Cho \(\Delta MNP\) có \(\widehat M = {40^0}\), các đường phân giác $NH$ và $PK$ của \(\widehat N\) và \(\widehat P\) cắt nhau tại $I.$ Khi đó \(\widehat {NIP}\) bằng:

Xét \(\Delta MNP\) có: \(\widehat M + \widehat {MNP} + \widehat {MPN} = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {MNP} + \widehat {MPN} = {180^0} - \widehat M = {180^0} - {40^0} = {140^0}\left( 1 \right)\)

Vì NH là phân giác của \(\widehat {MNP}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HNP} = \dfrac{{\widehat {MNP}}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất tia phân giác)

Vì PK là phân giác của \(\widehat {MNP}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {NPK} = \dfrac{{\widehat {MPN}}}{2}\left( 3 \right)\) (tính chất tia phân giác)

Từ (1) (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {INP} + \widehat {IPN} = \dfrac{{\widehat {MNP}}}{2} + \dfrac{{\widehat {MPN}}}{2} \)\(=\dfrac{{\widehat {MNP}+\widehat {MPN}}}{2}= {140^0}:2 = {70^0}\)  hay \(\widehat {INP} + \widehat {IPN} = {70^0}\left( * \right)\)

Xét \(\Delta INP\) có: \(\widehat {INP} + \widehat {IPN} + \widehat {NIP} = {180^0}\left( {**} \right)\)( định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow \widehat {NIP} = {180^0} - \left( {\widehat {INP} + \widehat {IPN}} \right) = {180^0} - {70^0} = {110^0}\)