Cho \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB.\) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB,\) vẽ các tam giác đều \(AMC,BMD.\) Gọi \(E;F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD;BC.\) Tam giác \(MEF\) là tam giác gì? Chọn câu trả lời đúng nhất.

\(\Delta AMC\) đều nên \(\widehat {AMC} = {60^o};\,AM = CM.\)

\(\Delta BMD\) đều nên \(\widehat {BMD} = {60^o};\,MD = MB.\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {AMC} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}\)   (1)

\(\widehat {CMB} = \widehat {BMD} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\)

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta CMB\) có:

\(AM = CM\,\,(cmt)\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\,\,(cmt)\)

\(MD = MB\,\,(cmt)\)

\( \Rightarrow \Delta AMD = \Delta CMB\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AD = CB\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \widehat {DAM} = \widehat {BCM}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta CFM\) có:

\(AM = CM\,(cmt)\)

\(\widehat {DAM} = \widehat {BCM}\,(cmt)\)

\(AE = CF\,\,\left( {\dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{CB}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AEM = \Delta CFM\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow EM = FM\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {CMF}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {CME} = \widehat {CME} + \widehat {EMF}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {EMF}\)

\( \Rightarrow \widehat {EMF} = {60^o}\)

Xét \(\Delta MEF\) có: \(EM = FM\,(cmt);\,\widehat {EMF} = {60^o}\,(cmt)\) nên \(\Delta MEF\) là tam giác đều.

Tam giác đều vừa là tam giác cân vừa là tam giác nhọn (vì có ba góc nhọn) nên cả A, B, C đều đúng.