Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

+) Xét đáp án A:$y = \sin x - 3x$ có: $y' = \cos x - 3.$

Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{cosx\;}} - 3 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \in R \Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $R.$

Vậy hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.

+) Xét đáp án B: $y = \cos x + 2x$ có: $y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2.$

Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \in R$

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$

+) Xét đáp án C: $y'=3x^2\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

+) Xét đáp án D: $y'=5x^4\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

Vậy chỉ có hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.

Vì $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - 5;5} \right)$ nên $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 5;5} \right)$.

Vậy $f'\left( 0 \right) \le 0$.

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.\) và \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 2\)

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).

A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

C đúng vì giá trị thấp nhất của y trên bảng biến thiên là 0.

Ta có: $y' = {x^2} + 2m{\rm{x}} - m$

Vì $a=1>0$ nên hàm số đồng biến trên $R$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 2m{\rm{x}} - m \ge 0$,$\forall x \in R$$ \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} + m \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0$ 

Ta có : $y' =  - 3{x^2} - 2x + m$

Để hàm số $y$ là hàm số nghịch biến trên $R$ thì $y' \le 0,\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow  - 3{x^2} - 2x + m \le 0,\forall x \in R$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta ' = 1 + 3m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{1}{3}$.

Ta có: $y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6m{\rm{x}}$$ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2m$

Trường hợp 1: $m < 0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ đồng biến với mọi $m < 0$(loại)

Trường hợp 2: $m = 0$

Với $m=0$ thì $y'=3x^2 \ge 0$ nên hàm số đồng biến trên $R$ .

Do đó hàm số đồng biến trên $\left( {0;1} \right)$ (loại)

Trường hợp 3: $m > 0$

Dễ thấy hàm số trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ nghịch biến $ \Leftrightarrow 2m \ge 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}$

Ta có: $y' = {x^2} - 4mx + 4m$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}$ (vì $ - 2 < x < 0$)

Xét hàm $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ trên $\left( { - 2;0} \right)$ ta có:

$g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$

Do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$

Suy ra \(g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) hay \( - \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)

Khi đó \(4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le  - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{1}{3}\)

Vậy $m \leqslant  - \dfrac{1}{3}$

\(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - x + m} \right) \)

\(\Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x - 1} \right).f'\left( {{x^2} - x + m} \right)\)

Với \(x \in \left( { - 1;0} \right)\) thì \(2x - 1 < 0\).

Do đó, để \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - x + m} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) thì

 \(\begin{array}{l}g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)f'\left( {{x^2} - x + m} \right) \le 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\\ \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} - x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x + m \le 1\\{x^2} - x + m \ge 4\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x \le 1 - m\\{x^2} - x \ge 4 - m\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\end{array}\)

Xét hàm \(h\left( x \right) = {x^2} - x\) trong \(\left( { - 1;0} \right)\) ta thấy:

\(h'\left( x \right) = 2x - 1 < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số nghịch biến trong \(\left( { - 1;0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow h\left( { - 1} \right) > h\left( x \right) > h\left( 0 \right)\\ \Leftrightarrow 2 > h\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < h\left( x \right) < 2\end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}h\left( x \right) \le 1 - m\\h\left( x \right) \ge 4 - m\end{array} \right.,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} h\left( x \right)\\
4 - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} h\left( x \right)
\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - m \ge 2\\4 - m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m \ge 4\end{array} \right.\end{array}\)

Mà  \(m \in \left( {0;2020} \right),\,\,\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;...;2019} \right\}\): có 2016 giá trị.

Ta có:

\(g'\left( x \right)  = \left[ {f\left( {1 - x} \right)} \right]' = \left( {1 - x} \right)'f'\left( {1 - x} \right)=  - f'\left( {1 - x} \right)\)

\(=  - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {1 - x - 2} \right)\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2} - 6\left( {1 - x} \right) + m} \right]\) \( =  - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( { - 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right)\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right) \le 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m - 5 \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) (do \(x + 1 < 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\))

\( \Leftrightarrow h\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5 \ge  - m\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\(\Leftrightarrow  - m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right]} h\left( x \right)\).

Ta có \(h'\left( x \right) = 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có \( - m \le  - 9 \Leftrightarrow m \ge 9\).

Mà \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) và \(m\) nguyên nên \(m \in \left[ {9;10;11;...;2019} \right]\) hay có \(2019 - 9 + 1 = 2011\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Ta có: \(y' = f'\left( {x - 1} \right) + 2x - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\).

Đặt \(t = x - 1\) ta có \(f'\left( t \right) + 2t = 0\) \( \Leftrightarrow f'\left( t \right) - \left( { - 2t} \right) = 0\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y =  - 2t\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Xét \(y' \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) \ge  - 2t \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) nằm trên đường thẳng \(y =  - 2t\).

Xét \(x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \) thỏa mãn.

Xét \(x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.

Xét \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.

Xét \(x \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 3; - 2} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) và \(\left( {2;\, + \infty } \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\,\,2} \right).\)

Xét hàm số: \(y =  - 2f\left( x \right)\) ta có: \(y' =  - 2f'\left( x \right).\)

Hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow  - 2f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\)

Vậy hàm số \(y =  - 2f\left( x \right)\) đồng biến \( \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right].\)

ĐKXĐ : $\left\{ \begin{gathered}2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - x + 8} \right) \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow  - 2 \leqslant x \leqslant 4$

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;4} \right]$

Xét hàm số

$f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x} $

$ \Rightarrow f'(x) = \dfrac{{6{x^2} + 6x + 6}}{{2\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} > 0$

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên tập xác định

Ta nhận thấy phương trình $f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3  \Rightarrow $ với $x\ge 1$ thì $f\left( x \right) \geqslant f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 $.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1;4} \right]$.

Do đó tổng $a + b = 5$.

Ta có $y' = \dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {2x + m} \right)}^2}}}$.

Để hàm số đã cho nghịch biến thì $y' < 0$

$ \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Rightarrow  - 2 < m < 2$

$y = \dfrac{{mx + 6}}{{2x + m + 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{m\left( {m + 1} \right) - 6.2}}{{{{\left( {2x + m + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{m^2} + m - 12}}{{{{\left( {2x + m + 1} \right)}^2}}}$

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\\dfrac{{ - m - 1}}{2} \notin \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 12 < 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - m - 1}}{2} \le  - 1\\\dfrac{{ - m - 1}}{2} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < m < 3\\\left[ \begin{array}{l} - m + 1 \le 0\\ - m - 3 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4 < m \le  - 3\\1 \le m < 3\end{array} \right.\)

Đặt \(h\left( x \right) = 4f\left( x \right) + {x^2}\) ta có \(h'\left( x \right) = 4f\left( x \right) + 2x = 4\left[ {f'\left( x \right) + \dfrac{x}{2}} \right]\).

Số nghiệm của phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - \dfrac{x}{2}\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - \dfrac{x}{2}\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).

Khi đó ta có BBT hàm số \(y = h\left( x \right)\):

Khi đó ta suy ra được BBT hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) như sau:

Dựa vào BBT và các đáp án ta thấy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;4} \right)\).

Bước 1: Khảo sát hàm số $f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+m$

Xét hàm số $f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+m \Rightarrow f^{\prime}(x)=12 x^{3}-12 x^{2}-24 x$

Ta có $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x=0 \\ x=2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên

Bước 2: Tìm m để hàm số $y=|f(x)|$ nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên  $(-\infty ;-1) $

Hàm số $y=|f(x)|$ nghịch biến trên $(-\infty ;-1) \Leftrightarrow m-5 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 5$

Do $m$ là số nguyên nhỏ hơn 10 nên ta có $m \in\{5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9\}$

Vậy có 5 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bước 1: Đặt \(t = \sqrt {6 - x} ,(t \ge 0)\), tính đạo hàm của \(f\left( t \right)\)

Đặt \(t = \sqrt {6 - x} ,(t \ge 0)\) khi đó ta có hàm số \(y = f(t) = \dfrac{{(4 - m)t + 3}}{{t + m}}\).

Ta có: \(f'(t) = \dfrac{{ - {m^2} + 4m - 3}}{{{{(t + m)}^2}}}\)

Bước 2: Đánh giá t

Mặt khác hàm số \(y = \sqrt {6 - x} \)  nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;6)\) nên với\( - 8 < x < 5\) thì \(f\left( { - 8} \right) < f\left( t \right) < f\left( 5 \right)\)\( \Leftrightarrow 1 < t < \sqrt {14} \)

Bước 3: Tìm \(m\)

Do đó hàm số \(y = \dfrac{{(4 - m)\sqrt {6 - x}  + 3}}{{\sqrt {6 - x}  + m}}\) đồng biến trên khoảng (-8 ; 5) khi và chỉ khi hàm số \(f(t) = \dfrac{{(4 - m)t + 3}}{{t + m}}\)  nghịch biến trên khoảng \((1;\sqrt {14} )\). Khi đó

\(\begin{array}{l}f'(t) < 0,\forall t \in (1;\sqrt {14} )\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - {m^2} + 4m - 3 < 0}\\{ - m \notin (1;\sqrt {14} )}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{m > 3}\end{array}} \right.\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge  - 1}\\{m \le  - \sqrt {14} }\end{array}} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 3}\\{ - 1 \le m < 1}\\{m \le  - \sqrt {14} }\end{array}} \right.\end{array}\)

Vì m nguyên, \(m \in ( - 10;10)\) nên

Với m>3 thì có \(m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9} \right\}\), có 6 giá trị

Với \( - 1 \le m < 1\) thì có \(m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\), có 2 giá trị

Với \(m \le  - \sqrt {14}  \Rightarrow m \le  - 4\) thì có \(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4} \right\}\), có 6 giá trị

Vậy có 14 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Bước 1: Giải \({f^\prime }(x) = 0\)

Ta có \({f^\prime }(x + 2) = {x^2} - 3x + 2\)\( = (x - 1)(x - 2)\)\( = (x + 2 - 3)(x + 2 - 4)\)

\( \Rightarrow {f^\prime }(x) = (x - 3)(x - 4)\)

Khi đó \({f^\prime }(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).

Bước 2: Đặt \(y = g(x) = f\left( {{x^2} + 4x + 7} \right)\)

Đặt \(y = g(x) = f\left( {{x^2} + 4x + 7} \right)\)

Ta có: \({g^\prime }(x) = (2x + 4) \cdot {f^\prime }\left( {{x^2} + 4x + 7} \right)\)\( = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4 = 0}\\{{f^\prime }\left( {{x^2} + 4x + 7} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{{x^2} + 4x + 7 = 3}\\{{x^2} + 4x + 7 = 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{{{(x + 2)}^2} = 0}\\{x =  - 1}\\{x =  - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{x =  - 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Bước 3: Xét dấu \(g'\left( x \right)\) và tìm khoảng đồng biến

Bảng xét dấu \({g^\prime }(x)\).

Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số \(y = g(x) = f\left( {{x^2} + 4x + 7} \right)\) đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\).

Ta có \(y = f\left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right) + x\)\( \Rightarrow {y^\prime } =  - \dfrac{1}{2}{f^\prime }\left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right) + 1\).

Xét \({y^\prime } < 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2}{f^\prime }\left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right) + 1 < 0\)\( \Rightarrow 2 < {f^\prime }\left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right) < 4\) (dựa vào BBT)

\( \Leftrightarrow 2 < 1 - \dfrac{x}{2} < 3\)\( \Leftrightarrow  - 4 < x <  - 2\).

Dựa vào các đáp án nên hàm số \(y = f\left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right) + x\) nghịch biến trên khoảng \(( - 4; - 2)\).