cân tại $A.$

Vậy có hai tam giác cân trên hình vẽ.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (vì $AB = AC$ ) có $\widehat A = 40^\circ$ nên $\widehat B = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ  - 40^\circ }}{2} = 70^\circ$

Mà $\widehat {ACB}$ là góc ngoài của tam giác $ACD$ nên $\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA}$

Lại có $\Delta CAD$ cân tại $C \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CDA} = x$ (tính chất)

Nên  $\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA} = 2x \Rightarrow x = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}$$= \dfrac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ .$

Vậy $x = 35^\circ .$

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên $\widehat B = \widehat C = {45^0}$.

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$= \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và $\widehat {ANC} = {67^0}30'$.

Xét tam giác $AMN$  có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'$, do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Xét tam giác $AMN,$ ta có:

$\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)$$= {180^0} - {135^0} = {45^0}.$

Vậy $\widehat {MAN} = {45^0}.$

Do tam giác ABC cân nên $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}$

Ta thấy tam giác $ADE$  cân do $AD = AE.$

$\Rightarrow \widehat {ADE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}$

Do đó $\widehat B = \widehat {ADE}$ . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ED//BC.$

Vậy D là đáp án sai.

Tam giác $ABC$ có $\widehat A = 90^\circ ;\,AB = AC$ nên tam giác $ABC$ vuông cân.

Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân nên cả A, B, C đều đúng.

Từ giả thiết suy ra $AM = BM = CM$

Ta có $\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc trong tam giác) (1)

Lại có $\Delta AMB$ cân tại $M\,\left( {{\rm{do}}\,\,MA = MB} \right)$ nên $\widehat B = \widehat {BAM}$ (tính chất) (2)

Tương tự $\Delta AMC$ cân tại $M\,\left( {{\mathop{\rm do}\nolimits} \,\,MA = MC} \right)$ nên $\widehat C = \widehat {MAC}$ (tính chất) (3)

Từ (1); (2); (3) ta có $\widehat {BAC} + \widehat {BAM} + \widehat {CAM} = 180^\circ$ $\Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ$ $2.\widehat {BAC} = 180^\circ$ $\Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ .$

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$  (định lý tổng ba góc trong tam giác) và $\widehat A = 40^\circ ;\,\widehat B - \widehat C = 20^\circ \,\left( {gt} \right)$

Suy ra $\widehat B + \widehat C = 140^\circ$ nên $\widehat B = \dfrac{{140^\circ  + 20^\circ }}{2} = 80^\circ ;\,\widehat C = 60^\circ$

Xét tam giác $AEB$ cân tại $A$ (do $AB = AE\,\left( {gt} \right)$) nên $\widehat {AEB} = \widehat {ABE}$  (tính chất) (1)

Lại có $\widehat {BAC}$ là góc ngoài của tam giác $AEB \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = 20^\circ$

Do đó $\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 80^\circ  + 20^\circ  = 100^\circ .$

Lấy $E \in AD$ sao cho $AE = AB$ mà $AD = AB + AC$ nên $AC = DE.$

$\Delta ABE$ cân có $\widehat {BAD} = 60^\circ$ nên $\Delta ABE$ là tam giác đều suy ra $AE = EB.$

Thấy $\widehat {BED} = \widehat {EBA} + \widehat {EAB} = 120^\circ$  (góc ngoài tại đỉnh $E$ của tam giác $ABE$ )  nên $\widehat {BED} = \widehat {BAC}\left( { = 120^\circ } \right)$

Suy ra $\Delta EBD = \Delta {\rm A}BC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (hai góc tương ứng bằng nhau) và $BD = BC$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ$ nên $\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ .$

$\Delta BCD$ cân tại $B$ có $\widehat {CBD} = 60^\circ$ nên nó là tam giác đều.

+  Các tam giác $AMB$ và $ANC$  là các tam giác đều(gt) nên $\widehat {MAB} = {60^0},\,\,\,\widehat {NAC} = {60^0}$.

Ta có: $\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = {60^0} + {60^0} + {60^0} = {180^0}.$

Suy ra ba điểm $M,A,N$ thẳng hàng.

+  Ta có:

 $\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\\\widehat {BAN} = \widehat {CAN} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}$

Do đó $\widehat {MAC} = \widehat {BAN}$ .

Xét hai tam giác $ABN$  và $AMC$  có:

+) $AB = AM$ (do tam giác $AMB$ đều)

+) $\widehat {BAN} = \widehat {MAC}$ (cmt)

+) $AN = AC$ (do tam giác $ANC$ đều)

Do đó $\Delta ABN = \Delta AMC(c.g.c)$

Suy ra $BN = CM$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy cả A, B đều đúng.

$\Delta AMC$ đều nên $\widehat {AMC} = {60^o};\,AM = CM.$

$\Delta BMD$ đều nên $\widehat {BMD} = {60^o};\,MD = MB.$

$\widehat {AMD} = \widehat {AMC} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}$   (1)

$\widehat {CMB} = \widehat {BMD} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {AMD} = \widehat {CMB}$

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta CMB$ có:

$AM = CM\,\,(cmt)$

$\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\,\,(cmt)$

$MD = MB\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta AMD = \Delta CMB\,(c.g.c)$

$\Rightarrow AD = CB$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat {DAM} = \widehat {BCM}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta AEM$ và $\Delta CFM$ có:

$AM = CM\,(cmt)$

$\widehat {DAM} = \widehat {BCM}\,(cmt)$

$AE = CF\,\,\left( {\dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{CB}}{2}} \right)$

$\Rightarrow \Delta AEM = \Delta CFM\,(c.g.c)$

$\Rightarrow EM = FM$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {CMF}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {CME} = \widehat {CME} + \widehat {EMF}$

$\Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {EMF}$

$\Rightarrow \widehat {EMF} = {60^o}$

Xét $\Delta MEF$ có: $EM = FM\,(cmt);\,\widehat {EMF} = {60^o}\,(cmt)$ nên $\Delta MEF$ là tam giác đều.

Tam giác đều vừa là tam giác cân vừa là tam giác nhọn (vì có ba góc nhọn) nên cả A, B, C đều đúng.

Lấy điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $\widehat {BAM} = {30^o}.$

$\Delta AMB$ có $\widehat {BAM} = \widehat B = {30^o}$ nên là tam giác cân, suy ra $MA = MB$            (1)

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B + \widehat C = {90^o}$ $\Rightarrow \widehat C = {90^o} - \widehat B = {90^o} - {30^o} = {60^o}.$

Ta có: $\widehat {BAC} = \widehat {BAM} + \widehat {MAC}$

$\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAM} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.$

$\Delta AMC$ có: $\widehat {MAC} = \widehat C = {60^o}$ nên là tam giác đều, suy ra $AC = AM = MC$   (2)

Từ (1) và (2) ta có: $AC = MB = MC$ hay $AC = \dfrac{{BC}}{2}.$

$\Delta ABC$ cân tại $\widehat A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}.$

Ta có: $\widehat {CAD} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = {120^o} - {90^o} = {30^o}$

$\Delta ADC$ có: $\widehat C = \widehat {CAD} = {30^o}$ nên $\Delta ADC$ cân tại $D$, suy ra $DC = DA$      (1)

Ta có: $\widehat {ADB}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$ của $\Delta ADC$ nên $\widehat {ADB} = \widehat C + \widehat {CAD} = {30^o} + {30^o} = {60^o}.$

Trên cạnh $BD$ lấy $E$ sao cho $\widehat {BAE} = {30^o}$ thì $E$ nằm giữa $B$ và $D.$

$\Delta AEB$ có: $\widehat B = \widehat {BAE} = {30^o}$ nên $\Delta AEB$ cân tại $E$, suy ra $AE = EB$          (2)

Ta có: $\widehat {DAE} = \widehat {BAD} - \widehat {BAE} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.$

$\Delta ADE$ có: $\widehat {DAE} = \widehat {ADE} = {60^o}$ nên $\Delta ADE$ là tam giác đều, suy ra $DA = DE = AE$    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $DC = DE = EB = \dfrac{1}{3}BC.$

Do đó $BD = DE + EB = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}.6 = 4\,\left( {cm} \right).$

Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BD.$

$\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat {ABC} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{100}^o}}}{2} = {40^o}.$

$\Delta ABD$ cân tại $D$ nên $\widehat {DBA} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ADB}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{140}^o}}}{2} = {20^o}$.

Ta có: $\widehat {DBE} = \widehat {DBA} + \widehat {ABC} = {20^o} + {40^o} = {60^o}.$

Xét $\Delta BDE$ có: $\widehat {DBE} = {60^o}$ nên $\Delta BDE$ đều, suy ra $BD = BE = DE = DA.$

$\widehat {EDA} = \widehat {BDA} - \widehat {BDE} = {140^o} - {60^o} = {80^o}$

$\Delta DAE$ cân tại $D$ (vì $DA = DE\,(cmt)$) nên $\widehat {DEA} = \widehat {DAE} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {EDA}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{80}^o}}}{2} = {50^o}.$

$\widehat {EAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} - \widehat {DAE} = {20^o} + {100^o} - {50^o} = {70^o}.$

$\widehat {AEC} = {180^o} - \widehat {DEA} - \widehat {DEB} = {180^o} - {50^o} - {60^o} = {70^o}.$

$\Delta CAE$ có $\widehat {EAC} = \widehat {AEC} = {70^o}$ nên $\Delta CAE$ cân tại $C$, suy ra $AC = EC.$

Do đó: $AD = BD = BE = BC - EC = BC - AC = a - b.$

            $AB = AC = b.$

Vậy chu vi của $\Delta ABD$ là:

$AD + BD + AB = a - b + a - b + b = 2a - b.$

Trên nửa mặt phẳng bờ $AC$ chứa điểm $B$ lấy điểm $M$ sao cho $\Delta ACM$ đều.

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CMB$ có:

$BM$ cạnh chung

$AM = CM$ (vì $\Delta ACM$ đều)

$AB = CB$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $B$)

$\Rightarrow \Delta AMB = \Delta CMB\,(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {CMB}$ (hai góc tương ứng)       (1)

Mà $\widehat {AMB} + \widehat {CMB} = \widehat {ABC} = {60^o}$ (vì $\Delta ACM$ đều)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {AMB} = \widehat {CMB} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}$

$\Delta ABC$ cân tại $B$ nên $\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{80}^o}}}{2} = {50^o}$.

Ta có: $\widehat {CAB} + \widehat {BAM} = \widehat {CAM} = {60^o}$ (vì $\Delta ACM$ đều)

$\Rightarrow \widehat {BAM} = {60^o} - \widehat {CAB} = {60^o} - {50^o} = {10^o}$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ACI$ có:

$AM = AC$ (vì $\Delta ACM$ đều)

$\widehat {BAM} = \widehat {IAC} = {10^o}$

$\widehat {AMB} = \widehat {ACI} = {30^o}$

$\Rightarrow \Delta AMB = \Delta ACI\,(g.c.g)$

$\Rightarrow AB = AI$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $\Delta ABI$ cân tại $A$.

Ta có: $\widehat {BAI} = \widehat {BAC} - \widehat {IAC} = {50^o} - {10^o} = {40^o}$

$\Delta ABI$ cân tại $A$ nên $\widehat {ABI} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {BAI}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{40}^o}}}{2} = {70^o}.$