Bài tập ôn tập chương 7

+) $DE$ vuông góc với $BC$ nên ta có tam giác $BDE$ là tam giác vuông.

Xét hai tam giác vuông $BAD$ và $BED$ ta có:

$\widehat {ABD} = \widehat {EBD}$ (do $BD$ là tia phân giác của góc $B$ )

$BD$ là cạnh chung

Vậy $\Delta BAD = \Delta BED$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = BE\\AD = DE\end{array} \right.$  (các cặp cạnh tương ứng).

$\Rightarrow B;\;D$ nằm trên đường trung trực của  $AE$ hay $BD$ là đường trung trực của  $AE.$ Do đó A đúng.

+) Xét hai tam giác vuông  $ADF$ và $EDC$ ta có:

$AF{\rm{ }} = {\rm{ }}EC$  (gt)

$DA = DE$  (cmt)

Vậy $\Delta ADF = \Delta EDC$ (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra $DF = DC$ (hai cạnh tương ứng). Do đó B đúng.

+) Trong tam giác vuông  $ADF,{\rm{ }}AD$ là cạnh góc vuông, $DF$  là cạnh huyền nên $DA < DF.$

Mà $DF = DC$ (cmt). Từ đó suy ra $AD < DC.$ Do đó C đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

+) Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến nên $AM$ đồng thời là tia phân giác của góc $A$.

Ta có $ME$ vuông góc với $AB$ tại $E$ nên $AEM$ là tam giác vuông tại $E$; $MF$ vuông góc với $AC$ tại $F$ nên $AFM$ là tam giác vuông tại $F$

Xét hai tam giác vuông $AEM$ và $AFM$ ta có

$AM$ là cạnh chung

$\widehat {EAM} = \widehat {FAM}$ (do $AM$ là tia phân giác của góc $A$)

Vậy $\Delta AEM = \Delta {\rm{AF}}M$ (cạnh huyền – góc nhọn)

+ ) Vì $\Delta AEM = \Delta {\rm{AF}}M$suy ra :

$AE = AF$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

$ME = MF$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Do đó hai điểm $A$, $M$ nằm trên đường trung trực của $EF$.

Vậy $AM$ là đường trung trực của $EF$.

+) Xét hai tam giác vuông: $\Delta ABD$ vuông tại B, $\Delta ACD$  vuông tại $C$ ta có:

$AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)

$AD$ là cạnh chung

Vậy $\Delta ABD = \Delta ACD$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $DB = DC$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Do đó $D$ thuộc tia phân giác của góc $A$ (1) (vì điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó).

Lại có $AM$ là tia phân giác của góc $A$, hay $M$ thuộc tia phân giác của góc $A$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm  $A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}D$ thẳng hàng.

Ta chưa đủ điều kiện để chỉ ra được $M$ là trung điểm của $AD.$

+) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ta có:

$\widehat B + \widehat C = {90^o} \Rightarrow \widehat C = {90^o} - \widehat B = {90^o} - {60^o} = {30^o}$

Trong tam giác ABC ta có $\widehat B > \widehat C$ suy ra $AC > AB.$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

$BH$ là hình chiếu của $AB$ trên $BC$; $HC$ là hình chiếu của $AC$ trên $BC$

Mà $AB < AC$ (cmt)

Suy ra $BH < HC.$

+ Ta có $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ và điểm $D$ thuộc tia đối của tia $HA$ nên tam giác $AHC$ vuông tại $A$, tam giác $DHC$ vuông tại $H.$

Xét hai tam giác vuông $AHC$ và $DHC$ ta có:

$AH = HD$ (gt)

$HC$ là cạnh chung

Vậy $\Delta AHC{\rm{  =  }}\Delta DHC$ (hai cạnh góc vuông)

+) Ta có $\Delta AHC{\rm{  =  }}\Delta DHC \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {DCH} = {30^o}$(2 góc tương ứng) và $AC = DC$ (2 cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác $ABC$ và $DBC$ ta có:

$BC$ là cạnh chung   

$AC = CD$       

$\widehat {ACB} = \widehat {DCB} = {30^o}$

Vậy $\Delta ABC{\rm{  =  }}\Delta DBC\,(c.g.c) \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^o}$(2 góc tương ứng)

Vậy $\widehat {BDC} = {90^o}$

+ Do $OD, OE, OF$ lần lượt vuông góc với $BC, AC, AB$ nên các tam giác $AOE, AOF, BOF, BOD, COE, COD$ là các tam giác vuông.

$O$ là giao điểm các đường phân giác nên suy ra $OD = OE = OF.$

Xét hai tam giác vuông $AOE$ và $AOF$ ta có:

$AO$ là cạnh chung;     

$OE = OF$

Vậy $\Delta AOE{\rm{  =  }}\Delta AOF$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $AE =AF$ (2 cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: $BD = BF, CD = CE.$

+ Đặt $BC = a,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c$ . Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{AE = AC-CE = AC-CD}\\{AF = AB-BF = AB-BD}\end{array}$

Suy ra $AE + AF = AC-CD + AB-BD = AB + AC-\left( {BD + CD} \right)$

Hay $2.AE = AB + AC-\;BC = c + b-a.$

Do đó $AE = \dfrac{{c + b - a}}{2}$

Ta có $E{A_1} = EA + {\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = EA + BC = \dfrac{{c + b - a}}{2} + a = \dfrac{{c + b + a}}{2}$

Chứng minh tương tự ta có:  $F{B_1} = \dfrac{{c + b + a}}{2};\,\,D{C_1} = \dfrac{{c + b + a}}{2}$ 

Vậy $E{A_1} = F{B_1} = D{C_1}.$