Cho hàm số \(y = \dfrac{{(4 - m)\sqrt {6 - x}  + 3}}{{\sqrt {6 - x}  + m}}\). Số giá trị nguyên của m, trong khoảng (-10;10) sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (-8; 5) là

Bước 1: Đặt \(t = \sqrt {6 - x} ,(t \ge 0)\), tính đạo hàm của \(f\left( t \right)\)

Đặt \(t = \sqrt {6 - x} ,(t \ge 0)\) khi đó ta có hàm số \(y = f(t) = \dfrac{{(4 - m)t + 3}}{{t + m}}\).

Ta có: \(f'(t) = \dfrac{{ - {m^2} + 4m - 3}}{{{{(t + m)}^2}}}\)

Bước 2: Đánh giá t

Mặt khác hàm số \(y = \sqrt {6 - x} \)  nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;6)\) nên với\( - 8 < x < 5\) thì \(f\left( { - 8} \right) < f\left( t \right) < f\left( 5 \right)\)\( \Leftrightarrow 1 < t < \sqrt {14} \)

Bước 3: Tìm \(m\)

Do đó hàm số \(y = \dfrac{{(4 - m)\sqrt {6 - x}  + 3}}{{\sqrt {6 - x}  + m}}\) đồng biến trên khoảng (-8 ; 5) khi và chỉ khi hàm số \(f(t) = \dfrac{{(4 - m)t + 3}}{{t + m}}\)  nghịch biến trên khoảng \((1;\sqrt {14} )\). Khi đó

\(\begin{array}{l}f'(t) < 0,\forall t \in (1;\sqrt {14} )\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - {m^2} + 4m - 3 < 0}\\{ - m \notin (1;\sqrt {14} )}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{m > 3}\end{array}} \right.\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge  - 1}\\{m \le  - \sqrt {14} }\end{array}} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 3}\\{ - 1 \le m < 1}\\{m \le  - \sqrt {14} }\end{array}} \right.\end{array}\)

Vì m nguyên, \(m \in ( - 10;10)\) nên

Với m>3 thì có \(m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9} \right\}\), có 6 giá trị

Với \( - 1 \le m < 1\) thì có \(m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\), có 2 giá trị

Với \(m \le  - \sqrt {14}  \Rightarrow m \le  - 4\) thì có \(m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4} \right\}\), có 6 giá trị

Vậy có 14 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.