Biết $xf\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)f\left( x \right)$. Khi đó đa thức$f\left( x \right)$ có ít nhất là bao nhiêu nghiệm?

Ta có: $xf\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)f\left( x \right)$ với mọi $x$.                        

+ Khi $x = 0$ ta có: $0.f\left( {0 + 1} \right) = \left( {0 + 3} \right).f\left( 0 \right) \Rightarrow 0.f(1) = 3.f(0) \Rightarrow f(0) = 0$

Vậy $x = 0$ là một nghiệm của $f\left( x \right).$

+ Khi $x + 3 = 0$ hay $x = -3$ ta có: $( - 3).f\left( { - 3 + 1} \right) = \left( { - 3 + 3} \right).f\left( { - 3} \right) \Rightarrow ( - 3).f( - 2) = 0.f( - 3) \Rightarrow f( - 2) = 0$

Vậy $x = -2$ là một nghiệm của $f\left( x \right).$

Vậy $f\left( x \right)$ có ít nhất $2$ nghiệm là $0$ và $-2.$