Nghiệm của đa thức một biến

$f(x) = {x^2} + 5x - 6$$\Leftrightarrow f(x) = x^2 - x + 6x - 6$

$\Leftrightarrow f(x) = (x - 1) + 6(x - 1)$$\Leftrightarrow f(x) = (x - 1)(x + 6)$

$f(x) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 6) = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 6 = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 6\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ là $1$ và $-6.$

${x^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.$

Vậy $x = 4;x =  - 4$ là nghiệm của đa thức ${x^2} - 16$

Tổng các nghiệm là $4 + \left( { - 4} \right) = 0.$

Ta có $5{x^2} - 10x = 0 \Rightarrow 5x\left( {x - 2} \right) = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Vậy đa thức $5{x^2} - 10x$ có hai nghiệm $x = 0$ hoặc $x =  - 2.$

Tích các nghiệm là $0.\left( { - 2} \right) = 0.$

+ Với $a + b + c = 0$ thay $x = 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được  $f\left( 1 \right) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c \Rightarrow f\left( 1 \right) = 0$

Nên $x = 1$ là một nghiệm của đa thức $f\left( x \right).$

+ Với $a - b + c = 0$ thay $x =  - 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được  $f\left( 1 \right) = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = a - b + c \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 0$

Nên $x =  - 1$ là một nghiệm của đa thức  $f\left( x \right).$

Vậy cả A, B đều đúng.

$P\left( x \right)$ nhận $-1$  là nghiệm nên $P\left( {-1} \right) = 0,$

$\Rightarrow {( - 1)^2} - 6.( - 1) + a = 0$$\Rightarrow 1 + 6 + a = 0$

$\Rightarrow 7 + a = 0\,\,$$\Rightarrow \,a =  - 7$

Vậy $P\left( x \right)$ nhận $-1$  là nghiệm thì $a =  - 7$.

+ Xét $x < 0$ khi đó $x - 1 < 0$ nên $x\left( {x - 1} \right) > 0$ do đó ${x^2} - x + 1 > 0$  hay $f\left( x \right) > 0$

+ Xét $0 \le x < 1$ khi đó ${x^2} > 0$ và $1 - x > 0$  do đó ${x^2} + \left( {1 - x} \right) = {x^2} - x + 1 > 0$ hay $f\left( x \right) > 0$

+ Xét $x \ge 1$ thì $x > 0$ và $x\left( {x - 1} \right) \ge 0$  suy ra ${x^2} - x + 1 > 0$ hay $f\left( x \right) > 0$

Vậy $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x$ nên $f\left( x \right)$ vô nghiệm.

Vì $(x - 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8)$ với mọi $x$ nên suy ra:

+ Khi $x-1 = 0,$ hay $x = 1$ thì ta có:

$(1 - 1).f(1) = (1 + 4)f(1 + 8) \Rightarrow 0.f(1) = 5.f(9)\,\,\, \Rightarrow f(9) = 0$

Vậy $x = 9$ là một nghiệm của  $f\left( x \right).$

+ Khi $x + 4 = 0,$ hay $x = -4$ thì ta có: $( - 4 - 1).f( - 4)$$= ( - 4 + 4).f( - 4 + 8)$$\Rightarrow  - 5.f( - 4) = 0.f(4) \Rightarrow f( - 4) = 0$

Vậy $x = -4$ là một nghiệm của  $f\left( x \right).$

Vậy $f\left( x \right)$ có ít nhất $2$  nghiệm là $9$  và $-4.$

Ta có $P(x) = 0 \Rightarrow 2{\left( {x - 3} \right)^2} - 8 = 0$$\Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 4$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\x - 3 =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy đa thức $P\left( x \right)$ có hai nghiệm $x = 5;x = 1.$

Ta có: $g\left( x \right) = 0 \Rightarrow {\left( {3x + 4} \right)^4} - 81 = 0 \Rightarrow {\left( {3x + 4} \right)^4} = 81 \Rightarrow {\left( {3x + 4} \right)^2} = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4 = 3\\3x + 4 =  - 3\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =  - 1\\3x =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{3}\\x =  - \dfrac{7}{3}\end{array} \right.$

Vậy $g\left( x \right)$ có hai nghiệm là: $x =  - \dfrac{1}{3};x =  - \dfrac{7}{3}.$

Ta có: $f\left( x \right) = x\left( {1 - 2x} \right) + 2{x^2} - x + 4 = x - 2{x^2} + 2{x^2} - x + 4 = (x - x) + ( - 2{x^2} + 2{x^2}) + 4 = 4$

Vì $f\left( x \right) = 4 > 0$ với mọi $x$ nên $f\left( x \right)$ không có nghiệm.

Ta có: ${x^3} + 2{x^2}\left( {4y - 1} \right) - 4x{y^2} - 9{y^3} - f\left( x \right)$ $=  - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f(x) = {\rm{[}}{x^3} + 2{x^2}\left( {4y - 1} \right) - 4x{y^2} - 9{y^3}{\rm{]}}\, - {\rm{(}} - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3})\\ = ({x^3} + 8{x^2}y - 2{x^2} - 4x{y^2} - 9{y^3}) - {\rm{(}} - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3})\\ = {x^3} + 8{x^2}y - 2{x^2} - 4x{y^2} - 9{y^3} + 5{x^3} - 8{x^2}y + 4x{y^2} + 9{y^3}\\ = ({x^3} + 5{x^3}) + (8{x^2}y - 8{x^2}y) - 2{x^2} + ( - 4x{y^2} + 4x{y^2}) + ( - 9{y^3} + 9{y^3})\\ = 6{x^3} - 2{x^2}\end{array}$

Khi đó $f\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6{x^3} - 2{x^2} = 0$ $\Rightarrow 2{x^2}(3x - 1) = 0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} = 0\\3x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\3x = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Vậy $f\left( x \right)$ có hai nghiệm là $x = 0;x = \dfrac{1}{3}$.

Ta có: $f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right)$

                    $\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^2}) - (5x + 10) - (2{x^2} - 4x)\\ = 2{x^3} - 2{x^2} - 5x - 10 - 2{x^2} + 4x\\ = 2{x^3} + ( - 2{x^2} - 2{x^2}) + ( - 5x + 4x) - 10\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\end{array}$

$g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)$

         $\begin{array}{l} = (2{x^3} - 3{x^2}) - ({x^2} + x) - (3x - 2)\\ = 2{x^3} - 3{x^2} - {x^2} - x - 3x + 2 = 2{x^3} + ( - 3{x^2} - {x^2}) + ( - x - 3x) + 2\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\end{array}$

Sắp xếp $f\left( x \right);g\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

 $f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10$; $g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2$.

Theo câu trước ta có: $f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10$; $g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2$

Khi đó $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = (2{x^3} - 4{x^2} - x - 10) - (2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2)$

$= 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10 - 2{x^3} + 4{x^2} + 4x - 2$

$\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^3}) + ( - 4{x^2} + 4{x^2}) + ( - x + 4x) + ( - 10 - 2)\\ = 3x - 12\end{array}$.

Theo câu trước ta có: $h\left( x \right) = 3x - 12$.

Khi đó $h\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$

Vậy nghiệm của $h\left( x \right)$ là $x = 4.$