Tìm đa thức $f\left( x \right)$ rồi tìm nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ biết rằng:

${x^3} + 2{x^2}\left( {4y - 1} \right) - 4x{y^2} - 9{y^3} - f\left( x \right) =  - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3}.$

Ta có: ${x^3} + 2{x^2}\left( {4y - 1} \right) - 4x{y^2} - 9{y^3} - f\left( x \right)$ $=  - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f(x) = {\rm{[}}{x^3} + 2{x^2}\left( {4y - 1} \right) - 4x{y^2} - 9{y^3}{\rm{]}}\, - {\rm{(}} - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3})\\ = ({x^3} + 8{x^2}y - 2{x^2} - 4x{y^2} - 9{y^3}) - {\rm{(}} - 5{x^3} + 8{x^2}y - 4x{y^2} - 9{y^3})\\ = {x^3} + 8{x^2}y - 2{x^2} - 4x{y^2} - 9{y^3} + 5{x^3} - 8{x^2}y + 4x{y^2} + 9{y^3}\\ = ({x^3} + 5{x^3}) + (8{x^2}y - 8{x^2}y) - 2{x^2} + ( - 4x{y^2} + 4x{y^2}) + ( - 9{y^3} + 9{y^3})\\ = 6{x^3} - 2{x^2}\end{array}$

Khi đó $f\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6{x^3} - 2{x^2} = 0$ $\Rightarrow 2{x^2}(3x - 1) = 0$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} = 0\\3x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\3x = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Vậy $f\left( x \right)$ có hai nghiệm là $x = 0;x = \dfrac{1}{3}$.