Cho đa thức sau: \(f(x) = {x^2} + 5x - 6\). Các nghiệm của đa thức đã cho là:
\(f(x) = {x^2} + 5x - 6 \)\(\Leftrightarrow f(x) = x^2 - x + 6x - 6\)
\( \Leftrightarrow f(x) = (x - 1) + 6(x - 1) \)\(\Leftrightarrow f(x) = (x - 1)(x + 6)\)
\(f(x) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 6) = 0 \)\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ là $1$ và $-6.$
Tổng các nghiệm của đa thức \({x^2} - 16\) là
\({x^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 4;x = - 4\) là nghiệm của đa thức \({x^2} - 16\)
Tổng các nghiệm là \(4 + \left( { - 4} \right) = 0.\)
Tích các nghiệm của đa thức \(5{x^2} - 10x\) là
Ta có \(5{x^2} - 10x = 0 \Rightarrow 5x\left( {x - 2} \right) = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Vậy đa thức \(5{x^2} - 10x\) có hai nghiệm \(x = 0\) hoặc \(x = - 2.\)
Tích các nghiệm là \(0.\left( { - 2} \right) = 0.\)
Cho đa thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c.\) Chọn câu đúng?
+ Với \(a + b + c = 0\) thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( 1 \right) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c \Rightarrow f\left( 1 \right) = 0\)
Nên \(x = 1\) là một nghiệm của đa thức \(f\left( x \right).\)
+ Với \(a - b + c = 0\) thay \(x = - 1\) vào \(f\left( x \right)\) ta được \(f\left( 1 \right) = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = a - b + c \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 0\)
Nên \(x = - 1\) là một nghiệm của đa thức \(f\left( x \right).\)
Vậy cả A, B đều đúng.
Cho \(P(x) = {x^2} - 6x + a\) . Tìm $a$ để $P\left( x \right)$ nhận $-1$ là nghiệm.
$P\left( x \right)$ nhận $-1$ là nghiệm nên $P\left( {-1} \right) = 0,$
\( \Rightarrow {( - 1)^2} - 6.( - 1) + a = 0\)\( \Rightarrow 1 + 6 + a = 0\)
\( \Rightarrow 7 + a = 0\,\,\)\( \Rightarrow \,a = - 7\)
Vậy $P\left( x \right)$ nhận $-1$ là nghiệm thì \(a = - 7\).
Đa thức \(f(x) = {x^2} - x + 1\) có bao nhiêu nghiệm?
+ Xét \(x < 0\) khi đó \(x - 1 < 0\) nên \(x\left( {x - 1} \right) > 0\) do đó \({x^2} - x + 1 > 0\) hay \(f\left( x \right) > 0\)
+ Xét \(0 \le x < 1\) khi đó \({x^2} > 0\) và \(1 - x > 0\) do đó \({x^2} + \left( {1 - x} \right) = {x^2} - x + 1 > 0\) hay \(f\left( x \right) > 0\)
+ Xét \(x \ge 1\) thì \(x > 0\) và \(x\left( {x - 1} \right) \ge 0\) suy ra \({x^2} - x + 1 > 0\) hay \(f\left( x \right) > 0\)
Vậy \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x\) nên \(f\left( x \right)\) vô nghiệm.
Biết \((x - 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8)\). Khi đó đa thức $f\left( x \right)$ có ít nhất là bao nhiêu nghiệm?
Vì \((x - 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8)\) với mọi $x$ nên suy ra:
+ Khi $x-1 = 0,$ hay $x = 1$ thì ta có:
\((1 - 1).f(1) = (1 + 4)f(1 + 8) \Rightarrow 0.f(1) = 5.f(9)\,\,\, \Rightarrow f(9) = 0\)
Vậy $x = 9$ là một nghiệm của $f\left( x \right).$
+ Khi $x + 4 = 0,$ hay $x = -4$ thì ta có: \(( - 4 - 1).f( - 4) \)\(= ( - 4 + 4).f( - 4 + 8)\)\( \Rightarrow - 5.f( - 4) = 0.f(4) \Rightarrow f( - 4) = 0\)
Vậy $x = -4$ là một nghiệm của $f\left( x \right).$
Vậy $f\left( x \right)$ có ít nhất $2$ nghiệm là $9$ và $-4.$
Nghiệm của đa thức \(P(x) = 2{\left( {x - 3} \right)^2} - 8\) là
Ta có \(P(x) = 0 \Rightarrow 2{\left( {x - 3} \right)^2} - 8 = 0\)\( \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\x - 3 = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy đa thức \(P\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 5;x = 1.\)
Số nghiệm của đa thức \(g\left( x \right) = {\left( {3x + 4} \right)^4} - 81\) là:
Ta có: \(g\left( x \right) = 0 \Rightarrow {\left( {3x + 4} \right)^4} - 81 = 0 \Rightarrow {\left( {3x + 4} \right)^4} = 81 \Rightarrow {\left( {3x + 4} \right)^2} = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4 = 3\\3x + 4 = - 3\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - 1\\3x = - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{3}\\x = - \dfrac{7}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm là: \(x = - \dfrac{1}{3};x = - \dfrac{7}{3}.\)
Thu gọn rồi tìm nghiệm của đa thức sau: \(f\left( x \right) = x\left( {1 - 2x} \right) + 2{x^2} - x + 4\).
Ta có: \(f\left( x \right) = x\left( {1 - 2x} \right) + 2{x^2} - x + 4 = x - 2{x^2} + 2{x^2} - x + 4 = (x - x) + ( - 2{x^2} + 2{x^2}) + 4 = 4\)
Vì \(f\left( x \right) = 4 > 0\) với mọi \(x\) nên \(f\left( x \right)\) không có nghiệm.
Tìm đa thức \(f\left( x \right)\) rồi tìm nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) biết rằng:
\({x^3} + 2{x^2}\left( {4y - 1} \right) - 4x{y^2} - 9{y^3} - f\left( x \right) = - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3}.\)
Ta có: \({x^3} + 2{x^2}\left( {4y - 1} \right) - 4x{y^2} - 9{y^3} - f\left( x \right) \) \(= - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f(x) = {\rm{[}}{x^3} + 2{x^2}\left( {4y - 1} \right) - 4x{y^2} - 9{y^3}{\rm{]}}\, - {\rm{(}} - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3})\\ = ({x^3} + 8{x^2}y - 2{x^2} - 4x{y^2} - 9{y^3}) - {\rm{(}} - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3})\\ = {x^3} + 8{x^2}y - 2{x^2} - 4x{y^2} - 9{y^3} + 5{x^3} - 8{x^2}y + 4x{y^2} + 9{y^3}\\ = ({x^3} + 5{x^3}) + (8{x^2}y - 8{x^2}y) - 2{x^2} + ( - 4x{y^2} + 4x{y^2}) + ( - 9{y^3} + 9{y^3})\\ = 6{x^3} - 2{x^2}\end{array}\)
Khi đó \(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6{x^3} - 2{x^2} = 0\) \( \Rightarrow 2{x^2}(3x - 1) = 0 \) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} = 0\\3x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\3x = 1\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm là \(x = 0;x = \dfrac{1}{3}\).
Cho \(f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right);\) \(g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)\).
Thu gọn và sắp xếp \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
Ta có: \(f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^2}) - (5x + 10) - (2{x^2} - 4x)\\ = 2{x^3} - 2{x^2} - 5x - 10 - 2{x^2} + 4x\\ = 2{x^3} + ( - 2{x^2} - 2{x^2}) + ( - 5x + 4x) - 10\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\end{array}\)
\(g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} = (2{x^3} - 3{x^2}) - ({x^2} + x) - (3x - 2)\\ = 2{x^3} - 3{x^2} - {x^2} - x - 3x + 2 = 2{x^3} + ( - 3{x^2} - {x^2}) + ( - x - 3x) + 2\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\end{array}\)
Sắp xếp \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:
\(f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\); \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\).
Cho \(f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right);\) \(g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)\).
Tính \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\).
Theo câu trước ta có: \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\); \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\)
Khi đó \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = (2{x^3} - 4{x^2} - x - 10) - (2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2)\)
\( = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10 - 2{x^3} + 4{x^2} + 4x - 2\)
\(\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^3}) + ( - 4{x^2} + 4{x^2}) + ( - x + 4x) + ( - 10 - 2)\\ = 3x - 12\end{array}\).
Cho \(f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right);\) \(g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)\).
Tìm nghiệm của \(h(x)\) biết \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\).
Theo câu trước ta có: \(h\left( x \right) = 3x - 12\).
Khi đó \(h\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\)
Vậy nghiệm của \(h\left( x \right)\) là \(x = 4.\)
