Tam giác cân

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \widehat C\)

Xét tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\) hay \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\)

Sử dụng cách tính số đo các góc trong tam giác $ABC$ cân tại $A.$

Góc ở đỉnh \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\) và góc ở đáy \(\widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}.\)

Áp dụng ta có  số đo góc ở đáy bằng: $\dfrac{{{{180}^0} - {{64}^0}}}{2} = {58^0}$

Tổng số đo hai góc ở đáy là \(70^o.2 = 140^\circ \)

Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^\circ \) nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân này là

\(180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ .\)

Từ hình vẽ ta có \(AB = AE;BC = DE\)

Vì \(AB = AE \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(A.\)

Suy ra \(\widehat B = \widehat E\)  (hai góc ở đáy)

Xét tam giác \(ABC\) và \(AED\) có: \(AB = AE;\widehat B = \widehat E\left( {cmt} \right);BC = DE\) nên \(\Delta ABC = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)\)

Do đó \(AC = AD\) (hai cạnh tương ứng) suy ra \(\Delta ACD\) cân tại \(A.\)

Vậy có hai tam giác cân trên hình vẽ.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (vì \(AB = AC\) ) có \(\widehat A = 40^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ  - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \)

Mà \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài của tam giác \(ACD\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA}\)

Lại có \(\Delta CAD\) cân tại \(C \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CDA} = x\) (tính chất)

Nên  \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA} = 2x \Rightarrow x = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\)\( = \dfrac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ .\)

Vậy \(x = 35^\circ .\)

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\).

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$ = \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và \(\widehat {ANC} = {67^0}30'\).

Xét tam giác $AMN$  có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'\), do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Xét tam giác $AMN,$ ta có:

\(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right) \)\(= {180^0} - {135^0} = {45^0}.\)

Vậy \(\widehat {MAN} = {45^0}.\)

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Ta thấy tam giác $ADE$  cân do $AD = AE.$

\( \Rightarrow \widehat {ADE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Do đó \(\widehat B = \widehat {ADE}\) . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ED//BC.$

Vậy D là đáp án sai.

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ;\,AB = AC\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân.

Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân nên cả A, B, C đều đúng.

Từ giả thiết suy ra \(AM = BM = CM\)

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc trong tam giác) (1)

Lại có \(\Delta AMB\) cân tại \(M\,\left( {{\rm{do}}\,\,MA = MB} \right)\) nên \(\widehat B = \widehat {BAM}\) (tính chất) (2)

Tương tự \(\Delta AMC\) cân tại \(M\,\left( {{\mathop{\rm do}\nolimits} \,\,MA = MC} \right)\) nên \(\widehat C = \widehat {MAC}\) (tính chất) (3)

Từ (1); (2); (3) ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {BAM} + \widehat {CAM} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) \(2.\widehat {BAC} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ .\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)  (định lý tổng ba góc trong tam giác) và \(\widehat A = 40^\circ ;\,\widehat B - \widehat C = 20^\circ \,\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\widehat B + \widehat C = 140^\circ \) nên \(\widehat B = \dfrac{{140^\circ  + 20^\circ }}{2} = 80^\circ ;\,\widehat C = 60^\circ \)

Xét tam giác \(AEB\) cân tại \(A\) (do \(AB = AE\,\left( {gt} \right)\)) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {ABE}\)  (tính chất) (1)

Lại có \(\widehat {BAC}\) là góc ngoài của tam giác \(AEB \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = 20^\circ \)

Do đó \(\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 80^\circ  + 20^\circ  = 100^\circ .\)

Lấy \(E \in AD\) sao cho \(AE = AB\) mà \(AD = AB + AC\) nên \(AC = DE.\)

\(\Delta ABE\) cân có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABE\) là tam giác đều suy ra \(AE = EB.\)

Thấy \(\widehat {BED} = \widehat {EBA} + \widehat {EAB} = 120^\circ \)  (góc ngoài tại đỉnh \(E\) của tam giác \(ABE\) )  nên \(\widehat {BED} = \widehat {BAC}\left( { = 120^\circ } \right)\)

Suy ra \(\Delta EBD = \Delta {\rm A}BC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (hai góc tương ứng bằng nhau) và \(BD = BC\) (hai cạnh tương ứng)

Lại có $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ $ nên \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ .\)

\(\Delta BCD\) cân tại \(B\) có \(\widehat {CBD} = 60^\circ \) nên nó là tam giác đều.

+  Các tam giác $AMB$ và $ANC$  là các tam giác đều(gt) nên \(\widehat {MAB} = {60^0},\,\,\,\widehat {NAC} = {60^0}\).

Ta có: \(\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = {60^0} + {60^0} + {60^0} = {180^0}.\)

Suy ra ba điểm $M,A,N$ thẳng hàng.

+  Ta có:

 $\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\\\widehat {BAN} = \widehat {CAN} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}$

Do đó \(\widehat {MAC} = \widehat {BAN}\) .

Xét hai tam giác $ABN$  và $AMC$  có:

+) $AB = AM$ (do tam giác $AMB$ đều)

+) \(\widehat {BAN} = \widehat {MAC}\) (cmt)

+) $AN = AC$ (do tam giác $ANC$ đều)

Do đó \(\Delta ABN = \Delta AMC(c.g.c)\)

Suy ra $BN = CM$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy cả A, B đều đúng.

\(\Delta AMC\) đều nên \(\widehat {AMC} = {60^o};\,AM = CM.\)

\(\Delta BMD\) đều nên \(\widehat {BMD} = {60^o};\,MD = MB.\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {AMC} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}\)   (1)

\(\widehat {CMB} = \widehat {BMD} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\)

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta CMB\) có:

\(AM = CM\,\,(cmt)\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\,\,(cmt)\)

\(MD = MB\,\,(cmt)\)

\( \Rightarrow \Delta AMD = \Delta CMB\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AD = CB\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \widehat {DAM} = \widehat {BCM}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta CFM\) có:

\(AM = CM\,(cmt)\)

\(\widehat {DAM} = \widehat {BCM}\,(cmt)\)

\(AE = CF\,\,\left( {\dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{CB}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AEM = \Delta CFM\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow EM = FM\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {CMF}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {CME} = \widehat {CME} + \widehat {EMF}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {EMF}\)

\( \Rightarrow \widehat {EMF} = {60^o}\)

Xét \(\Delta MEF\) có: \(EM = FM\,(cmt);\,\widehat {EMF} = {60^o}\,(cmt)\) nên \(\Delta MEF\) là tam giác đều.

Tam giác đều vừa là tam giác cân vừa là tam giác nhọn (vì có ba góc nhọn) nên cả A, B, C đều đúng.

Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(\widehat {BAM} = {30^o}.\)

\(\Delta AMB\) có \(\widehat {BAM} = \widehat B = {30^o}\) nên là tam giác cân, suy ra \(MA = MB\)            (1)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B + \widehat C = {90^o}\) \( \Rightarrow \widehat C = {90^o} - \widehat B = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BAM} + \widehat {MAC}\)

\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAM} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

\(\Delta AMC\) có: \(\widehat {MAC} = \widehat C = {60^o}\) nên là tam giác đều, suy ra \(AC = AM = MC\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(AC = MB = MC\) hay \(AC = \dfrac{{BC}}{2}.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(\widehat A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}.\)

Ta có: \(\widehat {CAD} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = {120^o} - {90^o} = {30^o}\)

\(\Delta ADC\) có: \(\widehat C = \widehat {CAD} = {30^o}\) nên \(\Delta ADC\) cân tại \(D\), suy ra \(DC = DA\)      (1)

Ta có: \(\widehat {ADB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta ADC\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat C + \widehat {CAD} = {30^o} + {30^o} = {60^o}.\)

Trên cạnh \(BD\) lấy \(E\) sao cho \(\widehat {BAE} = {30^o}\) thì \(E\) nằm giữa \(B\) và \(D.\)

\(\Delta AEB\) có: \(\widehat B = \widehat {BAE} = {30^o}\) nên \(\Delta AEB\) cân tại \(E\), suy ra \(AE = EB\)          (2)

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {BAD} - \widehat {BAE} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

\(\Delta ADE\) có: \(\widehat {DAE} = \widehat {ADE} = {60^o}\) nên \(\Delta ADE\) là tam giác đều, suy ra \(DA = DE = AE\)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(DC = DE = EB = \dfrac{1}{3}BC.\)

Do đó \(BD = DE + EB = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}.6 = 4\,\left( {cm} \right).\)

Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BD.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{100}^o}}}{2} = {40^o}.\)

\(\Delta ABD\) cân tại \(D\) nên \(\widehat {DBA} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ADB}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{140}^o}}}{2} = {20^o}\).

Ta có: \(\widehat {DBE} = \widehat {DBA} + \widehat {ABC} = {20^o} + {40^o} = {60^o}.\)

Xét \(\Delta BDE\) có: \(\widehat {DBE} = {60^o}\) nên \(\Delta BDE\) đều, suy ra \(BD = BE = DE = DA.\)

\(\widehat {EDA} = \widehat {BDA} - \widehat {BDE} = {140^o} - {60^o} = {80^o}\)

\(\Delta DAE\) cân tại \(D\) (vì \(DA = DE\,(cmt)\)) nên \(\widehat {DEA} = \widehat {DAE} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {EDA}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{80}^o}}}{2} = {50^o}.\)

\(\widehat {EAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} - \widehat {DAE} = {20^o} + {100^o} - {50^o} = {70^o}.\)

\(\widehat {AEC} = {180^o} - \widehat {DEA} - \widehat {DEB} = {180^o} - {50^o} - {60^o} = {70^o}.\)

\(\Delta CAE\) có \(\widehat {EAC} = \widehat {AEC} = {70^o}\) nên \(\Delta CAE\) cân tại \(C\), suy ra \(AC = EC.\)

Do đó: \(AD = BD = BE = BC - EC = BC - AC = a - b.\)

            \(AB = AC = b.\)

Vậy chu vi của \(\Delta ABD\) là:

\(AD + BD + AB = a - b + a - b + b = 2a - b.\)

Trên nửa mặt phẳng bờ \(AC\) chứa điểm \(B\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\Delta ACM\) đều.

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta CMB\) có:

\(BM\) cạnh chung

\(AM = CM\) (vì \(\Delta ACM\) đều)

\(AB = CB\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(B\))

\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta CMB\,(c.c.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {CMB}\) (hai góc tương ứng)       (1)

Mà \(\widehat {AMB} + \widehat {CMB} = \widehat {ABC} = {60^o}\) (vì \(\Delta ACM\) đều)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {AMB} = \widehat {CMB} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(B\) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{80}^o}}}{2} = {50^o}\).

Ta có: \(\widehat {CAB} + \widehat {BAM} = \widehat {CAM} = {60^o}\) (vì \(\Delta ACM\) đều)

\( \Rightarrow \widehat {BAM} = {60^o} - \widehat {CAB} = {60^o} - {50^o} = {10^o}\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ACI\) có:

\(AM = AC\) (vì \(\Delta ACM\) đều)

\(\widehat {BAM} = \widehat {IAC} = {10^o}\)

\(\widehat {AMB} = \widehat {ACI} = {30^o}\)

\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta ACI\,(g.c.g)\)

\( \Rightarrow AB = AI\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó \(\Delta ABI\) cân tại \(A\).

Ta có: \(\widehat {BAI} = \widehat {BAC} - \widehat {IAC} = {50^o} - {10^o} = {40^o}\)

\(\Delta ABI\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABI} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {BAI}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{40}^o}}}{2} = {70^o}.\)